《构造法在不等式中的应用探究》7500字（论文）

构造法在不等式中的应用研究摘要随着社会越来越文明，对人才的学历要求越来越高，考试是人才成长的决定性一步。在数学方面，要想在考试中获得高分，关键是要找到应对问题的方法以节省时间和精力，这就是为什么本文将研究一种重要的数学方法，即构造法。本文简要概述了数学构造法解题的方法和范畴以及数学教学中的典型问题类型，如果我们用数学构造的方法来解决问题，我们应该用相似原理解决数学问题，通常根据问题的条件和结论直接构造，变换和改变结论间接构造的条件和形式，用构造法解决数学问题的最基本方法，试题中有许多典型的设计实例，讨论它们的解决方式。探讨数学构造法在实践教学中的应用与渗透，使学生体验数学方法的美。关键词:构造法；考试题；应用目录TOC\o"1-3"\h\u30344摘要 前言构造法简单来讲，即构造出使用公式以及定理的必要条件，亦或赋予所解题目的几何意义以及满足其条件的具体事例，进而来验证结论是否正确和推翻结论的手段来解题的方式方法。这便是运用了数学的基本思想，经过一系列认真观察，深层思考，构造出数学解题的模型，最后达到解决问题的目的川。但是这并不能用完全一样的模式去进行直接的套用，而是通过一些广泛的、抽象的、普遍性的问题和独特性的实际问题作为前提，然后针对具体的题目去采取与其相适应的解决办法。我们在解决问题时，要善于将数和形进行结合，将式和方程以及函数和图形等建立关联，构造出新的问题形式，对条件和结论进行有效连接，像函数、向量、方程、递推关系以及图形等等。数学表达的若干种形式之间是有相互关系的，我们要将这些关系找出来，方能解决问题。在我国数学发展史上，许多难题的最终攻克解决，都是通过使用构造法。就目前而言，构造法在数学学科发展史中的贡献是无以替代的，时至今日仍旧在数学解题、教学还有科学研究中起到相当重要的作用。更为重要的是在整个数学学科中，被构造的这些数学对象，恰恰是至关重要的组成框架，大学、中学无一不是在反复地使用。几乎在数学的各个领域都能够看到数学构造法的“身影”，它的重要，也可想而知。学生如果能对这个方法进行掌握，对于完整知识体系的构建以及持续发展数学思维的培养大有裨益。随着数学学科的进步，其所形成的风格、思想方式、方法对如今数学前沿的探索研究起到更为至关重要的作用。秦汉时期的《九章算术》，则开创了中国传统数学构造性算法模式，不管数学方法的表述，还是数学概念定义，它们往往则是用构造性的算法给出，从来不用推理，只是罗列出某些规则出来:“如此做，做这个”。比如:该书在求两数的最大公约数时，提出了相减损之术:“以少减多，更相减损，以求其等也”，就是用大数字减去小数字，如此循环，不停相减，直到最后的余数和减数相等为止。比如117和52的最大公约数，数学构造法解题比如;《九章算术》中约分术算法，它的对应成果是求两数最大公约数;开方术算法，对应成果是开平法;盈不足术算法，对应成果是一次内插法;方程术算法，对应成果则是线性方程组的“矩阵”求解;正负术算法，对应结果引入负数及其运算法则。还有刘徽提出的重差术算法，相应成果是勾股测量及其计算方法;以及割圆术算法，对应成果是引入极限概念。还有朱世杰提出的四元术和招差术算法;以及《孙子算经》里提到的“物不知数”术算法;《张兵建算经》中的百鸡术算法;秦九韶提出的大衍求一术算法阁等等。以上可知，在数学发展的起始阶段，存在着大量的直观经验，而这些都是需要加以总结和提高的，也就由比时，构造方法体现出了极强的应用价值，所以无论东方还是西方，古代的数学都富有极其深远的影响。数学中最常用的方法之一是数学构造法。可以构造多种对象，学生理解认知边界。对于他们来说，在遇到具体问题后进行相应的设计是比较困难的，有时甚至不考虑用数学构造法来解决问题。构造法作的目的是帮助学生解决问题首先，让学生在解决问题的过程中体验卓越的构造法。同时，通过具体案例，让学生学会观察、思考、接触，充分发挥学生的联想能力，更好地将数学构造法融入学生的学习中，更好地理解和运用数学结构，解决问题。构造法是一种非常重要的数学方法。通过对构造法的研究，激发学生解决问题的灵感，促进学生的创新思维，提高学生的创新意识和学习积极性，提高学生解决问题的能力。创新思维意识在一切创新活动中都是非常重要的。敏锐的洞察力、大胆的想象力、独特的知识框架、新的想法等等是最基本的特点。