高一数学同步练习-任意角的三角函数基础练习题及答案

任意的三角函数•基础练习题

一、选择题

1.下列说法正确的是[]

A.小于90°的角是锐角

B.大于90°的角是钝角

C.0°〜90°间的角一定是锐角

D.锐角一定是第一象限的角

答：D

解：0°〜90°间的角指的是半闭区间0。W。＜90°,小于90°的角可是

以是负角或零角，大于90。的角可以是任何象限的角.

2.设A=｛钝角｝,B=｛小于180。的角｝,C=｛第二象限的角｝,D=｛小于

180°而大于90°的角｝,则下列等式中成立的是[]

A.A二C

B.A二B

C.C二D

D.A二D

答：D

解：第二象限的角不是钝角，小于180。的角也不一定是钝角.

3.若。为第二象限的角，晟是

[]

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第一象限角或第三象限角

D.第一象限角或第二象限角

答：C

解：.・q+2k冗<Cl<：2k兀+冗，k€Z

k冗+兀+9

422

・•・当k=2n(nEZ)2n兀+j<y<2n7l+g(第一象限角)

当k=2n+l(n€Z)2n冗+(第三象限角).

4.若角e=2k冗+a,=2nTT-a(k,n€Z),则角8和0的

终边的位置关系是

[]

A.重合

B.关于原点对称

C.关于x轴对称

D.关于y轴对称

答：C

解：・・・a与-a角的终边关于x轴对称或重合于x轴上，0=2kn+

a(k€Z)与a终边相同，。=2n冗・a(nWZ)与.a终边相同.工e

和0的终边关于蚌由对称.

5.若a,B的终边互为反向延长线，则有[]

A.a=-B

B.Q=2kn+B(k£Z)

C.a=JI+P

D.a=(2k+l)n+6(kez)

答：D

解：在0〜2Ji内a与B的终边互为反向延长线，贝IJa=Ji+B或B二元+。，

即a与JI+B或a+n与B的终边相同，a=2k五一(n+B)(k£Z)或兀+a=2kn+

B(kez)Aa=2kn-n+0(kEZ)即a=(2k-1)Ji+p(kGZ).

6.设集合A={a|a=k九士争k€Z},B={a|a=k7t+

(-l)k•Mk€Z}U(ci|a=kJr+(-i)k(!),k€z},则A、B的关系

是

[]

A.A=B

B.ADB

C.AcB

D.以上都不对

答：A

解：a=k7l+(-l)k♦(-$,k€Z为k=2n(#Z),

a=2n冗-百，当k=2n+l(nEZ)Cl=2n^+—,同理

a=kK+(-l)k•。(长Z)可表示为a=2n九+三或a=2n打

2冗

4--

3

4冗冗2客

a=2n兀+—(2n+1)兀+耳，a=2口兀+—(2n+1)

冗--

3

a=kn±-|(k€Z).

7.在直角坐标系中，若角Q与角B的终边关于y轴对称，则a与B的关系

一定是[]

A.Q+B二兀

B.a+P=2kn(kGZ)

C.a+B=nn(n^Z)

D.a+0=(2k+l)n(kGZ)

答：D

解：Q与B的终边关于y轴对称，Q+B的终边与北的终边相同・,・Q+B=2k

冗+n=(2k+l)n(k《Z).

8,终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为[]

A.k-180°+45°(kez)

B.k-180°±45°(kez)

C.k-3600+45°(k£Z)

D.以上结论都不对

答：A

解：•・•终边在直线y=x(x>0)的角为a尸1<-360°+45。(k£Z)终边在直线

y=x(xV0)上的角为Q2=k・360°+225°(kGZ)aF2k•180°+45°,a

2=2k・180°+180°+45°(kez)a2=(2k+l)・180°+45°(k£Z)

・•・a=k・180°+45°(kEZ).

9.一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度数

为[]

A.1

1

B・5

c兀T5冗

♦石或不

一客―5在

D.一或一

33

答：C

解：弦长等于半径，弦所对的圆心角为]或今，则弦所对的圆

周角为■或

66

10,若1弧度的圆心角，所对的弦长等于2,则这圆心角所对的弧长等

于]

,1

A.sin-

2

客

B.

