2025届高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第3讲圆周运动教学案沪科版

PAGE24-第3讲圆周运动学问排查学问点一匀速圆周运动1.定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，所做的运动就是匀速圆周运动。2.特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。3.条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心。学问点二描述圆周运动的物理量定义、意义公式、单位线速度(v)①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切①v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T)②单位：m/s角速度(ω)①描述物体绕圆心转动快慢的物理量②是矢量，但不探讨其方向①ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T)②单位：rad/s周期(T)转速(n)频率(f)①周期是物体沿圆周运动一周的时间②转速是单位时间内物体转过的圈数，也叫频率①T＝eq\f(2πr,v)＝eq\f(1,f)②T的单位：sn的单位：r/s、r/minf的单位：Hz向心加速度(a)①描述速度方向变更快慢的物理量②方向指向圆心①a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝ωv②单位：m/s2学问点三匀速圆周运动的向心力1.作用效果：向心力产生向心加速度，只变更速度的方向，不变更速度的大小。2.大小：F＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r。3.方向：始终沿半径指向圆心方向，时刻在变更，即向心力是一个变力。4.来源：向心力可以由一个力供应，也可以由几个力的合力供应，还可以由一个力的分力供应。学问点四离心现象1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消逝或不足以供应圆周运动所需向心力的状况下，就做渐渐远离圆心的运动。3.本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。小题速练1.思索推断(1)做匀速圆周运动的物体所受合外力是保持不变的。()(2)做匀速圆周运动的物体向心加速度与半径成反比。()(3)随圆盘一起匀速转动的物体受重力、支持力和向心力的作用。()(4)做圆周运动的物体所受合外力突然消逝，物体将沿圆周切线方向做匀速直线运动。()(5)做匀速圆周运动的物体，当合外力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。()(6)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的原因。()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×2.明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图1)，记录了我们祖先的劳动才智。若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图所示，则()图1A.齿轮A的角速度比C的大B.齿轮A与B角速度大小相等C.齿轮B与C边缘的线速度大小相等D.齿轮A边缘的线速度比C边缘的大答案D3.[人教版必修2·P25·T3改编]如图2所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力状况是()图2A.重力、支持力B.重力、向心力C.重力、支持力、指向圆心的摩擦力D.重力、支持力、向心力、摩擦力答案C圆周运动的运动学问题1.对公式v＝ωr的理解当r肯定时，v与ω成正比；当ω肯定时，v与r成正比；当v肯定时，ω与r成反比。2.对a＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝ωv的理解在v肯定时，a与r成反比；在ω肯定时，a与r成正比。3.常见的三种传动方式及特点(1)皮带传动：如图3甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。图3(2)摩擦传动和齿轮传动：如图4甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。图4(3)同轴传动：如图5甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。图51.(多选)(2024·江苏单科)火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发觉放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10°。在此10s时间内，火车()A.运动路程为600m B.加速度为零C.角速度约为1rad/s D.转弯半径约为3.4km解析在此10s时间内，火车运动路程s＝vt＝600m，选项A正确；火车在弯道上运动，做曲线运动，肯定有加速度，选项B错误；火车匀速转过10°，约为eq\f(1,5.7)rad，角速度ω＝eq\f(θ,t)＝eq\f(1,57)rad/s，选项C错误；由v＝ωR，可得转弯半径约为3.4km，选项D正确。答案AD2.(多选)如图6甲所示是中学物理试验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等直径约为30cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接如图乙所示，现玻璃盘以100r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8cm，从动轮的半径约为2cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是()图6A.P、Q的线速度相同B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反C.P点的线速度大小约为1.6m/sD.