构造法的关键是从这些方面训练学生的思维，这样可以把学生的思维从单一的类型转化为多个角度，培养学生的创新思维能力这就是为什么构造法的研究在数学教学中尤为重要。2构造法的内涵数学是一门思想性很强的科学。学习数学我们需要更多地了解和掌握解决问题的思维方法。自从数学诞生以来，数学构造方法就一直被人们所关注生产数学构造法对整个主题的发展做出了不可替代的贡献，并继续在数学问题解决、数学乃至科学研究中发挥着重要作用。数学构造法是数学研究中一种传统的、基本的方法。它是指当某些问题不能按固定的思维方式产生结果时，它们转向另一个角度去寻找问题的数量、结构、状态和终止之间的关系，从而构造数学对象或问题形式，将新构造的对象或问题的形式中原有的模糊性质表现出来，以达到解决数学问题的目的。数学构造法具有探索性、不规则性、创造性、直观性、可行性和灵活性等特点。它不同于一般的逻辑方法，是一种非常规思维。数学构式的本质在于“构”字，它需要一定的数学知识结构和敏锐的直觉数学构造的本质是根据问题的条件、结论和性质，合理地构造新的数学对象或数学模型。在解决许多问题的过程，其魅力显而易见。它通常起着化难为易、化繁为易、创新的作用。它是解决数学问题最有效的方法。看到了吗数学解题方法不仅仅是数学构造法，当我们使用其他方法时，求解过程非常困难，这种数学构造法简化了系统的复杂性和复杂性很明显。用数学构造法的思想来分析问题的条件，我们可以在问题中找到许多隐含的条件，使问题很容易得到解决我们可以。要知道许多问题只能通过以下方法直接解决：我们只考虑已知的条件。只有按照一定的目标，如数、公式、方程、函数等使用数学对象。如果我们解决综合性的问题，我们经常把代数问题转化为几何问题，利用设计师来解决几何曲面问题，解决最大值和最小值的线长问题，参数问题等等。从而促进数学知识之间的相互联系，达到相互转化的目的。掌握数学意味着什么？我们要善于解决问题，不仅要解决一些标准问题，还要解决那些独立思考、理性思考、独树一帜、富有创造性的问题。因此解决数学问题的重要性是非常重要的很重要，但是这很难，解决问题的方法控制。如果我们用这种方法来解决数学问题，应该运用一定的原理。相似性原则是指根据主体的问题或结论的表面特征设置条件的原则，为了实现相似性的统一，最终建构想象启发。直观性即通过构造一个数学形式，清楚地表明问题的条件和结论之间的关系变得直观，为了解决问题这个熟悉性原则就是仔细观察问题的情况和结论，然后仔细分析问题的结构特点，充分调动，观察丰富的联想能力，是否使用熟悉的公式、形式、方程式等，最后构造相应的数学形式以解决问题。观察分析问题的情况或结论，直接构造新的数学论文或数学模型，对于一些数学问题，我们不能直接从问题的状态或最终形式看出构造的起点，而是通过状态的变形或转化而得出结论，我们可以看到明显的设计信息，从而建立新的数学模型，解决问题。3构造法在不等式中的应用不等式是研究数、方程、函数等的重要工具之一。在不等式证明中，类比等数学思维方法是一种很难掌握的解决问题的创造性方法，而构造法是一种极具创造性的解题方法体现并渗透了假设、归纳、实验等数学方法。证明不等式的方法繁多，对于每一类题型都有最合适的方法来解决，如果方法得当，往往能使题目的证法化繁为简。构造法是证明不等式方法中一种重要且灵活的方法，它根据欲证不等式的具体结构特征，通过构造函数，数列和图象等，达到促进转化，简化证明的目的。构造法又可分为1、构造函数法；2、构造向量法；3、构造图形法；4、构造方程法等。3.1构造函数法构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答。例1：已知x>0，求证：分析：如果直接来证，势必要通分，计算繁杂，观察到左边可以看成一个整体，故构造构造函数,使证明变简。证：构造函数则，设2≤<由显然∵2≤<∴>0,1>0,>0∴上式>0∴f(x)在上单调递增，∴左边感悟：构造函数的方法来证明不等式往往是利用到函数的一些基本性质来解题，如此题中运用单调性等。例2：设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的取值范围（）.A.B.C.D.解析：设，则.因为时，，所以,即当时，单调递减.又因为为奇函数，且，所以为偶函数，且,则当时，单调递增.当时，，.当时，，.所以成立的取值范围，即答案为A..