2025年外研版三年级起点高三数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高三数学下册月考试卷797考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、双曲线C：x2-=1的左焦点为F，双曲线与直线l：y=kx交于A、B两点，且∠AFB=，则•=（）A.2B.4C.8D.162、已知实数x，y满足，若不等式≥a恒成立，则实数a的最大值为（）A.1B.C.D.23、设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β．能推得a⊥b的条件有（）组．A.1B.2C.3D.44、已知数列{an}满足且a1=，an+1=+，则该数列的前2008项的和等于（）A.1506B.3012C.1004D.20085、已知x、y是正实数，满足的最小值为（）

A.

B.

C.

D.

6、【题文】已知为一次函数，且则（）A.B.C.D.7、【题文】已知则在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、若=(1,1,k)，=(2,-1,1)，与的夹角为60°，则k的值为（）A.0或﹣2B.0或2C.-2D.29、设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合∁UA=（）A.[-1，0]B.（-1，0）C.（-∞，-1]∪[0，+∞）D.[0，1]评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、（2015秋•哈尔滨校级期末）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC上，则•的最小值为____．11、已知在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，他们的终边分别与单位圆交于A，B，A，B的横坐标分别为，，则α+2β的值为____．12、在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为a的正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H-AB-C为30°，则三棱锥S-ABC的体积为____，三棱锥S-ABC的外接球半径为____．13、函数y=的单调递减区间是____．14、若向量=（2，-3，）是直线l的方向向量，向量=（1，0，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α所成角的大小为____．15、设函数f（x）=lnx的定义域为（M，+∞），且M＞0，对于任意a，b，c∈（M，+∞），若a，b，c是直角三角形的三条边长，且f（a），f（b），f（c）也能成为三角形的三条边长，那么M的最小值为____．16、已知且与垂直，则k的值为____．17、已知圆的极坐标方程为则圆上点到直线的最短距离为。18、已知向量=（2，1），=（3，x），若（2-）⊥则x的值为______．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．21、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．22、任一集合必有两个或两个以上子集．____．23、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共4题，共36分)24、用分析法证明：若a＞0，则≤a+．25、设f（x）=，数列{an}满足：a1=，an+1=f（an），n∈N*．

（1）若λ1，λ2为方程f（x）=x的两个不相等的实根，证明：数列{}为等比数列；

（2）证明：存在实数m，使得对∀n∈N*，a2n-1＜a2n+1＜m＜a2n+2＜a2n．26、已知：偶函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．27、如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱BB1⊥底面ABCD，E是侧棱CC1的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD1B1；

（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．评卷人得分五、作图题(共1题，共7分)28、已知函数；

（1）求函数f（x）的周期以及单调递增区间；

（2）在给出的直角坐标系中；请用五点作图法画出f（x）在区间[0，π]上的图象．

评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)29、如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点．

（1）求证：MN∥平面A1BC1；

（2）求三棱锥B1-A1BC1的体积．30、已知点A为定点；线段BC在定直线l上滑动，|BC|=4，点A到直线l的距离为2．

（1）求△ABC的外心M的轨迹E的方程；

（2）过点A任作直线与轨迹E相交于P、Q两点，问直线l上是否存在点H，使得•为定值？若存在，确定点H的位置及其定值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】【分析】求出双曲线的a，b，c，设双曲线的右焦点为F'．连AF'，BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，设AF=m，由双曲线的定义可得AF'=BF=m-2，运用余弦定理，可得m=4，再由向量的数量积的定义，计算即可得到所求．【解析】【解答】解：x2-=1的a=1，b=，c=；

设双曲线的右焦点为F'．连AF'；BF'；

可得四边形AFBF'为平行四边形；

即有AF'=BF；∠FAF'=120°；

设AF=m；由双曲线的定义可得AF'=BF=m-2；

在△AFF'中；由余弦定理可得；

cos120°==-；

解得m=4；

即AF=4；BF=2；

则•=||•||cos60°=4×2×=4．

故选：B．2、C【分析】【分析】由约束条件作出可行域，求出的范围，由==，求出其范围，可得使不等式≥a恒成立的实数a的最大值．【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图；

∵===；

设z=；

由图可知，1；

∴z∈（2，），则；

∴∈（）．

∵不等式≥a恒成立；

∴．

故选：C．3、C【分析】【分析】①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c∥b；若c⊥α，则结论成立，否则不成立；

②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b∥c，从而a⊥b；

③由b⊥β，α∥β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；

④由a⊥α，α∥β，可得a⊥β，由b∥β，可得过b与β相交的直线c∥b，从而可得结论．【解析】【解答】解：①∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b；若c⊥α，则结论成立，否则不成立；

②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b∥c，∴a⊥b；故结论成立；

③∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b；故结论成立；

④∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，∵b∥β，∴过b与β相交的直线c∥b，a⊥c，∴a⊥b；故结论成立

