2023考研数学核心公式大全解

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目录

CONTENTS

第一部分高等数学

第一章极限....................................................2

第二尊一无函数微分学...........................................7

第三章一元函数积分学.........................................15

第四章常微分方程.............................................24

第五章多元函数微分法及其应用................................28

第六章二有积分................................................33

第七章无穷级数（仅数一数三）..................................36

第八章向量代数与空间解析几何（仅数一）.......................44

第九章三重积分（仅数一）.......................................49

笫十章线面积分（仅数一）.......................................53

第二部分线性代数

第一章彳r列式62

•ni•

第二章矩阵....................................................66

第三章向量....................................................72

第四章线性方程组.............................................77

第五段特征值与特征向址......................................79

第六章二次型..................................................84

附录向最空间（仅数一）.........................................88

第三部分概率统计

第一章随机事件和概率.........................................92

第二章一维随机变址及其分布..................................96

第三章二维随机变量及其分布..................................1（X）

第四章随机变址的数字特征....................................104

第五章大数定律和中心极限定理................................108

第六章数理统计的基本概念....................................109

第L：章参数估计................................................112

第八章假没检验（仅数一）.......................................116

附录常用中学公式

常川中学公式....................................................12（）

1

•IV・

j-------------------------------------LCKK

第一章极限

L_________________________________________________________________

1.极限

(I)数列极限存在的充分必要条件

lirn.v,,=aolini.t"/=.=linn、”=a

“TOD91〃F一lFx|"—XIn-x

olim孙“=limx=limx,=a

n•xfi3nfln•xo42

(2)函数极限的局部保号性

如果lim/(x)=上且A〉0(或，<0),那么存在常数5>0.使得

当时,有或

0<|x-x0|<5/(x)>0(/(K)<0).

(3)无穷小的比较

设lin】a(x)=0,lin)^B(.v)=0,^3(.v)/0,

①若lim的斗=0,则。(叫是比万(比高阶的无穷小,记为Q(N)=

p(-v)

o(3(x)].

2若lim罄W*=c(C).则a(i)与)8(x)是同阶无穷小.

尸(工)

特殊地.若。=1时,则。(叫与伙与是等价无穷小,♦为。(殊~

伙•')

(4)常见等价无穷小

当A—*0时,sin.v~lain~an-siitv〜cinlanx~hi(1+工)~-1~.t.

u-I~vlnn,I-cosv~,(I4-v),—I-,

・o・

第一部分高等数学Alpass一笑而过

一3一戈

sinx〜4-x,x-arcsinx-；J.-tanx〜-%_

o63

1

arctan.v~

(5)常见函数的〃阶麦克劳林公式

2

Ie'=I+x+^—+•••+^—+o(xn).

2!〃！

1n

v-/_iv*-Y

②In(1+x)=x-父+…+---------+o(x").

2n

2

(3J-=I-.v+x+(—X)+o(x").

1+x

(1\nZn4I

-I)%./2”+I、

⑸sinx=t-2+…+~7^--------+o(x).

(2〃+1)

(1)”/

⑥cos.v=

(6)洛必达法则

设(l)lin/，屈于;或巴型；

(2)在小的某去心领域内.广(X),/(K)都存在］L/(%)X0;

(3)linT^-7p4=1或oc；

则lin】"')二liiiJJ=4或8.

'•“)&(1)(.。V)

(7)夹逼准则

如果数列：及；如满足下列条件:从某项起，即于％

使得当")时,那么数

£N,•n>(有)“W.r“w，.11,lim=limzM=a

・3・

QIpQSS一笑而过考研数学核心公式大全解

列1工“I的极限存在.且lin】阳,=a.

H>X

(8)单调有界准则

①若数列单调有界，那么数列收敛.

②若数列1册！单调增加有上界,那么数列卜〃1收敛.

③若数列单调减少有下界,那么数列1茁」收敛.

3.连续与间断点

(1)连续

函数)=/(.v)在点•%连续olirn/(x)=/(x)0/(。)=/(.%)

­**'O0

=/(%♦).

