浙江省名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（

）A．6.5 B．6 C．5.5 D．52．已知向量，，且，则（

）A． B．4 C． D．83．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（

）A． B． C． D．4．在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（

）A． B．C． D．5．已知直线与，若，则，之间的距离是（

）A． B． C． D．6．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（

）A．0.256 B．0.128 C．0.064 D．0.02567．人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（

）A． B．C． D．8．点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（

）A． B．6 C． D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（

）A． B．C． D．10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．11．如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（

）A．若点P满足，则点到平面的距离等于B．若点满足，则的最小值是C．若点满足，则的最小值是D．若点满足，则的最小值是非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过的定点坐标是．13．已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为．14．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点．(1)求与两坐标轴围成的三角形面积；(2)若直线，且到的距离为，求的方程．16．在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且．(1)求直线EF与平面所成的角的正弦值；(2)求平面与平面的夹角的余弦值．17．已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点．(1)求的值；(2)若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线．18．在平面直角坐标系中，已知圆和圆．(1)求圆O与圆C的外公切线的长；(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．19．在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上．(1)求直线CD与外接圆的“线圆距离”；(2)求平面与三棱锥外接球的“面球距离”；(3)当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值．

答案1．C解析：解析：因为，所以样本数据的第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数即.故选:C．2．A解析：，，，∵，∴，，所以，故选：A．3．D解析：将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间，共有36个样本点，记“朝上面的两个点数之积为偶数”为事件，则事件，有27个样本点，所求概率为，故选：D．4．D解析：.故选：D．5．C解析：由于，故，解得，故与，故两直线间距离为，故选：C6．B解析：解析：记为“第次正确回答出问题”，则，故选：B．7．A解析：设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为，则由题意得，解得，所以该椭圆形轨道的离心率.故选：A.8．B解析：设AB的中点为，则，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，作，垂足为，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，作，垂足为，则平面，所以，又，平面，所以平面，即为所求的距离，在中，，由等面积知，故当最大时，达到最大，即时，．故选：B9．ABD解析：A．，A正确；B．新样本数据的顺序与原样本数据相同，即中位数满足，B正确；C．根据方差性质，有成立，C错误；D．若是，，…，中最大（或最小）值，则对应也是，，…，中最大（或最小）值，所以极差满足，D正确.故选：ABD．10．ACD解析：，，，，，设，，则，，A．，范围是，故A正确；B．设，则，故B错误；C．设为原点，则；故C正确；D．和的最大值为，最小值为，所以的最大值为，最小值为，，故D正确.故选：ACD11．BD解析：对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面，所以点到平面的距离即是平面与平面的距离，由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分，所求距离为，故A错误；对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确；对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面，球心在直线上，，半径为，所以的最小值为，故C错误；对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆，在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2，短轴长也为，所以的最小值为，故D正确.故选：BD．12．解析：化直线方程为：，即定点坐标为．故答案为：.13．65解析：因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以，由，得，则，可得：.故答案为：65.14．解析：设椭圆的标准方程为，点，，则代入中，得①又因为，即，即②比较得，，即，，又，即，解得．故答案为：15．(1)(2)或解析：（1）直线的斜率是，．其方程为：，直线与坐标轴交点坐标为和，则所求三角形面积为：．（2）直线的斜率是，设其方程为，所以，得或，所以的方程为或．16．(1)(2)解析：（1）连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面，以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，，，平面，平面，，，，取平面的法向量为，，，又，，而，，记直线EF与平面所成的角为，则，所以直线EF与平面所成的角的正弦值为．（2）设平面的法向量为，，，，，即，令，则取，易知平面，取平面的法向量为，记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．17．(1)(2)证明见解析解析：（1）由得，，所以，，即，故椭圆方程为，将代入椭圆方程得，所以.（2）设直线倾斜角为，则，得，所以直线为，得，又，所以直线斜率为，直线斜率为，所以，故E，A，B三点共线．18．(1)(2)①；②解析：（1）圆心，半径为,圆心O0,0，半径为，故，所以外公切线长为．（2）①设点，则满足，得，所以，而，得，所以．②设点，以为直径的圆方程为，即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为．圆心到直线AB的距离为，又因为点在圆上，即，，所以，设，且，由对勾函数在单调递减，在单调递增，得的最小值为，，,最大值为，所以的取值范围为．19．(1)(2)(3)解析：（1）以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，，在平面上，外接圆的圆心为的中点，即，且，故外接圆方程为：，直线CD的方程为，即，圆心2,1到直线CD的距