故选C．4、A【分析】【分析】由a1=，an+1=+可得a2=1，，a4=1，a2008=1，从而可求数列的和【解析】【解答】解：∵a1=，an+1=+

∴a2=1，，a4=1，，，a2008=1

∴S2008=a1+a2++a2008

=（）+（）+

==1506

故选A5、D【分析】

∵x2+y2=1，x、y是正实数，令z=＞0；

则z2=++=++=2+++≥4+当且仅当x=y时，等号成立．

而由x2+y2=1可得1≥2xy，即≥2；当且仅当x=y时，等号成立．

故z2≥4+4=8，∴z≥2当且仅当x=y时，等号成立．

故的最小值为2

故选D．

【解析】【答案】令z=＞0，利用基本不等式求得z2≥4+当且仅当x=y时，等号成立．而由x2+y2=1可得≥2，当且仅当x=y时，等号成立．故z2≥8；

由此可得的最小值．

6、D【分析】【解析】

试题分析：根据题意设函数f(x)=kx+b,则可知利用对应相等得到b=1,k=-2,因此可知故选D.

考点：定积分的运算。

点评：解决的关键是利用微积分基本定理来待定系数法来得到，属于基础题。【解析】【答案】D7、A【分析】【解析】本题考查复数的运算；共轭复数的概念，复数的几何意义.

因为所以则对应点坐标为（1,3），在.第一象限.故选A【解析】【答案】A8、D【分析】【解答】解：=2﹣1+k=1+k．

∵与的夹角为60°；

∴cos60°=解得k=2．

故选：D．

【分析】利用向量夹角公式即可得出．9、B【分析】解：由A中的不等式变形得：x（x+1）≥0；

解得：x≥0或x≤-1；

∴A=（-∞；-1]∪[0，+∞）；

∵全集U=R；

∴∁UA=（-1；0）．

故选：B．

求出A中不等式的解集；确定出A，根据全集U=R，求出A的补集即可．

此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】【分析】如图所示，，设=t≥0．可得•=•=t2-t=-，利用二次函数的单调性即可得出．【解析】【解答】解：如图所示，；

设=t≥0．

∴•=•

=-

=t2-t

=-

．

当t=时取等号；

∴•的最小值为-．

故答案为：．11、略

【分析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosα、cosβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sinβ的值，再利用二倍角公式求得sin2β、cos2β的值，可得α+2β∈（0，π）．利用两角和的余弦公式求得cos（α+2β）的值，可得α+2β的值．【解析】【解答】解：由题意可得cosα=，cosβ=，∴sinα==，sinβ==；

∴sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β-1=；∴2β仍为锐角，α+2β∈（0，π）．

∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=-=-；

∴α+2β=．12、略

【分析】【分析】如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE．由H是△SBC的垂心，可得BE⊥SC，由AH⊥平面SBC，可得SC⊥平面ABE，得到AB⊥SC，设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，可得AB⊥平面SCO，CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，由△ABC是正三角形．可得S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．可得三棱锥S-ABC为正三棱锥．进而得到∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，可得SO，即可得出三棱锥S-ABC的体积．设M为三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为R，则点M在SO上．在Rt△OCM中，利用勾股定理可得：，解出即可．【解析】【解答】解：如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E；连接AE．

∵H是△SBC的垂心；

∴BE⊥SC；

∵AH⊥平面SBC；SC⊆平面SBC；

∴AH⊥SC；又BE∩AH=H

∴SC⊥平面ABE；

∵AB⊆平面ABE；

∴AB⊥SC；

设S在底面ABC内的射影为O；则SO⊥平面ABC；

∵AB⊂平面ABC；

∴AB⊥SO；又SC∩SO=S；

∴AB⊥平面SCO；

∵CO⊂平面SCO；

∴CO⊥AB；同理BO⊥AC；

可得O是△ABC的垂心；

∵△ABC是正三角形．

∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．

∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．

由有SA=SB=SC；

延长CO交AB于F；连接EF；

∵CF⊥AB；CF是EF在面ABC内的射影；

∴EF⊥AB；

∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角；∠EFC=30°；

∵SC⊥平面ABE；EF⊂平面ABE；

∴EF⊥SC；Rt△EFC中，∠ECF=60°；

可得Rt△SOC中，OC===；

SO=OCtan60°=a；

VS-ABC===．

设M为三棱锥S-ABC的外接球的球心；半径为R，则点M在SO上．

在Rt△OCM中，MC2=OM2+OC2；

∴；

解得R=．

故答案分别为：，．13、略

【分析】【分析】由指数函数为减函数；要求复合函数的减区间，需求指数的增区间，指数中对数函数是增函数，则需要求满足。

cosx大于0的增区间，则答案可求．【解析】【解答】解：要求函数y=的单调递减区间；

需求函数lgcosx的增区间；

也就数满足cosx大于0的增区间；

由余弦函数的增区间可得：函数y=的单调递减区间是（2kπ-；2kπ]，k∈Z．

故答案为：（2kπ-，2kπ]，k∈Z．14、【分析】【分析】利用平面的法向量与斜直线的方向向量所成的夹角的计算公式即可得出．【解析】【解答】解：设直线l与平面α所成角为θ，则===；