(2)间断点

设x=%是间断点，

①若lim/(冤)都存在.则称工二%为第一类间断点,

If(:I-l(f

此时,

乂lirn/(.v)=lim/(x),则称.*=x是可去间断点,

r*NT0

乂lim/(x)#lim/(.t),则称工=,v0是跳跃间断点.

②若lim/(x).至少有一个不存在的间断点称为第二类

if：»-Mf

间断点.此时.

乂lim/(x)=8或lirn/(x)=oo,则称x=x0是无穷间断点,

乂lim/(x)不存在且极限值上下振荡，则称x=.%是振荡间断点.

»♦»()

4.渐近线-

］若liin/(.\)=8或lim/(x)=8,则欠=,v为曲线.=/(x)的

、•一»-«<r(l

・4•

第一部分高等数学^Ipass一笑而过

垂直渐近线.

②若=弧则)•八为曲线y=/(%)的水平渐近线.

③若A=li]i[y(贝I]),=是曲线y=

，"),I,=mx)-kx],kx+b

1—»xXx—x

/(%)的斜渐近线.

(经典题型1)求极限1叫(U-l)

所以，原式二e二.

(经典题型2)

(I)证叨方程…+K=1(〃为大卜1的整数)在区间

(泉)内仃H.仅不.•个实根；

([1)2(I)中的实根为.1〃，证明1加3存在，并求此极限.

H•X

•5•

Alpciss一笑而过考研数学核心公式大全解

【证】令/（X）=.d+X〃7+…+.T-1则/（X）在忖-，1］上连

续,H

故由闭区间连续函数的零点定理知./（'）住区叫；，D内至少有一个

零点，即方程…在区间（十,）内至少有一个实根.

n2

乂/'（X）=nx'"'+（/?-!）.v+・・・+2*+1>0.Kw（；.1）,

故/（.v）在"内单调增加，可知/（.i）在区间（入内只有一个'专

点，从面方程.—在区间（£•^内有且仅有.一个实根.

（11）由于I）,所以数列入」有界.乂

端+.・・+、〃=1,《:；+E:+…+芭…=1,而.、：：；〉（）,

所以♦I+…+X”♦I<1：+,即/（.r..1）</（.1〃）.

乂/（.、・）在卜；,1卜内不调增加，所以（-<、“.即数列门〃!不调

递减.

综I：.数列I:单调有界，故卜/收敛,设I=lim.v,,.

n•«

由于、：+.';「+…+.'“=1,即中一力=1.

今〃-X,并注意到;<.'•〃<I,则有占=L解得1=;，即

hi心“=—.

,6•

第二章一元函数微分学

I.导数

(1)导致定义

5\../(・%+△、)-/(%)../(X)-/(%)

/(.r0)=hm--------；---------=Inn-------------.

“⑷Ar»-1()x-,v()

(2)曲线的切线与法线方程

曲线/(笃)在点5处的切线方程：、=/'(4)(冕-.%)+/(%);

曲线/(、)在点％处的法线方程：？二-TTT'-TCV-.VJ+/(.%).

(3)基本求导公式

①C=0(C为常数)(V)

(/)'=r'(In|xI)r=—

.v

2(sin.v)'=c<)s.x(cos.v)r=—sin.v(tan.v)'=sec".v

(cot.v)'=一CS<-'A(S<»(A)'=sec.vkin.v(csc.v)'=一cscxvotx

甘［)n(.v+{£+〃2)］，=或三fln(v+，x;_//)］，=——

Jq+a2\/.x2

4(circsin.v)'=---1一(arccosi)’---^zrrzz.

\1—~\1-A-

(iiKkiin)'=--~~?(cineolv)'=-----T

1+.v-1+.1

•7•

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(4)求导的四则运算法则

①(〃±〃)'=〃'士，；

②(〃好)'=u'v+uvr；

产(V0).

(5)复合函数求导法则

设y=/(〃)，〃二3(芯)，如果3(五)在.1处可导，/(〃)在时应点、〃

处可■导，则复合函数y=/l3(、)］在“处可悖，口有

工=汇.石=/［少⑴)・W(“)・

(6)隐函数求导

设函数)=/(工)由方程产(工，,)=0确定，把方程中的'看作

的函数/(.E).在方程、)=。两边对.'求导.得含有乎的一个方

(1.V

程，解出》即可.