对题的解析过程进行回顾，本题是如何构造出，从而给出极其巧妙的解答。例3：已知函数的图像关于轴对称，且当时，成立，若，，，则的大小关系（）A.B.C.D.解析：设，则.因为时，，所以,则当时，单调递减.又因为函数的图像关于轴对称，所以为奇函数，当时，单调递减.又因为，，，则，即答案为A.例4：已知函数满足：，那么系列不等式成立的是（）A.B.C.D.解析：设，则.因为，所以,则在定义域上单调递增，所以,则，即答案为A.例5：已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立且为自然对数的底，则（）A.B.C.D.解析：设，则.由，得，则,在定义域上单调递减，所以,即答案为A.例6：定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A.B.C.D.解析：因为，所以，.由，得设，则，可得,则在定义域上单调递减，所以,则，即答案为A.例7：是定义在上的函数，其导函数为.若，，则不等式的解集.分析：数学变式题的给出，都离开最初的原题.借助例1至例6构造函数的方法，找出函数与本身导函数的关系.并根据，从而可以解答试题.因为，所以.这里把看做一个整体，再由例4知，设，则，得，则在上为单调递增.因为，，所以的解集.例8：证明：对于任意的不等式成立。证明设显然该函数是以为主元的一次函数。当时，是单调函数，且所以，当时，的最大值小于1，即例9：如果，那么证明构造函数可以证明函数在R上是奇函数且单调递增。即通过构造函数，利用函数单调性和奇偶性，把一些看似与函数无缘的问题转化为函数问题来解决，思路灵活新颖，简洁巧妙，可出奇制胜。实践表明，对于含有和抽象函数的不等式，问题的本质在于巧妙地构造出原函数，这是解决问题的最有力的武器.在构造过程中，必须掌握导数的相关知识，多加练习并反思，积累做题方法和技巧，提高解题能力，开阔视野，不断探索，通过观察、分析、对比、总结等一系列思维活动，简化试题结构，掌握所学的基本知识和方法.仔细的观察和思考例3和例4的解法，它们有一个共同点：采用导数的积运算法则，即.例3和例4的解法，它们也有一个共同点：采用导数的商运算法则，即.由此可见，对于含有和的不等式，将不等式的右边化0，若左边是和相加得形式，其中和常见的变量或常量.此时用导数的积运算法则；若左边是和相减得形式，此时用导数的商运算法则.当然，这只是做题的起初思想，但是要做出试题，还远远不行，而问题的关键在构造函数.波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律.”根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活的运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解法顺利的完成。例3中，根据导数的积运算法则得可以看出的导数为，的导数为1，从而构造出函数.例4中，，根据导数的积运算法则得可以看出的导数为，2的导数为1，显然不成立.则不等式两边定约去了一个不为0的变量.函数和本身的导函数有相同的变量，则猜想到函数.但这里还要考虑系数1和2，进一步猜想到复合函数.给上述不等式两边同乘以，则从而构造出函数.例5中，，根据导数的商运算法则得可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出函数.例6中，可得且，根据导数的商运算法则得可以看出的导数为，的导数为，且分母为，从而构造出.对于例3-例6这4个例题的不等式可以总结为和.这里有所疑问，当不等式的右边不是0时，那上述的构造函数方法显然不适用。3.2构造向量法求证：分析：从欲证式子的特征可以发现，左边的形式有点类似于向量的模，从而可以考虑用求解。证明：设当共线且同向时取等号，即由解得∴（当时取等号）。感悟：向量是高中一个重要的内容，它在数学中应用是多方面的，在今后其它知识点的学习时也要注意这种思想的运用。已知，求证：证明设，则利用向量虽是一种构造性的证明方法，但它与传统的综合法有很大不同，能避免繁杂的凑配技巧，使证明过程既直观又容易接受。3.3构造图形法已知0<a<1，0<b<1，求证：分析：不等式的左边都是根式下两数的平方形式，联想到两点间的距离公式，构造一个单位正方形，使代数问题转化为几何问题。