∵，∴，即直线l与平面α所成角的大小为．

故答案为．15、略

【分析】

不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c

∴ab＞M2

由题意可得，

∴

∵a2+b2≥2ab＞2c

∴c2＞2c即c＞2

∴ab＞2

∴M2≥2

∴

故答案为：

【解析】【答案】不妨设c为直角边，则M＜a＜c，M＜b＜c，则可得ab＞M2，结合题意可得结合a2+b2≥2ab可求c的范围；进而可求M的范围，即可求解。

16、略

【分析】

由两个向量共线的性质可得（）•=0，即+=0．

∴1+k2+（-4-2k）=0；解得k=3，或k=-1；

故答案为3或-1．

【解析】【答案】由两个向量共线的性质可得（）•=0，化简可得1+k2+（-4-2k）=0；由此求得k的值．

17、略

【分析】【解析】

由ρ=2cosθ⇒ρ2=2ρcosθ⇒x2+y2-2x=0⇒（x-1）2+y2=1，ρcosθ-2ρsinθ+4=0⇒x-2y+4=0，∴圆心到直线距离为那么到直线距离最短为-1.【解析】【答案】18、略

【分析】解：∵向量=（2，1），=（3，x），（2-）⊥

∴（2-）•=2-=2（6+x）-（9+x2）=0，即x2-2x-3=0；解得x=-1，或x=3；

故答案为-1或3．

向量表示错误：

由题意可得，（2-）•=0，即2（6+x）-（9+x2）=0；由此求得x的值．

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．【解析】-1或3三、判断题(共5题，共10分)19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×22、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．23、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共4题，共36分)24、略

【分析】【分析】用分析法证明，两边平方，化简即可证得．【解析】【解答】证明：要证：≤a+；

只需证明：≤+2

只需证明：0≤2；显然成立；

∴a＞0，则≤a+．25、略

【分析】【分析】（1）由题意化简可得x2+x-1=0，从而可得λ1+λ2=-1，λ1λ2=-1；化简•=•==-；从而证明为等比数列；

（2）化简a2n+2==；从而得到＜a2n，从而只需使a2n＞；同理可得a2n-1＜；故令m=即可．【解析】【解答】证明：（1）∵f（x）=；f（x）=x；

∴x2+x-1=0；

∴λ1+λ2=-1，λ1λ2=-1；

∴•

=•

=•

=

==-；

又∵＞0且≠0；

∴数列{}为以为首项，-为公比的等比数列；

（2）∵a2n+2==；

又∵a2n+2＜a2n；

∴＜a2n；

故a2n＞；

a2n+1=；

又∵a2n-1＜a2n+1；

∴a2n-1＜；

∴a2n-1＜；

∴令m=；

则对∀n∈N*，a2n-1＜a2n+1＜m＜a2n+2＜a2n成立．26、略

【分析】【分析】直接利用偶函数的性质：在关于原点对称的区间上单调性相反即可得出其在（-∞，0）上的单调性；再利用函数单调性的定义证明结论即可．【解析】【解答】解：因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；

且f（x）在（0；+∞）上是增函数；

故f（x）在（-∞；0）是减函数．

证明如下：若-∞＜x1＜x2＜0，那么0＜-x2＜-x1＜+∞．

由于偶函数在（0，+∞）上是增函数，故有：f（-x2）＜f（-x1）

又根据偶函数的性质可得：f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2）

综上可得：f（x1）＞f（x2）

故f（x）在（-∞，0）上是减函数27、略

【分析】【分析】（Ⅰ）先证AC⊥BD与BB1⊥AC，再证AC⊥平面BDD1B1

（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F，连接OF，EF，先证OF∥CC1与OF=CC1，再证OC∥EF，再证AC∥平面B1DE．【解析】【解答】证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形；所以AC⊥BD；

因为BB1⊥底面ABCD；

所以BB1⊥AC；（3分）

所以AC⊥平面BDD1B1．（5分）

（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B1D的中点F；连接OF，EF；

则OF∥BB1，且；

又E是侧棱CC1的中点，，BB1∥CC1，BB1=CC1；

所以OF∥CC1，且；（7分）

所以四边形OCEF为平行四边形；OC∥EF，（9分）

又AC∥平面B1DE，EF∥平面B1DE；（11分）

所以AC∥平面B1DE．（13分）五、作图题(共1题，共7分)28、略

【分析】【分析】（1）根据周期公式可求周期；由三角函数的单调性的性质即可求函数y=f（x）的单调递增区间；

（2）列表