(\x

(7)参数方程确定的函数的求导(仅数一数二)

设函数)=/(%)由参数方程「一”“确定，/是参数.贝I］

I.F=”(，)

(〃(

1>:一•'.-/--)---

<l.v<l.v/(k3'(/)'

d\［Idj/"l“，(/),(/)-“'(/)/'(/)

(l'2(虫)/"(/)

(8)变限函数求导

若/(•、)在［〃.幻1］连续,叭C,)在［〃，/门［二可导.则

,8,

第一部分高等数学Qlpciss一笑而过

广/(t)ck・“'(》)-/[<?(#)]・3'(％).

&A)

(9)微分公式

若/(若可导,则"#)=/'(%)也

2.微分中值定理

(1)罗尔定理

设函数/(数在[仁川上连续,在(〃，〃)内可导,/(〃)=/(〃).

则至少存在一点5£(〃•〃)，使得/'(§)=().

(2)拉格朗日中值定理

设函数/(%)满足(1)在闭区间[〃,一上连续;(2)在开区间(”,

6)内可导;则存在“(a,〃),使得

I)-a

有时也写成,存在夕£(。，1),使得"十一/⑷=/'(§),其中

b-a

=a+0(b-a),

(3)泰勒中值定理

若函数/(-V)在斯的某个领域U(5)内具有(〃+数阶导数,则对

任一、eU(x()),有

/"(-”).

./(A)=/(.%)+/'(.0)(.《-.%)+—yj—(x-•%)~+•••

+------；—(:E-翼0)+R"(X),

〃！

其中此(K)1窜(•■.%)"!这里专是冗。与无之间的某个值.

(〃+1)!

・9•

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3.导数应用

(1)极值

①定义:设函数/(、)在点飞的某邻域〃(%)内有定义，如果对

于去心领域0(阳))内的任一X,有/(工)</(.%)(或/(.V)>/(X())).那

么就称人项))是函数/(")的一个极大值(或极小值)，称飞为函数

/(X)的极大值点(或极小值点).

②必要条件：设函数/(冤)在小处可导，且在小处取得极值，

则广(与)=0.

【注】导数为零的点称作驻点.

③第一充分条件：设函数/(')在/处连续,且在的某去心

邻域认X。)内可导.

若xw(冕o-b,)时,/'(x)>。.而-e(%0,x()+<5)时，/'(x)

<0,则/(%)在/处取得极大值;

若X£(X。-8,.%)时，/'(工)<。，而.T£(.%,M)+8)时，/'(X)

>0,则/(%)在/处取得极小值;

若工时,广(冤)的符号保持不变，则/(工)在阳)处没有

极值.

④第二充分条件：设函数/(工)在/处具有二阶导数且/'(3)

=0,/'(%)X0.则

当/〃(・%)<0(或〉0)时,函数/(“)在3处取得极大值(或极小

值).

(2)闭区间最值

第一步：求出/(无)在(a,〃)内所有驻点及不可导点;

・1()・

第一部分高等数学9dpeISS一笑而过

第二步：计算/（T）在上述驻点、不可导点处的函数值及

/（〃），/⑹；

第三步：比较第二步中诸值的大小，其中最大的便是/（、）在

［〃,川上的最大值,最小的便是/（方）在［右十上的最小值.

（3）曲线凹凸性判定定理

设/（%）在［。，以上连续.在（*/，）内具有一阶和二阶导数，

那么

①若在（〃，〃）内/〃（工）＜（）,则曲线）=/（'）在［%刈上的佟1形

是凸的.

②若在（明♦内广（若＞0,则曲线y=/U）在［明一上的图形

是凹的.

（4）拐点

①定义：如果曲线）=/（'）在经过（.%,/（小））时,曲线的凹凸

性改变了,那么就称（5,/（.%））为这曲线的拐点.