摇把的转速约为400r/min解析由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P、Q两点的线速度的方向肯定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30cm，转速是100r/min，所以线速度v＝ωr＝2nπr＝2×eq\f(100,60)×π×eq\f(0.3,2)m/s＝0.5πm/s≈1.6m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ω·rc＝2×eq\f(100,60)×π×0.02m/s＝eq\f(1,15)πm/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝eq\f(ωz,2π)＝eq\f(\f(vz,rz),2π)＝eq\f(\f(1,15)π,2π×0.08)r/s＝25r/min，故D错误。答案B3.(2024·浙江温州一模)如图7所示，某台计算机的硬盘约有近万个磁道(磁道为不同半径的同心圆)，每个磁道分成m个扇区(每扇区为eq\f(1,m)圆周)。电动机使磁盘以转速n(转/秒)匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道，若不计磁头大小及磁头转移磁道所需的时间，则磁盘转动时()图7A.A点的线速度小于B点的线速度B.A点的向心加速度小于B点的向心加速度C.硬盘转动一圈的时间为2πnD.一个扇区通过磁头所用的时间为eq\f(1,mn)解析A、B两点是同轴转动，角速度相同，依据v＝ωr可知半径越大，线速度越大，故A点的线速度大于B点的线速度，依据公式a＝ω2r可知半径越大，加速度越大，A点的向心加速度大于B点的向心加速度，故选项A、B错误；因为转速的单位为(转每秒)，即转一圈的时间为eq\f(1,n)，故选项C错误；因为每扇区为eq\f(1,m)圆周，且ω＝2πn，所以t＝eq\f(1,m)T＝eq\f(2π,mω)＝eq\f(1,mn)，故选项D正确。答案D圆周运动中的动力学问题1.向心力的来源(1)向心力的方向沿半径指向圆心。(2)向心力来源：一个力或几个力的合力或某个力的分力。2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。(2)分析物体的受力状况，找出全部的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。3.圆周运动中向心力与合力的关系(1)匀速圆周运动(2)非匀速圆周运动考法匀速圆周运动的一般动力学问题【典例】(多选)[人教版必修2·P25·T2拓展]如图8所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是()图8A.A、B球受到的支持力之比为eq\r(3)∶3B.A、B球的向心力之比为eq\r(3)∶1C.A、B球运动的角速度之比为3∶1D.A、B球运动的线速度之比为1∶1解析设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsinθ＝mg，FNA∶FNB＝eq\r(3)∶1，选项A错误；F＝eq\f(mg,tanθ)，FA∶FB＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htanθ，RA∶RB＝1∶3，由F＝mω2R得ωA∶ωB＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得vA∶vB＝1∶1，选项D正确。答案CD“一、二、三、四”求解圆周运动问题考法水平面内圆周运动的临界问题1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆。(2)合外力沿水平方向指向圆心，供应向心力，竖直方向合力为零。2.几种常见的临界条件(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力。(2)物体间恰好分别的临界条件是物体间的弹力恰好为零。(3)绳的拉力出现临界条件情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等。教材引领[人教版必修2·P29]图5.7－10汽车转弯时速度过大，会因离心运动造成交通事故1.[人教版必修2·P30·T2]质量为2.0×103kg的汽车在水平马路上行驶，轮胎与路面间的最大静摩擦力为1.4×104N，汽车经过半径为50m的弯路时，假如车速达到72km/h。这辆车会不会发生侧滑？解析此题有两种思路。第一种，假设汽车不发生侧滑，由于静摩擦力供应向心力，所以向心力有最大值，依据牛顿其次定律得F＝meq\f(v2,r)，所以肯定对应有最大拐弯速度，设为vm，则vm＝eq\r(\f(fmr,m))＝eq\r(\f(1.4×104×50,2.0×103))m/s＝18.71m/s＝67.36km/h<72km/h所以，假如汽车以72km/h的速度拐弯，将会发生侧滑。其次种，假设汽车以72km/h的速度拐弯时，不发生侧滑，所需向心力为F，则F＝meq\f(v2,r)＝2.0×103×eq\f(202,50)N＝1.6×104N>1.4×104N所以静摩擦力不足以供应相应的向心力，汽车以72km/h的速度拐弯时，将会发生侧滑。答案会发生侧滑真题闯关2.(2024·11月浙江选考)如图9所示，一质量为2.0×103kg的汽车在水平马路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N，当汽车经过半径为80m的弯道时，下列推断正确的是()图9A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能平安转弯的向心加速度不超过7.0m/s2解析汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，但向心力是依据力的效果命名的，不是物体实际受到的力，选项A错误；当汽车转弯速度为20m/s时，依据Fn＝meq\f(v2,R)，得所需的向心力Fn＝1×104N，没有超过最大静摩擦力，所以车也不会侧滑，所以选项B、C错误；汽车转弯达到最大静摩擦力时，向心加速度最大为an＝eq\f(Ffm,m)＝eq\f(1.4×104,2.0×103)m/s2＝7.0m/s2，选项D正确。答案D1.(多选)(2024·江苏如东测试)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图10所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则()图10A.该弯道的半径r＝eq\f(v2,gtanθ)B.