6

1

C.—

sin—

2

.1

D.2sn-

2

答:C

解:・・・1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，设半径为R,R-

11.i1

sin-=1,R=----r.•弧长1=----r.

乙**

sin—sin—

22

11.已知函数y=sinx•cosx•tgx>0,则x应是

A.x£R且xW2kn(kez)

B.xWR且xWkn(kWZ)

x€R且x卢^(k6Z)

C.

D.以上都不对

答：C

sinx.2、/

解：sinx•cosx♦tgx=sinxcosx------=sinx>>0,sinx芳

cosx

冗

Ocosx/0,x€R»且x/k兀x卢2k兀±$,(k€Z),即x€R,且

乙

x卢-y，(kGZ).

12.若Q是第一象限角，则sin2a、sin£、cos£、tg^、cos2

a中能确定为正值的有

[]

A.0个

B.1个

C.2个

D.多于2个

答：C

解：a在第一象限，即2k冗2k冗+](kWZ),则4k兀<2

a<4kn+n(kEZ)2a为第一、二象限

cjr(V

k冗<5<k7l+z(k€Z)5为第一、三象限，可为正值的有Sin2

4r乙

a、tg£两个函数.

13.锐角Q终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3),则角a的弧度数

为[]

A.3

C.-3

答：D

.・-2cos3z冗/

解：・tgC1=.=-ctg3=-tg(--3)=tg(3--).-<3<7l0<

2sin3222

cj•冗._7T

3--〈一,・・CL=3--,

222

14.在AABC中，下列函数值中可以是负值的是[

A.sinA

A

B.ctgT

R+C

C.cos---

2

D.tgA

答：D

A冗

解：「OCA<兀0<-<-A+B+C=K

乙乙

.「-FAB+C冗A.八/寄A/客士—r

.・B+C=兀-A—-—=y—・・。<5-5<5，只有tgAA可

乙乙乙乙乙乙

以为负.

15.若角a终边过点P(2,有)，点Q(4j5,10)在角B的

终边上，则有

A.sina<sinB

B.sina=sinP

C.sina>sinB

D.以上皆非

答：B

解：一角a终边上P点到原点的距离片=,2+(6？=3sina=

y,角B终边上Q点到原点的距离匕=Ji石尸+A：=6底an?

=-^=-=sinCl=sin?.

6石3

-ifCTZmil4sin2a-sinacosa-sin2a人人注百工

16.已知，tgCL=^,则kf——：-----------l的值等于

2sina+sinacosa-JCOS支

[]

A.73-2

B.2^3-2

C.2.出

D.4-2V3

答：A

解.用式_4-Jga-tg%_4-0_(、⑶2_1-、5行

哈原.一赤E2(、砂+序5-1+出732

17.若tg0+ctg0=-2,贝ljtgn0+ctgn0(nWN)的值等

于[]

A.0

B.(-2)n

C.2(-l)n

D.-2(-l)n

答：C

解：:tge+ctg8=-2tg0+二=-2（tgB+二尸=4

tgt?tga

m°+备-2=。侬°号尸二°tg94tg29=1tg9

=±1ctgQ=±1当tg9=-1

’2（n为偶数）

tgn84-ctgn8•・tne+ctne=2（-i）n.

12（n为奇数）gg

18.己知：sina+cosa=-l,则tga+ctga的值是

[]

A.2

B.-1

C.1

D.不存在

答：D

解：；sina+cosa=T,两边平方得l+2sinacosa=1Asinacosa=0sin

a=0或cosa=0,，tga、ctga不存在.

19.若0。<2x<360°,那么使等式-sin?2x=cos2x成立的

x的范围是

[]

A.0°<x<45°

B.135°<x<225°

C.450<x<225°

D.0°WxW45°或135°WxW180°.

答：D

解：•・•要使等式成立，cos2x20AO°W2x<90°或270°W2xV360°

，0°WxW45°域135°WxV180°.