②必要条件:若（・%./（.%））为拐点.且/〃（%）存在,

贝旷"（％）=0.

③第一充分条件：设函数/（%）在点小的某去心邻域》（/）内二

阶可导，

若/"（"）在点/两侧异号,则（5，/（3））是/（'）的拐点.

若/"⑴在点.%两侧同号，则（・%,/（.%））不是/⑴的拐点.

④第二充分条件：设函数/（%）在心处具有三阶导数且

广（%）二。,则

当"（”）#0时，（%,/（.%））是ZU）的拐点.

（5）曲率、曲率半径、曲率圆（仅数一数二）

加率人二」二；曲率半径尺二:；曲率圆与曲线在切点必

（1+y）''A

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有相同的切线、凹凸性和曲率.

4.导数的经济应用(仅数三)

(1)边际函数

设经济函数y=/(1)可导,则称/'(')为/(工)的边际函数.

①边际成本。'(。)

经济意义:当已经生产了Q件产品时.再生产一件产品所增加

的成本.

②边际收益*(0)

经济意义：当已经销售了Q单位产品时，冲销件一个单位产品

所增加的收益.

③边际利润〃(Q)

经济意义:当已经生产了。单位产品时.再生产:•个单位产品

所增加的利润.

(2)弹性函数：若>小)可存且,(.1)/().则将乎・工称为了(.1)

(I.VV

的弹性函数.

【注】需求量。关于价格〃的弹性称作需求价格弹性，按弹性函数

定义是•与由于这个值小于零，所以倘若题目要求需求

(1/(/

价格弹性大于零，则要写成「$*(.

(1/Q

(3)最大利润的条件

①〃0)取得最大值的必要条件:"(0)=0.即

②卬。)取得最大值的充分条件:〃(Q)=0,L!\Q)<0.

l

(经典题型3)已知方程17r~L=L在区间(o.1)内有实

\n(1+A)A

•12•

第一部分高等数学Alpass一笑而过

根，确定常数”的取值范围.

【解】记/(•、)—;--,Ve(0,I),

ln(I+.v)x

则lim/(.i)=；/(「)=上-l.

I4>*21必

r,/、1I(I+X)In2(I+X)-x2

A2(I+x)In2(I+x)x2(I+A)In2(1+.t)

设《(.')=(l+-r)ln2(1+.E)-x2,则有

g'(.r)=hr(1+A)+21n(1+.\)-2v,

邛3」_2=21可+-

1+冥I+xI+x

所以g'(五)单调减少，又g'(0)=0,所以/(*)</(0)=0,故

K(.r)单调减少.

又g(0)=0,所以*(.、)<8(())=0.进而知/'(.')<(),故/(4)

单调减少，且其值域为(上-1,J)

综上欲使原方程有实根，即使得曲线/(、)=—1—与水

ln(I+V)x

平线丫二A有交点，只需A£(卷-।，；),

(经典题型4)设函数/(.I)在区间[(),I]1二具有2阶导数,且

/(I)>0,lim^^-<0.证明:

A4)♦X

(1)方程/()=0在区间(0,1)内至少存在一个实根;

(H)方程/(%)/”(化)+(/'(”)了=0在区间(0,1)内至少存住

两个不同实根.

【证】(I)由期殳知/(.1)连续且1加乂立存在，所以/(())=().

i4)•.V

•13•

仑IpQSS—笑而过考研数学核心公式大全解

由1而3<。与极限的保号性知,存在。£（（）,1）,使得小1

»4）*X〃

<0,即/（a）<0.

又/（1）〉0,根据零点定理，至少存在一点〃£（〃，DC（0,1）

使得/"）=0,即方程/（冥）=0在区间（0，1）内至少存在一个实根•

（n）记尸（％）—）/'（%）.

由（I）知/（。）:/（〃）=（）,根据罗尔定理，存在。£（0,/））,使

得/（c）=0.所以F（0）=F（c）=F（6）=0.

乂产㈠）在区间［0,口上可导，根据罗尔定理,存在《£（0,

c）,7?e",〃），使得广（§）二尸（7?）=。，即。4是方程

/（x）/"（x）+（/'（靠））2=0在区间（（）,I）内的两个不同实根.