ABABCDO1bba1aO到AD,AB的距离为a,b，则|AO|+|BO|+|CO|+|DO|≥|AC|+|BD|其中，又：∴感悟：灵活的运用构造图象法来解题有时会帮助你从复杂的不知从何下手的计算过程中解脱出来，当然构造图象的这种思维相对比较抽象，需要不断地培养。解不等式析本题若转化为不等式组来解很繁琐，利用数形结合的思想方法将抽象的式用形表示，则使问题变得简明直观解：令，它们对应的图象为半圆与直线，问题转化为的图象在上方时的范围，如图令得X0故原不等式的解为：X0如图，设曲线在点处的切线轴所围成的三角形面积为，求（1）切线的方程；2）求证（1）解：，切线的斜率为故切线的方程为，即（2）证明：令，又令，MM从而的最大值为，即应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明不等式中的优越性。3.4构造方程法求证：分析：此题为一联不等式的证明，如果设，则是其两个最值，联想到以前学边的函数求最值求法，这种形式的最值求法适合用构造方程法来解。证：设则：(y1)tan2+(y+1)tan+(y1)=0当y=1时，命题显然成立当y1时，△=(y+1)24(y1)2=(3y1)(y3)≥0∴综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）感悟：认清新知识与旧知识的本质联系有助于消除对题目的陌生感，对迅速抓住关键来解题是非常有利的。3.5构造数列法证明不等式对所有正整数n成立。分析：是一个与n无关的量，将它与左右两端作差构造出相应的数列，在利用数列的单调性来研究。解：设，构造数列，令，则，所以，为单调数列，首相为最小值。所以，即，又令，则，所以，为单调递减数列，首相为最大项，所以，即.综上所述，用构造单调数列证明不等式，若不等式的一边为和（积）式，则构造数列，使其通项等于和（积）式与另一端的差（商），然后通过比较法确定数列的单调性，利用数列的单调性即可使不等式获证。4结语我们知道，如果我们想学好数学，它不仅与学生的学习行为有关，而且与教师有着良好的关系。只有学生主动学习、主动思考，教师给予学生更好的指导，学生才能学好数学，学会用建构主义方法解决问题。无论是解题的构式方法问题还是构式方法的理论问题，我们最终只有一个目标，那就是教学生用数学构式的思维方法来解题。对知识体系和学生思维能力的要求不高。我们可以用“简单模仿、变异练习、自发交流”的过程铅。允许他们模仿老师或教科书的方法，解决一些实际问题，同时在过程中适当模仿，巩固知识和技能是指让学生在不断加工的知识中进行相应量的变异训练。虽然反复模仿和借鉴并不是学好数学的全部方法，但变异训练并不是全部是的。但是两者都是学好数学的唯一途径。它们是学好数学的基石。只有通过反复训练和灵活运用，才能有助于巩固和提高学生。它们是学生理解数学本质的必要环节。光靠这两个步骤做好试题是不够的，还要靠自己对试题的理解和飞跃学生们，进来解决问题的过程问题制造者理解问题的深层含义知识。但是这种理解常常是错误的直觉。因此教师应注重培养学生的思维能力和创新能力。在教学中，如果我们用构造法来解决问题。作为教师，我们应该整合新的理念，成为班级教育的带头人，即成为学生学习机构的带头人，充分发挥自己的作用。用自己的语言魅力，启发学生用自己的语言开放问题解决观念，发挥主导作用。引导学生养成良好习惯，在解决问题前认真审视问题，发现问题中的已知条件，解决需要解决的问题决定。我们也应该学习的基础，用发现的眼光去探索主体的隐含条件，并对其本身进行标记，以便于后续的分析和解决；如果真的不知道，就要着重分析问题的结构特征，关于问题的性质和建设的出发点去发现。培养学生在数学问题上的灵活性，将必要的问题引入数学模型，将未知转化为熟悉，将复杂转化为简单，解决问题新问题的分析。为了帮助学生，反思问题的解决方法，将新问题融入到自己的问题解决框架中，巩固自己的学习，可以使学生的思维结构和思维更加完善和系统。教学生如何构造，就是问他们这样的结构是怎么产生的，为什么我要用这样的结构。参考文献[1]侨有平.数学思想方法渗透教学探微[J].安徽教育，2019,12:31.[2]李玉花.浅谈数学教学中的思想和方法[J].中国科教创新导刊，2019,15:75.[3]孙林波.中学数学竞赛中的构造性思想方法研究[J].开封河