2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷971考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、已知则等于（）

A.

B.

C.

D.

2、若全集U={1；2，3，4}，集合A={1，2}，则满足A∪B=U的集合B有（）

A.1个。

B.2个。

C.3个。

D.4个。

3、【题文】将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直4、【题文】已知函数那么在下列区间中含有函数零点的是A.B.C.D.5、已知函数如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A.k＞1B.k≥1C.0＜k＜1D.0＜k≤16、已知函数f（x）=|log2|x-3||，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有6个不同的实数解，若最小实数解为-5，则a+b的值为（）A.-3B.-2C.0D.37、在直角坐标系中，终边在坐标轴上的角的集合是（）A.{α|α=+2kπ，k∈Z}B.{α|α=+2kπ，k∈Z}C.{α|α=k∈Z}D.{α|α=kπ，k∈Z}评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、（2005•上海）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB，AC分别相交于点D和点E，则折痕DE的长为____．9、设函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x-3，则f（-2）+f（0）=____．10、【题文】如图是一个几何体的三视图，它的表面积是____11、【题文】函数图像的对称中心是____．12、已知关于x的不等式的解集则实数a=____．13、如图程序框图箭头a指向①处时，输出s=______．箭头a指向②处时，输出s=______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共4题，共20分)21、作出下列函数图象：y=22、画出计算1++++的程序框图．23、请画出如图几何体的三视图．

24、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】

∵

∴sinα==

∴=sinα•cos+cosα•sin=•+•=

故选A

【解析】【答案】由已知中由同角三角函数的基本关系及三角函数的定义可得sinα值，代入两角和的正弦公式，可得答案．

2、D【分析】

∵全集U={1；2，3，4}，集合A={1，2}；

若A∪B=U

∴{3；4}⊆B⊆U；

则满足条件的B有：

{3；4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，共4个。

故选D

【解析】【答案】由已知中全集U={1；2，3，4}，集合A={1，2}，若满足A∪B=U，则{3，4}⊆B⊆U，列举出所有满足条件的集合B，即可得到答案．

3、C【分析】【解析】在图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段均与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC，选C.【解析】【答案】C4、B【分析】【解析】

考点：函数零点的判定定理．

分析：求原函数在每个区间端点处的函数值；找出在哪个区间端点处的函数值异号，该区间即为所求。

解：由题意知：

f()=()-()＞0

f()=()-()＜0

f(1)=-1＜0

f(2)="(")2-2＜0

由零点判定定理知在区间内原函数有零点。

故选B【解析】【答案】B5、A【分析】【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解；

∴显然当x=0时；无论k为何值，都成立；

当只需有三个不等于零的不同实数根；

∴方程可化=|x|（x+2）；

只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可；画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：

有图象可知只需0＜＜1；

∴k＞1；

故选A．

【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围．6、A【分析】解：先作出函数f（x）=|log2|x-3||的图象，

∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有6个不同的实数解；

令t=f（x），那么方程[f（x）]2+af（x）+b=0转化成了t2+at+b=0；

则方程则t2+at+b=0有一个正根和一个零根。

又∵最小实数解为-5；

∴f（-5）=3；

∴方程t2+at+b=0的两个根分别为：0；3；

利用韦达定理，a=-3，b=0

所以a+b=-3

故选：A．

先作出函数f（x）=|log2|x-3||的图象，令t=f（x），那么方程[f（x）]2+af（x）+b=0转化成了t2+at+b=0，因为方程[f（x）]2+af（x）+b=0有6个不同的实数解，则t2+at+b=0有一个正根和一个零根．最小实数解为-5，即f（-5）=3，从而得到方程t2+at+b=0的两个根，利用韦达定理，即可求得a+b的值．

本题考查了函数与方程的综合运用，同时考查了方程的根与函数零点的关系．属于中档偏难的题．【解析】【答案】A7、C【分析】解：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+k∈Z}，故合在一起即为{α|α=kπ，k∈Z}∪{α|α=kπ+k∈Z}={α|α=k∈Z}；

故选：C．

分别写出终边在x轴上的角的集合；终边在y轴上的角的集合；进而可得到终边在坐标轴上的角的集合．

本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【分析】先根据，∠C=90°，∠A=30°，AC=3求出AB的长，再根据图形翻折变换的性质可知DE⊥AB，AE=BE=AB，再在Rt△ADE中，由DE=AE•tan∠A即可得出DE的长．【解析】【解答】解：∵△ABC中；∠C=90°，∠A=30°，AC=3；

∴AB===2；

∵△BDE是△ADE翻折而成；DE为折痕；

∴DE⊥AB，AE=BE=AB=×2=；

在Rt△ADE中，DE=AE•tan∠A=×tan30°=×=1．

故答案为：1．9、略

【分析】

∵函数f（x）是R上的奇函数。

∴f（0）=0；f（-x）=-f（x）

f（-2）=-f（2）

∵当x＞0时；f（x）=2x-3；

∴f（2）=1则f（-2）=-f（2）=-1

故答案为：-1

【解析】【答案】先根据函数f（x）是R上的奇函数求出f（0）；然后将f（-2）转化成求f（2）的值即可求出所求．

10、略

【分析】【解析】解：由三视图可知该几何体为三棱柱，并且棱柱的底面为等腰直角三角形，斜边长为2，侧面为矩形，长为3，宽为以及长为3，宽为2，那么利用表面积公式可知，它的表面积是【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：因为而函数为奇函数，对称中心是因此函数图像的对称中心是

考点：奇函数性质，图像变换【解析】【答案】12、-2【分析】【解答】解：∵不等式∴（ax﹣1）（x+1）＜0；

又∵关于x的不等式的解集

∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根；

∴a×（﹣）﹣1=0；

∴a=﹣2．

故答案为：﹣2．

【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．13、略

【分析】解：程序在运行过程中各变量的情况如下表所示：

（1）当箭头a指向①时；

是否继续循环Si

循环前/01

第一圈是12

第二圈是23

第三圈是34

第四圈是45

第五圈是56

第六圈否。

故最终输出的S值为5；即m=5；

（2）当箭头a指向②时；

是否继续循环Si

循环前/01

第一圈是12

第二圈是1+23

第三圈是1+2+34

第四圈是1+2+3+45

第五圈是1+2+3+4+56

第六圈否。

故最终输出的S值为1+2+3+4+5=15；则n=15．

故答案为：5；15．

分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用都是利用循环累加S值，并判断满足i≤5时输出S的值．

根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．【解析】5；15三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为