•14•

第三章一元函数积分学

1.不定积分

(1)原函数与不定积分的概念

若存在尸(4)能满足尸'(霓)=/(%),\/五£/,则称/(')为/(*)在

区间/的原函数，同时把函数/(%)在区间/中带有任意常数项的原函

数称为/⑴在区间/的不定积分，记作［/.(«)&.

(2)不可积的不定积分

(3)基本积分公式

P<IA=心+C(JIJ|U为常数)

f.vn<l.v=5二+。(”六-I.实常数)

〃(卜=--a+C(a>().(/#1)

t*'(Lv=e'+d(,os.vd.v=sin.v+('

cos.v+(:

•15・

Qlpass一笑而过考研数学核心公式大全解

src2.v(lx=f------<l.v=tan.v+(:

JCOSA

,»।f1।/,

(•SC-A(I.V=­~—<lv=-cot.v+C

Jsin'.v

kin.vsrc.vd.v=s<*c.v+(:

Jcot.vcsc.vd.v=-cscrv+C

jtan.vd.v=-InCOSAi+C

Jcotxdx=In|sinx|+C

JSCCAXIA=InIsecx+tan.rI+C

jcsc.vd.v=In|CSCA-cotA+C

—=lt)i\+\/x2±a2|+C'(〃>0)

J-土J

((l.VIX/、/八、

--------7=——arctan——+6(a>())

J(C+a(i

[-3^=+(：(a>0)

JK—(12.(1X+(I

(4)常见凑微分公式

IJsin.y/(cosx)d.t=-J/(cos.r)dcos.v.

②J-f(In.v)(lx=J/(\nx)dln.v.

3出口卜=-Mv)dp

•16•

第一部分高等数学Alpass一笑而过

IJ[/(，')<lv=2J/(J.\)<1v.

v.1

5卜T/(N")<lv=—J/(m(n#()).

(5)三角换元与无理换元

被积函数所含根号的形式所作换元示意图（用于回代）

?x="sin/

/22

7a-A

J'=〃「必山

•1/Q

J,

令,v=nl;in/

/J+F

<l.v=asfc/(!/

3[

令A=asvvt

\-a'(.V>0)

<li=r/scc/km/dt

令/二八+h

s/n.v+

b,Ill1./"-/>

(l.V=----------(1/x=-------

a

（6）分部积分法

I公式：没〃（.'）.，（、）均仃连续导数，则p/<lr=ur-p（l/z.

2选〃的顺存口认：、'反、对、林、三、指二

（7）有理函数枳分

•17・

9dpQSS一笑而过----------------------考研数学核心公式大全解

(2)f-,工：B—(|x=gin|ax2+bx+c|

Jax'+bx+c2a

+(_?+/"—.

\2(i'Jax~+bx+c

其中——可以先对分母配方(如果需要).再代人基本积分

Jax~+bx+c

公式.

2.定积分

(1)定积分定义求数列极限

(2)定积分比较大小

如果在区间［〃，幻上/(X)这g(x),那么［7(X)(lxfg(.t)(l.t

(a<b).

特殊地,J/(x)dxWf|

/(X)(I.V((1<1)).

(3)定积分中值定理

如果/(')在［a,网上连续,那么存在《［a,b|,使［J\x)d.v

=/(《)(〃-a).

(4)定积分的奇偶性

①若/(文)为奇函数，则「/(x)<lx=0；

②若/("为偶函数.则/./(.v)<l,v=2f/"(x)(lv.

J(1

IS

第一部分高等数学QIpCISS一笑而过

(5)沃利斯公式

〃-3

〃为偶,

n-2J

泻…宗L23且为奇.

(6)牛顿一莱布尼茨公式

如果函数尸(动是连续函数/(x)在区间［。,/)］上的一个原函数,

b

那么//(X)(1.V=F(x)=F(b)-F(a).