.Jl+cosaJl-cosa

20.若aE(0,2打)，则适合等式J--------J--------=2ctga

VI-cosaYl+cosa

的集合是

[]

A.{a|0＜a＜n}

B.{叫0＜。＜［或兀＜：。＜等）

乙乙

C.{a|7T＜a＜2n}

D.{叼3＜：。＜：冗或打＜。＜：等}

答：A

+cosa11-cosa(1+cosa)2J(1-cosa)2

解:《-cosaVl+cosaVsin2aVsin2a

1+cosa1-cosa

|sina||sinai|

.1+cosa1-cosa2cosa

,要使等式成立必须sin。＞0------,=------

|Wna||sina|sina

=2ctga由sina＞0得0＜a＜兀.

21.若Q是第三象限角，则/“彳+:+由仪的值

第+tgaVesca+2csca+1

等于

A.0

B.-1

C.2

D.-2

答：D

secce1+csca

解:原式=由+标力=-l・l=2

22.如果总+E=2成立,那么角e的终边在

[]

A.第一象限或第四象限

B.第二象限或第三象限

C.X轴上

D.Y轴上

答：D

解，J1+cosd+1-cosd^1-cos26|sind|

当1nB|=1B=2k7T±y(KgZ)时等式成立.

51乙

23.在AABC中，若sin2A=sin2B则该三角形为

]

A.等腰三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.直三角形

D.等腰直角三角形

答：B

解：Vsin2A=sin2B,A2A=2B,或2A二冗-2B

7,左兀)函2)为增函数..寸=1。81(23、・1)在(21€兀3，2k冗)(kWZ)

4j4

上为减函数.

24.若f(cosx)=cos2x,则f(sinl50)=[]

答：D

解：f(sinl50)=f(cos750)=cos2X750=cos1500=-cos300

=.

一下.

25.已知函数y一口口（xER且x卢三,K€Z）那么这个数y

cosx+ctgx2

的值

[]

A.等于零

B.小于零

C.大于零

D.可取任意实数值

答：C

+sinx

anx2

.sinx+tgxcosxsinx（cosx+1）2cosx+1

解•y=----------------=-------------------=—-----------------=tgx------------

cosx4-ctgxco..十cosxcosx（sinx+1）sinx+1

sinx

,・,X卢阴（KWZ）tg%〉0少工1〉0

2.sinx+1

Ay>0.

1元冗

26.如果：sinClcosCL=-E.Cl6,不）那么cos。.WnCL等于

842

[]

A.

~T

_3

~4

3

C.

4

旦

D.

~T

答：A

解：由sin2a+cos2a=1①sinacos=、②

o

37c冗

①+②x(・2)得(cosa・sinCl)2=w-<a<-,cosa<sina,

•I乙

cos-sina=---

2

27.cosl°+cos2°+cos3°+…+cosl79°+cosl80°的值是

[]

A.0

B.1

C.-1

D.以上都不对

答：C

解：cosl79°=cos(180°-1°)=-cosl.同理cosl78°=-cos2°…

又•・,cos90°=0,・,・原式二cos180°=-l.

28.若tgCl卢0,贝IJcscCl=±、+馆.满足

tga

[]

A.当a在第一、四象限时，取“+”号

B.当a在第二、四象限时，取“-”号

C.当a在第一、二象限时，取“+”号

D.当a在第二象限时，取“+”号

答：A

解：•・•当a在第一象限时escQ>0,tga>0,取“+”号，二•当a在

第四象限时cscaVO,tgaV0,・,•取“+”号.

29.函数丫=器+9+挎+些!的值域是

|sinx|cosx|tgx|ctgx

[]

A.{-2,4}

B.{-2,0,4}

C.{-2,0,2,4)

D.{-4,-2,0,4)

答：B

解：,.，x在第一象限时，尸4,x在第二象限时,y=-2,x在第三象限时y=0,

x在第四象限时产-2,・,•值域是{-2,0,4}.

二、填空题

30.终边落在坐标轴上的角的集合是一

答：{x|x=等,K€Z}

乙

解：终边在x轴上的角为x二KJi(KCZ)终边在y轴上的角X=kn+

^（K€Z）即x=QK；l）冗,x=K7T=竽，终边在坐际轴上的角x=

>ez）.