当火车质量变更时，规定的行驶速度大小不变C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压D.当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压解析火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力供应向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，依据牛顿其次定律得mgtanθ＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(v2,gtanθ)，选项A正确；由上式得v＝eq\r(grtanθ)，可知火车规定的行驶速度与质量无关，选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够供应向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，选项C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力偏大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，选项D错误。答案AB2.(2024·兰州质检)如图11所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h(A点)处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动。当转动的角速度ω渐渐增大时，下列说法正确的是()图11A.小球始终受三个力的作用B.细绳上的拉力始终保持不变C.要使球不离开水平面，角速度的最大值为eq\r(\f(g,h))D.若小球飞离了水平面，则角速度可能为eq\r(\f(g,l))解析小球可以在水平面上转动，也可以飞离水平面，飞离水平面后只受重力和细绳的拉力两个力作用，故选项A错误；小球飞离水平面后，随着角速度增大，细绳与竖直方向的夹角变大，设为β，由牛顿其次定律得Tsinβ＝mω2lsinβ可知，随角速度变更，细绳的拉力T会发生变更，故选项B错误；当小球对水平面的压力为零时，有Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mlω2sinθ，解得临界角速度为ω＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\r(\f(g,h))，若小球飞离了水平面，则角速度大于eq\r(\f(g,h))，而eq\r(\f(g,l))＜eq\r(\f(g,h))，故选项C正确，D错误。答案C竖直面内圆周运动中的临界问题1.运动特点(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及学问面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要留意物体运动到圆周的最高点的速度。2.常见模型物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋FN＝meq\f(v2,R)mg±FN＝meq\f(v2,R)临界特征FN＝0mg＝meq\f(veq\o\al(2,min),R)即vmin＝eq\r(gR)v＝0即F向＝0FN＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥eq\r(gR)v≥0考法竖直平面内的“绳”模型教材引领1.[人教版必修2·P30·T4]质量为25kg的小孩坐在秋千板上，小孩离系绳子的横梁2.5m。假如秋千板摆到最低点时，小孩运动速度的大小是5m/s，她对秋千板的压力是多大？解析秋千板摆到最低点时，FN－mg＝meq\f(v2,R)，可得FN＝500N，由牛顿第三定律可知她对秋千板的压力是500N。拓展提升2.(多选)如图12，光滑竖直圆弧轨道半径R＝1.25m，质量为m的小球在圆弧最低点的加速度为20m/s2，小球进入水平轨道后所受阻力为其重力的0.2倍，g取10m/s2，则()图12A.小球在圆弧最低点的加速度方向为竖直向下B.小球对圆弧最低点的压力为2mgC.小球对圆弧最低点的压力为3mgD.小球在水平轨道运动6.25m才停下解析小球在圆弧最低点的加速度方向指向圆心，所以加速度方向为竖直向上，故选项A错误；小球在圆弧最低点时，FN－mg＝maB，可得FN＝3mg，故选项B错误，C正确；由aB＝eq\f(veq\o\al(2,B),R)可得vB＝5m/s，小球在水平轨道运动时由动能定理0.2mgx＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，可得x＝6.25m，故选项D正确。答案CD3.一小球以肯定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为()图13A.2mg B.3mgC.4mg D.5mg解析小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),1.8R)，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,A),R)，依据机械能守恒定律，有1.6mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)，解得F＝4mg，由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力F′＝F＝4mg，选项C正确。答案C真题闯关4.(2024·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不行伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图14所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点()图14A.P球的速度肯定大于Q球的速度B.P球的动能肯定小于Q球的动能C.P球所受绳的拉力肯定大于Q球所受绳的拉力D.P球的向心加速度肯定小于Q球的向心加速度解析小球从水平位置摇摆至最低点，由动能定理得，mgL＝eq\f(1,2)mv2，解得v＝eq\r(2gL)，因LP<LQ，故vP<vQ，选项A错误；因为Ek＝mgL，又mP>mQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；对小球在最低点受力分析得，FT－mg＝meq\f(v2,L)，可得FT＝3mg，选项C正确；由a＝eq\f(v2,L)＝2g可知，两球的向心加速度相等，选项D错误。