2025年沪科版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】已知则的值为（）A.B.C.D.2、【题文】已知实数满足不等式组则的最大值是。

A．9B．C．1D．3、【题文】函数是()A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数4、正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离是的点形成一条曲线；这条曲线的长度是（）

A.B.C.D.5、已知A（2，0），B（3，），直线l∥AB，则直线l的倾斜角为（）A.135°B.120°C.60°D.45°评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、点P（3）到直线的距离等于4，且在不等式表示的平面区域内，则P点的坐标为__________．7、计算C82＋C83＋C92=________.8、设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：(i)(ii)对任意当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合.①②③④其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号).9、下列命题中：①函数的最小值是②对于任意实数有且时，则时，③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；④已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是其中正确的命题是___________.10、【题文】设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是________．11、如图，过椭圆=1（a＞b＞1）上顶点和右顶点分别作圆x2+y2=1的两条切线的斜率之积为﹣则椭圆的离心率的取值范围是____．12、设x，y满足并设满足该条件的点（x，y）所形成的区域为Ω，则。

（1）Z=x2+y2-2y的最小值为______；

（2）包含Ω的面积最小的圆的方程为______．13、（1-x）（1+2）5展开式中x2的系数为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共20分)21、(1)若的展开式中，的系数是的系数的倍，求(2)已知的展开式中,的系数是的系数与的系数的等差中项,求(3)已知的展开式中,二项式系数最大的项的值等于求22、【题文】某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段（单位：小时）进行统计；其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的20人中；参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；

（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．评卷人得分五、计算题(共1题，共5分)23、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．评卷人得分六、综合题(共3题，共27分)24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为26、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】

试题分析：因为所以

考点：本小题主要考查三角函数的给值求值问题；考查学生的转化能力和运算求解能力.

点评：对于此类问题，要尽量用已知角表示未知角，而不是直接计算.【解析】【答案】C2、A【分析】【解析】考查二元一次不等式组所表示的区域和线性规划的基本方法【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C4、D【分析】【解答】解：由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算；

正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面；截痕为大圆弧；

各弧圆心角为A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面；

截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=故各段弧圆心角为．

∴这条曲线长度为3••+3••=

故选D．

【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状，再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．5、B【分析】解：∵A（2，0），B（3，）；

∴直线l∥AB；

∴直线l的斜率k=KAB==-

故直线l的倾斜角是120°；

故选：B．

求出直线AB的斜率；从而求出直线l的倾斜角即可．

本题考查了求直线的斜率、倾斜角问题，是一道基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】试题分析：根据点到直线的距离公式，得解方程，得而当a=7时，不满足（舍去），∴．故答案为：考点：点到直线的距离公式.【解析】【答案】7、略

【分析】C82＋C83＋C92＝(C82＋C83)＋C92＝C93＋C92＝C103＝＝120.【解析】【答案】1208、略

【分析】试题分析：“保序同构”的集合是指存在一函数满足：（1）.S是的定义域，T是值域，（2）.在S上递增.对于①，若任意当时，可能有不是恒有成立，所以①中的两个集合不一定是保序同构，对于②，取符合保序同构定义，对于③，取函数符合保序同构定义，对于④，取符合保序同构定义，故选②③④.考点：新概念信息题，单调函数的概念，蕴含映射思想.【解析】【答案】②③④.9、略

【分析】【解析】

因为①函数的最小值是等号取不到，错误。②对于任意实数有且时，则时，满足导数与函数单调性关系，成立。③如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件；成立。④已知存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围应该是因此错误。【解析】【答案】②③10、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，那么可知有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是故可知答案为

考点：条件概率。

点评：主要是考查了条件概率的计算，属于基础题。【解析】【答案】11、【分析】【解答】解：由题意设两条切线分别为：y=kx+b，y=﹣（x﹣a）（k≠0）；由圆心到两直线的距离均为半径得：

化简得：b2=k2+1，a2=2k2+1．

∴=

=（k≠0）．

∴0＜e＜．

故答案为：．

【分析】由题意设出两切线方程，由点到直线的距离公式可得a与k，b与k的关系，代入椭圆离心率可得e与k的关系，求出函数值域得答案．12、略

【分析】解：x，y满足的平面区域如图：

（1）Z=x2+y2-2y=x2+（y-1）2-1的最小值为（0，1）到直线x-2y=0的距离的平方减去1，为||2-1=-

（2）包含Ω的面积最小的圆的方程即为三角形区域的外接圆方程；则此时过点O；

B（2；1），A（0，-1）三点的圆；

设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，得到解得

所以包含Ω的面积最小的圆的方程为。

x2+y2-3x+y=0．

故答案为：x2+y2-3x+y=0．

作出不等式组对应的平面区域；利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及目标函数的几何意义是解决本题的关键．【解析】x2+y2-3x+y=013、略

【分析】解：（1+2）5展开式的x的系数与x2的系数分别乘以（1-x）组成；

且（1+2）5展开式的通项为。

Tr+1=C5r•（2）r=2r••

令=1，得r=2，故（1+2）5展开式的x的系数为22•=40；

令r=2，得r=4，故（1+2）5展开式的x2的系数为24•C54=80；

故（1-x）（1+2）5展开式中x2的系数是1×80-×40=60．

故答案为：60．

（1-x）（1+2）5展开式中x2的系数由（1+2）5展开式的x的系数与x2的系数分别乘以（1-x）的系数组成，利用（1+2）5展开式的通项求出对应项的系数；即可计算出结果．

本题主要考查了等价转化的能力、利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题，是基础题目．【解析】60三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共20分)21、略

【分析】

（1）（2）得（3）得或所以【解析】略【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积.因此参加社区服务在时间段的学生人数为（人），参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）．（Ⅱ）解概率应用题，要注意“设、列、解、答”.设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段的学生有4人，记为参加社区服务在时间段的学生有2人，记为从这6人中任意选取2人有共15种情况．事件包括共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．

解：（Ⅰ）由题意可知；

参加社区服务在时间段的学生人数为（人）；

参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．

所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为（人）．5分。

（Ⅱ）设所选学生的参加服务时间在同一时间段内为事件．

由（Ⅰ）可知；

参加社区服务在时间段的学生有4人，记为

参加社区服务在时间段的学生有2人，记为．

从这6人中任意选取2人有共15种情况．

事件包括共7种情况．

所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．13分。

考点：频率分布直方图,古典概型概率【解析】【答案】（Ⅰ）6,（Ⅱ）五、计算题(共1题，共5分)23、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．六、综合题(共3题，共27分)24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连