31.从5时到7时40分，分针旋转了—弧度，时针旋转了—弧度，如

果分针长6cm,时针长4cm,分针比时针共走了一cm

164冗272寸

一不冗,

答:--f—^cm

冗

解：从5时到7进40分，分针旋转了.4兀・£4=・号1弧度，时针

旋转了-5-"!Xg=-告弧度，分针共比时针多走6*:―-4*—

3y5y

=经兀

cm.

9

32.一个扇形周长等于圆周长的一半，则扇形中心角的度数为

«180°

答：（冗-2）—

解：设半径为r,弧长为l+2r=冗口1=（冗・2）r,圆心角。=

-2）r前4180°

—=兀・2（弧度），a（兀-2）-------

r7C

o

33.若8角的终边与m兀角的终边相同，则在（0,2九）上终边

与（角的终边相同的角是

费2r9"7客19k

答：一九，一兀，一,一九

0510510

解：e=2K兀+|兀（KEZ）,J=^+|<K€Z）

八EhlHTeXC2冗9寄7兀19冗

分别取k=0,1,2,3时0=—,—,—,—.

34.自行车大链轮有48齿，小轮有20齿，当大链轮转过一周时，小轮转过

角度是度合__弧度.

答：864°,了兀弧度

42允一4

解：360°X0=864°=一义864弧度=7：7弧度.

7t7C27c.冗3客

35.cos—+tg-+3tg-+sin-+cos^+sin—=

答：I

解：原式=：+l+3X(当2+1J

36.化简：P2cos4^+2psin--cos5^-4ptg—sec2^=

答：(P-1)2

解：原式二p“2p+l-4p=p2-2p+l=(p-l)2.

2

37.己知点p(3,y)是角a终边上一点，且sma=-]则丫=

6后

答:

•二加：2=・|解得5r=36y2=yVy<0/.y

38.已知：sinCl4-cosCl=—,则tg?a+ctg2a的值是

答：

9

13

解：由sin。+cosCL=T①两边平方得smcosCl=-3②又:sin2a

28

g64

+cos2ci=1③由③+②得tgQ4-ctgCL=--(tgCL4-ctgC)2=—

..，64c46J

・•tg2a+ctg2a=—-2=—=5-.

999

3冗1

39.设sin(Cl+与■)=1,且sin3a〉0,则tgCL=

乙1

答：、厉

3冗]

解：:sin(Cl+W)=・cosCL/.cos=--,sm2Q>02k兀<2a

24

冗1

<2k冗+兀Z),kTC<a<kn+-(K€Z)X*/cosa=--<0

乙I

在第三象限，。2

asin=-Vl-cosa丁,.・tga

』7_"危

cosa_2

~4

3

40.已知ctg8=3亍且sec8<0,则sin8=

答.

宣25

3

解：二’ctg8=3]>0,JB在一、三象限，又...sece<09

在三象限'送=二人1_7

=

'242-25

1+(—)2

41.COS250+COS215°+COS225°+COS235°+COS2450+COS*55°+COS265°

+COS275°+COS285=

答:,

解：VCOS285°=sin250,cos2750=sin215°,cos265°=

J.，.原式=4+

sin225°,cos2550=sin2350,cos‘45°

42.满足|sinx|=sin(-x)的x的范围是

答：2KJT+JTWxW2k冗+2n(k£Z)

解：V|sinx|=-sinx/.sinxWO2k兀+nWxW2k冗+2n(k£Z).

43.己知：sin。cos。且。<K，那么sina=

loy42--------

cosa=

解：sin2a4-cos'a=1①sinacos=——■②①+2X②得

169

289Y1

(sinCL4-cosCL)2=--■sina+cos。==③，由③与②解得sin。

16913

=一,cos。=一<CL<—,sinCl>cosCL).

131342

44.在AABC中，若tgA・tgB・tgC<0,那么这个三角形的形状是—

答：钝角三角形

解：・・・A、B、C为三角形内角，tgA•tgB•tgC<0,可以得出tgA、tgB.tgC

中有一个小于零，若tgA<0则A为钝角.♦三•角形为钝角三隹形.