答案C5.(2024·全国卷Ⅲ)如图15，在竖直平面内有由eq\f(1,4)圆弧AB和eq\f(1,2)圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为eq\f(R,2)。一小球在A点正上方与A相距eq\f(R,4)处由静止起先自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。图15(1)求小球在B、A两点的动能之比；(2)通过计算推断小球能否沿轨道运动到C点。解析(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg·eq\f(R,4)①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg·eq\f(5R,4)②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5③(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满意FN≥0④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有FN＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,C),\f(R,2))⑤由④⑤式得mg≤meq\f(2veq\o\al(2,C),R)⑥vC≥eq\r(\f(Rg,2))⑦全程应用机械能守恒定律得mg·eq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mvC′2⑧由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点。答案(1)5∶1(2)能，理由见解析考法竖直平面内的“杆”模型【典例】如图16甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示。下列说法正确的是()图16A.当地的重力加速度大小为eq\f(R,b)B.小球的质量为eq\f(aR,b)C.当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上D.若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a解析在最高点，若v＝0，则FN＝a＝mg；若FN＝0，则mg＝meq\f(v2,R)＝meq\f(b,R)，解得g＝eq\f(b,R)，m＝eq\f(a,b)R，故A错误，B正确；由题图可知：当v2＜b时，杆对小球弹力方向向上，当v2＞b时，杆对小球弹力方向向下，所以当v2＝c时，杆对小球弹力方向向下，故C错误；若v2＝2b，则FN＋mg＝meq\f(2b,R)，解得FN＝a＝mg，故D错误。答案B分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路1.一汽车通过拱形桥顶时速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的eq\f(3,4)，假如要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为()A.15m/s B.20m/sC.25m/s D.30m/s解析当FN＝eq\f(3,4)G时，因为G－FN＝meq\f(v2,r)，所以eq\f(1,4)G＝meq\f(v2,r)；当FN＝0时，G＝meq\f(v′2,r)，所以v′＝2v＝20m/s。选项B正确。答案B2.(多选)如图17所示，内壁光滑的大圆管，用一细轻杆固定在竖直平面内；在管内有一小球(可视为质点)做圆周运动。下列说法正确的是()图17A.小球通过最低点时，小球对圆管的压力向下B.小球通过最高点时，小球对圆管可能无压力C.细杆对圆管的作用力肯定大于圆管的重力大小D.细杆对圆管的作用力可能会大于圆管和小球的总重力大小解析小球通过最低点时，小球受到重力、圆管向上的支持力，合力指向圆心，依据牛顿第三定律，小球对圆管的压力向下，选项A正确；当小球通过最高点时，若速度为eq\r(gR)，圆管对小球的弹力为零，小球对圆管无压力，此时细杆对圆管的作用力大小等于圆管的重力大小，选项B正确，C错误；对圆管和球组成的整体为探讨对象，当小球的向心加速度向上(或重量向上)时，细杆对圆管的作用力会大于圆管和小球的总重力大小；当小球的向心加速度向下(或重量向下)时，细杆对圆管的作用力小于圆管和小球的总重力大小，选项D正确。答案ABD试验：探究影响向心力大小的因素1.应用限制变量法进行试验探究(1)保持运动的半径r和角速度ω相同，探究向心力大小与质量的关系。(2)保持质量和运动半径相同，探究向心力大小与角速度之间的关系。(3)保持质量和角速度相同，探究向心力的大小与运动半径之间的关系。2.试验结果(1)向心力的大小与物体的质量m、圆周半径r、角速度ω都有关系。(2)做匀速圆周运动的物体所需的向心力大小，在质量和角速度肯定时，与半径成正比；在质量和半径肯定时，与角速度的平方成正比；在半径和角速度肯定时，与质量成正比。角度探究影响向心力大小的定性因素【例1】如图18所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30mL的水)在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。(1)则下列说法中正确的是________。图18A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大C.保持质量、角速度不变；增大绳长，绳对手的拉力将不变D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大(2)如图甲，绳离杯心40cm处打一结点A，80cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作，其余同学记录试验数据。操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小。操作四：手握绳结A，再向杯中添加30mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；操作四与一相比较：________相同，向心力的大小与________有关；②物理学中此种试验方法叫________法。