(7)无穷限反常积分

①设尸(方)为/(为在+8)上的一个原函数,若lini/(%)

■一♦X

存在.则反常积分

[+X/(x)(lx=F(x)+X=limF(x)-F\a).

②设/(')为/(')在(-8,以上的一个原函数,若limF(x)

l--X

存在，则反常积分

/f(x)dx=F(x)''=F(b)-limF(x).

J-X-x»•-«

③设/(X)为/(x)在(-8,+8)上的一个原函数，若

lim尸(x)与lim仪*)均存在，则反常积分

V—•♦XV*-X

f/(x)(IV=F(x)=limF(.t)-limF(x).

J-X-X»'.-X

(8)无界函数反常积分

①设笃二〃为/八)的瑕点，在(〃.川I：r(A)=/(.r),若

lim尸(%)存在，则反常积分

i，”♦

f/(x)d,v=F(.v)=F(I))-limF(x).

J“♦I♦”♦

•19•

仑Ipass一笑而过考研数学核心公式大全解

②设为/(«)的瑕点，在［〃，段上广(.')=/('),若

lim尸(X)存在.则反常积分

I•/1•

-////-

I/'(x)d,v=F(x)=litnA(.r)-F(a).

Jaa\

(9)常见反常积分的收敛性

收敛<平>

>0).

发散<>〃W

收敛—p>1("

②「而乐叫>1).

发散一〃w।

.3/收敛f>0

(〃>0).

I发散…人W0

④/二小｛收敛・平<

发散«平

3.定积分的应用

(1)宜角坐标系下的面积公式(2)极坐标系卜的面积公式

(2)弧长(仅数一数二)

①直角坐标系：设光滑曲线y=y(i).xe[</,〃],弧长

•2()・

第一部分高等数学9dpQSS一笑而过

，------7-

s=I\I+\

（2）极坐标系：设光滑|11|线「=「（，），G.弧K、=

I，/（，）+/1”川松

J〃

X=（r（/）,

Y",则

{V="/（/）,

弧氏A-=f\if"（，）+"”（/）山.

（3）旋转体体枳

已知平面图形Diii曲线、=v（.t）（曲线a,x.r,//）与一线

-V=〃，K=A和工袖围成，则平•面图形〃

J绕t轴旋依一周的体积I：=ITIy2（.v）（l.v；

JU

⑵绕〕轴旋转-周的体枳I：=2nf.v_v（.v）（l,v.

J”

（4）旋转体的侧面积（仅数一数二）

曲线〕二）（］）N（）（uWAW/，）绕.v轴旋转•周向成的旋状曲面的

面积S=f2TTV（A）\1+v,2（A）（l.v.

Jfl

（5）平面图形I）的形心

jj.v（l.v<lvj^vd.vdv

形心坐标（R『），H中f=勺——=匕——.

〃〃

（经典题型5）

Iearcsinv1-e2'd.v=.

^Ipass一笑而过考研数学核心公式大全解

(经典题型6)设函数/(#),g(K)在区间［〃.一上连续.H/(A)

单调增加，OWg(x)W1.证明：

(1)0Wfg(/)(1/X-a.XG［aJ)_；

J〃

r”♦I心

(n)I"/(.v)dx/(x)(,v)(h.

J〃J”g

【证】(I)因为Owg(.*)wi,所以当H时,有

f0(1/这fg(/)(1/f1d,,即0与fg(/)d，这K一a.

JflJ«fJ〃J“

♦fg(/)<i/

(II)令”(.1)="/(/)(!/-|/(/)g(/)<l/,.xe［a,b］.

JaJ”

因为/(%).g(x)在区间［〃，6］上连续,所以尸(、)在［%6］上可

导，且

“'(、)=/'(a+fg(z)<l/)•g(.v)-/(x)g(.v)

J〃

=&(K)/(〃+Ig(/)(Q-/(.')•

J”

|ll(I)知〃+j«(/)由W.r,乂因为/(1)单调增加.LLg(.i)N(),

Jfl

所以F'(K)这0.从而可知r(x)在［〃.所上单调减少.