45.f(sin0+cos0)=sin9cos0,则f(x)二

Y2-1

答：一—(-V2<x<72)

解：设t=sinB+cos8,t2=l+2sinBcosB,sin9cos9=

t2-l

2

t之一］冗

f(t)=---t=sin8+cos8=V2sin(9+-)-14

sin(8+;)41

兀x2-1

-75<V2sin(e+-)<72即%f(X)=——

•乙

(-V2<x<V2)o

三、解答题

46.写出与135°终边相同的角的集合，并从中求出终边位于-720°〜720°

之间的各角.

解：{a|a=k360°+135°,kGZ},a=k360°+135°中K~2时，a=-585°,

k=-l,a=-225°；k=0,

a=135°；k=l,a=495°.

47.一条弦的长度等于半径r,试求该弦与劣弧所组成的弓形的面积.

解：弦长等于半径，则应所对圆心角为三

S"=S面脑-SA='X三产-Ar2^r=3(2冗-3/)r2.

弓感南反△232212

48.12点以后在什么时候，时针与分针第一次重合？什么时候分针第一次

在时针的反向延长线上?

7C

解：寡t=2冗+泉焉=2t=65京分).13时5,分,时针

vUOU5bU1111

与分针第一次重合.

-1=冗t=萼=32枭分).12时321分时,分针第一

OU0U111111

次在时针的反向延长线上.

49.设P(点，x)是角8的终边上的点，按下列条件求cosB：(1)

sin8=-半(2)tg0=§

J乙

解一：PG/2,x);.r=J(发＞+x?=j2+x，

(I)：sinB=-^-解得x=-也

572+x25

r=+(后)2=Scos8=.

解二：(l)sine=■誓＜0J在第四象限

7i

50.若Q为锐角且sin。=§sinB,tgCl=^tgP,求Q.

717

解：sinQ=—sinP(DtgQ=：tgB②①十②，得cos。=—

842

cosP,VsinP=ysinCl(3)cosP=-cosCl©

644

③平方+④平方—sin2a+—cos2a=164sin2a-4sin2a

4949

=45

sin2a=[;a为锐角.=sinQ=?二・。=三・

423

51.已知tg2a=2tg2B+1,求证：sin2&=2sin2a-1

证：tg2a=2tg，B+1,1+tg2a=2(tg?B+l)sec2a=2sec，B

i2

-2-=---J-2(1-sin'a)=1-sin2B

cosacos§

Asin2P=2sin2a-1.

52.证明下列恒等式

AC0c£c1+seca+tga1+sina

(1)1+esc4B=2cse28+etg，8,(2)---------------------=-------------

1+seca-tgacosa

证：(1)Vl-2csc2。+COS10=(csc20-l)2=(ctg20)2=ctg*。

1+csc40=2csc20+ctg40

1I1+sina!

1+seca+tgacosacosa1+sina+cosa

3；-------------------=---------i--------:-----

1+secck!-tga1sina1-sina+cosa

1+-------------------

cosacosa

(1+sina+coso!)(l+sina)(1+sina+cos支)(1+since)

(1-since+cosce)(l+sina)1-sina+cosa+sina-sin2a+sinacosa

(1+sina+cosa)(l+sina)(1+sina)(l+sina+cosce)1+sina

----------------2-------：-------------=------------7；----：---------------：-=------------.

cosa+cosa+sinacosacosa(l+sina+cosa)cosa

53.求证：esc6P_ctg6P=l+3csc2Petg2P

证：esc6P-ctg6P=(esc2P-etg2B)(esc4B+csc2Petg2B+ctg'P)=csc4P

-2csc2Betg2B+ctg4B+3csc2Betg2B

二(esc2B-etg2B)2+3csc2Betg2B=l+3csc2Betg2B.

54.证明：+-^-=secAcscA+l

1-etgA1-tgA

1

tgAetgAtgAtgAtg2A1

证：------+------=---：-+------=------+------------

[一etgA1-tgA]_]1-tgAtgA.-1tgA(l-tgA)

tgA

tg3A-1(