③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”你认为该同学的说法是否正确，为什么？_________________________________________________________________。答案(1)BD(2)①线速度(角速度)、半径质量②限制变量③说法不对，该同学受力分析的对象是自己的手，我们试验受力分析的对象是水杯，细线的拉力供应水杯做圆周运动的向心力指向圆心。细线对手的拉力与向心力大小相等，方向相反，背离圆心角度探究影响向心力大小定量因素【例2】图19甲为“向心力演示器验证向心力公式”的试验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。图19(1)两槽转动的角速度ωA__________ωB。(选填“>”“＝”或“<”)。(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度之比为__________；受到的向心力之比为__________。解析(1)因两轮ab转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，则两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。(2)钢球①、②的角速度相同，半径之比为2∶1，则依据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1；依据F＝mω2r可知，受到的向心力之比为2∶1。答案(1)＝(2)2∶1(3)2∶1活页作业(时间：40分钟)基础巩固练1.(2024·4月浙江选考)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图1)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向变更的角度之比是3∶2，则它们()图1A.线速度大小之比为4∶3B.角速度大小之比为3∶4C.圆周运动的半径之比为2∶1D.向心加速度大小之比为1∶2解析时间相同，路程之比即线速度大小之比，故A项正确；运动方向变更的角度之比即对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比也为3∶2，B项错误；路程比除以角度比得半径比为8∶9，C项错误；由向心加速度a＝eq\f(v2,r)知线速度平方比除以半径比即向心加速度大小之比为2∶1，D项错误。答案A2.如图2所示，杂技演员在表演“水流星”的节目时，盛水的杯子在竖直平面内做圆周运动，当杯子经过最高点时，里面的水也不会流出来，这是因为()图2A.水处于失重状态，不受重力的作用B.水受的合力为零C.水受的合力供应向心力，使水做圆周运动D.杯子特别，杯底对水有吸引力答案C3.(多选)当汽车通过圆弧形凸桥时，下列说法中正确的是()A.汽车在桥顶通过时，对桥的压力肯定小于汽车的重力B.汽车通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小C.汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来供应D.汽车通过桥顶时，若汽车的速度v＝eq\r(gR)(R为圆弧形桥面的半径)，则汽车对桥顶的压力为零解析当汽车过桥顶时，汽车做圆周运动的向心力由汽车的重力和桥顶对汽车支持力的合力供应，有mg－FN＝meq\f(v2,R)，所以汽车过桥顶时，汽车对桥的压力肯定小于汽车的重力，A正确，C错误；由上式得FN＝mg－meq\f(v2,R)，当v增大时，FN减小，B错误；当FN＝0时有mg＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(gR)，D正确。答案AD4.(2024·天津理综，2)滑雪运动深受人民群众宠爱。某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中()图3A.所受合外力始终为零B.所受摩擦力大小不变C.合外力做功肯定为零D.机械能始终保持不变解析运动员做匀速圆周运动，所受合外力指向圆心，A项错误；由动能定理可知，合外力做功肯定为零，C项正确；由运动员沿AB下滑过程中做匀速圆周运动，知运动员所受沿圆弧切线方向的合力为零，即摩擦力等于运动员的重力沿圆弧切线方向的分力，渐渐变小，B项错误；运动员动能不变，重力势能削减，所以机械能削减，D项错误。答案C5.(多选)如图4所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力。下列说法中正确的是()图4A.半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小B.半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大C.半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小D.半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大解析由题意知，在最高点时恰好与轨道间没有相互作用力，仅由重力供应向心力，依据牛顿其次定律有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，故半径R越大，小球通过最高点的速度越大，选项B正确，A错误；从最高点到最低点，依据动能定理有mg·2R＝eq\f(1,2)mv′2－eq\f(1,2)mv2，解得最低点的速度v′＝eq\r(5gR)，所以半径R越大，小球通过轨道最低点速度越大，由ω＝eq\f(v′,R)＝eq\r(\f(5g,R))，可知半径R越大通过轨道最低点时的角速度越小，选项C正确，D错误。答案BC6.如图5所示，是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP＝2mQ，当整个装置以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时()图5A.两球受到的向心力大小相等B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力C.两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用D.