乂♦(〃)=0,故/(6)W「(a)=0,即仃

・22・

第一部分高等数学Qlpciss一笑而过

I)«i/j

I“./(V)(I.VW(/'(.x)g(A)(lx.

J〃J“

[A=/(/)/F\

(经典题型7)(仅数一数二)已知曲线忆,卜).

V=cos/12)

其中函数/(，)具有连续导数，且/(0)=0.广⑺>0(。</(介若

曲线/，的切线与K轴的交点到切点的距离恒为1,求函数/(/)的表达

式.并求以曲线L及X轴和)轴为边界的区域的面积.

【解】曲线人在切点坐标(/(/),以刈)处的切线斜率为-/六，切线

方程为

)-COS/__/,(/)[../(1)]

令丁=0,得切线与K轴交点的横坐标为.%

sin/

由题意得+(,(*)=1.

\sin/)

■,

又/'(/)〉()，所以/'(/)=出口，从而

(,08/

.2

/(/)=卜<1/=ln(se<7+tan/)-sin/+C,

Jcost

由/(0)=0得。=0,故/(/)=ln(sec/+tan/)-〈in/.

当/=0时，x=/'(())=(),当/一(-y-j时，.r—►+8,可知以曲线/,

及.、轴，)轴为边界的的区域是介于曲线/,和V轴之间的一块无穷区

l[x=⑺代入,得

域,其面积为S=y(k.以曲线/,的方布

V=cost

R1T

S=]//(/)cos/(l/=J(—----cos/jcos/d/=1T

J

•23•

第四章常微分方程

1.一阶线性微分方程

（1）一阶线性齐次方程

形如=（）的方程.

公式：.）•=0-网小，其中力心）（卜只要一个政函数即川.

（2）一阶线性非齐次方程

形如./+〃（.V）V=（/（V）（（/（.V）-0）的力程.

公式：）•=1＞八小（＞/（"+（.[.

2.二阶线性微分方程

二阶线件齐次方程：

二阶线性M-次方程：

（1）二阶线性方程解的结构

VV

1若）।（X）।j）2（）足1"+P（））'+，/（*）V=（）的两个不成比例

的解,则）=G.、i（x）+，Kr）是微分方程，"+〃（.'），'+，/（'）的

通解.

2若）「（V）是）"+〃（X）/+（/（.V））=/（.、•）的一个解,Ci）I（V）

+C12（x）是）"+〃（*）/+，/（、）V=0的通解,则、"+〃（X）/+（1（V）

•24・

第一部分高等数学4lpass—笑而过

1

V=/(A)的通解为v=C；)।(A)+(\y2(x)+v(.v).

3叠加原理：设V)(V)，八(A)分别是「+〃(.')「+q(A)V=

/(X)，『'+〃(♦、•))'+,/(、)、二八(、)的特解.则“(N)+〉(、)足、〃+

p(X)Y，+(I(X)}=/|(-V)+/；(')的特解.

(2)./+〃./+=0(二阶常系数线性齐次方程)的通解

写出特征方程/+”+,/=(),解出特征根.根据特征根勺I；方程

通解：

(D两个不同的实根八,门,则方程的通解为>(x)=GQ'+3/\

②二重实根〃二七，则方程的通解为>(、)=(g+J)”.

3一对共,厄复根“2=a±仅，则)j程的通解为)(K)=en1

(C；<,0^3(x)+C'sin伙.v)).

(3)丁+”/+仆=匕(x)J的特解形式

①若人不是特征根,则令特解尸(、)=Q“(x)「；

②若A是特征力•程的单根，则令特解］*(.')=工。(、)「;

③若「是特征方程的币:根•则令特解)♦(，•)=/a(、)j；

其中匕(.、)为〃次多项式.a(、)为不缺项的〃次多项式.

(4)［"+〃］'+</、=",〃/(A)coszc.v+Pn(A)sin//\vj的特解杉式

①若人士Hi不是特征根.则令特解、♦(.E)=「［此/(&)<OSM；X+

R；(v)siiuzv,

②若A±ici是籽征根，则令特解］.(.'•)=.'「［(.')coszr.v+

(x)sinwx］,

其中〃,