当ω增大时，Q球将沿杆向外运动解析两球均受到重力、支持力和绳子的拉力作用，向心力是三个力的合力；两球的重力均与支持力平衡，由绳的拉力供应向心力，则P球受到的向心力大小等于Q球受到的向心力大小，选项A正确，B、C错误；依据向心力大小相等得到mPωeq\o\al(2,P)rP＝mQωeq\o\al(2,Q)rQ，因为角速度相同，此方程与角速度无关，所以当ω增大时，两球半径不变，P球不会向杆外运动，Q球也不会沿杆向外运动，选项D错误。答案A7.如图6所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为()图6A.eq\r(2)R B.eq\r(3)RC.eq\r(5)R D.eq\r(6)R解析小球从P点飞出后，做平抛运动，设做平抛运动的时间为t，则2R＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝2eq\r(\f(R,g))，在最高点P时有mg＋eq\f(1,2)mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(3gR,2))，因此小球落地点到P点的水平距离为x＝vt＝eq\r(6)R，选项D正确。答案D综合提能练8.用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图7所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为FT，则FT随ω2变更的图象是选项图中的()图7解析设细线长为L，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg、支持力FN和细线的拉力FT而平衡，FT＝mgcosθ≠0，选项A错误；ω增大时，FT增大，FN减小，当FN＝0时，角速度为ω0，当ω<ω0时，由牛顿其次定律得FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ，FTcosθ＋FNsinθ＝mg，解得FT＝mω2Lsin2θ＋mgcosθ，当ω>ω0时，小球离开锥面，细线与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿其次定律得FTsinβ＝mω2Lsinβ，所以FT＝mLω2，可知FT－ω2图线的斜率变大，所以选项B正确，C、D错误。答案B9.(多选)如图8甲所示为建筑行业运用的一种小型打夯机，其原理可简化为一个质量为M的支架(含电动机)上由一根长为l的轻杆带动一个质量为m的铁球(铁球可视为质点)在竖直平面内转动，如图乙所示，重力加速度为g。若在某次打夯过程中，铁球以角速度ω匀速转动，则()图8A.铁球转动过程中机械能守恒B.铁球做圆周运动的向心加速度始终不变C.铁球转动到最低点时，处于超重状态D.若铁球转动到最高点时，支架对地面的压力刚好为零，则ω＝eq\r(\f(（M＋m）g,ml))解析由于铁球在做匀速圆周运动的过程中动能不变，但重力势能在不断地变更，所以其机械能不守恒，选项A错误；由于铁球做圆周运动的向心加速度的方向在不断地发生变更，故选项B错误；铁球转动到最低点时，有竖直向上的加速度，故杆对铁球的拉力要大于铁球的重力，铁球处于超重状态，选项C正确；以支架和铁球整体为探讨对象，铁球转动到最高点时，只有铁球有向下的加速度，由牛顿其次定律可得(M＋m)g＝mω2l，解得ω＝eq\r(\f(（M＋m）g,ml))，选项D正确。答案CD10.如图9所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统肯定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽视空气阻力。则球B在最高点时()图9A.球B的速度为零B.球A的速度大小为eq\r(2gL)C.水平转轴对杆的作用力为1.5mgD.水平转轴对杆的作用力为2.5mg解析球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好供应向心力，有mg＝meq\f(veq\o\al(2,B),2L)，解得vB＝eq\r(2gL)，故A错误，由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝eq\f(1,2)eq\r(2gL)，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力供应向心力，有F－mg＝meq\f(veq\o\al(2,A),L)，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误。答案C11.(2024·河北保定一模)如图10所示，半径为R的细圆管(管径可忽视)内壁光滑，竖直放置，一质量为m、直径略小于管径的小球可在管内自由滑动，测得小球在管顶部时与管壁的作用力大小为mg，g为当地重力加速度，则()图10A.小球在管顶部时速度大小肯定为eq\r(2gR)B.小球运动到管底部时速度大小可能为eq\r(2gR)C.小球运动到管底部时对管壁的压力可能为5mgD.小球运动到管底部时对管壁的压力肯定为7mg解析小球在管顶部时可能与外壁有作用力，也可能与内壁有作用力。假如小球与外壁有作用力，对小球受力分析可知2mg＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(2gR)，其由管顶部运动到管底部的过程中由机械能守恒有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝2mgR＋eq\f(1,2)mv2，可得v1＝eq\r(6gR)，小球在管底部时，由牛顿其次定律有FN1－mg＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)，解得FN1＝7mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为7mg。假如小球与内壁有作用力，对小球受力分析可知，在最高点小球速度为零，其由管顶部运动到管底部过程中由机械能守恒有eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)＝2mgR，解得v2＝2eq\r(gR)，小球在管底部时，由牛顿其次定律有FN2－mg＝meq\f(veq\o\al(2,2),R)，解得FN2＝5mg，由牛顿第三定律知，小球对管壁的压力为5mg，选项C正确，A、B、D错误。答案C12.如图11所示为改装的探究圆周运动的向心加速度的试验装置。有机玻璃支架上固定一个直流电动机，电动机转轴上固定一个半径为r的塑枓圆盘，圆盘中心正下方用细线接一个重锤，圆盘