高考数学一轮复习试题第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

考试要求1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系2

能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.直线与圆的位置关系

222

设圆C：（X—a）+（y—Z>）=r>直线/：Ax+5y+C=0,圆心C（〃，力）到直线/的

（工一。）2+（厂方）2=户,

距离为以由消去y（或x）,得到关于M或y）的一元

4+8y+C=0

二次方程，其判别式为/.

位置关系相离相切相交

图形

方程观点先0/三（）J>0

量化

几何观点d>rd三rd<r

2.圆与圆的位置关系

已知两圆Ci：(X—xi)2+(y—yi)2=rr,

C2：(x—%2)2+(y—J2)2=r?,

则圆心距d=TClC2、=7（XI—X2）?+（y］一V2）2,

则两圆Cl,。2有以下位置关系：

位置关系外离内含相交内切外切

圆心距

与半径1=1门一］d=ri+f2

±22

的关系

图示勤0砂究

公切线条数40213

常用结论

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆上一点P(忒,yo)的圆的切线方程为xox+yoy=i2.

(2)过圆(x—〃)2+(y—6)2=/上一点P(XQ,yo)的圆的切线方程为(xo—〃)(x—a)+(yo

—b)(y—b)=r2.

(3)过圆/+产=户外一点M(m,州)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为

触+)梦=，.

2.直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：运用弦心距乩半径〃和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长忸用

=2y[P^.

(2)代数法：设直线丁=丘+加与圆/+产+6+£>+产=0相交于点M,N,将直

线方程代入圆的方程中，消去y,得关于x的一元二次方程，求出XM+XN和刈•必,

则|肪V|=y/l+By](XM+XN)2—4WXM

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)ak=\f,是“直线不一丁+%=0与圆f+)，2=l相交”的必要不充分条件.()

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()

(4)过圆O：外一点P(xo,和)作圆的两条切线，切点分别为A,B,则O,

P,A,8四点共圆，且直线48的方程是和)，=户.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)“k=l”是“直线x-y-¥k=O与圆/+V=1相交”的充分不必要条

件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.

2.(多选)直线x—y+m=0与圆x2+9一Zr—1=0有两个不同交点的一个充分不必

要条件是()

A.0</n<lB.-l</n<0

C./n<lD.-3<w<l

答案AB

解析联立直线与圆的方程得

if+v—ZE—]：。，消去y’

得2%2+（2加一2口+m2—1=0,

根据题意得4=（2加一2）2—8（，层-1）=-4（m+1>+16>0,得一3〈加VI.

V{/n|0</n<1}{/n|—3</w<1),{/n|—1</M<0}{/n|—3<W<1},

：.0<m<\和一IVmVO都是直线与圆相交的充分不必要条件.

3.(多选)(2021・新高考H卷)已知直线/：奴+刀一，=0与圆C：x2+y2=r2,点4(m

b),则下列说法正确的是()

A.若点4在圆。上，则直线,与圆。相切

B.若点4在圆。内，则直线/与圆。相离

C.若点A在圆。外，则直线/与圆。相离

D.若点A在直线/上，则直线/与圆。相切

答案ABD

解析圆心C(0,0)到直线I的距离0=y

若点A(a,b)在圆C上，则/+庐=/，所以du、2+1=内则直线/与圆。

相切，故A正确;

若点A(m份在圆C内，则M+b2V产，所以d=+炉>H，则直线/与圆。相

离，故B正确;

若点A(〃，。)在圆C外，则炉+庐〉，，所以d=诟不"<»1,则直线/与圆。相

交,故C错误:

若点4(a,份在直线/上，则耕+户一产=。即/+庐=，，所乂d=—[外C=1%

7出+b-

直线/与圆C相切，故D正确

4.两圆f+9一2y=0与f+丁一4=0的位置关系是.

答案内切

5.直线I：3x~y~6=0与圆x2+y2—2x—4y=0相交于4,B两点，则|A8|=

答案回

解析由f+y2-2工-4y=0得(x—iy+(y—2/=5,所以该圆的圆心坐标为(1,

2),半径r=y[5.

又圆心(1,2)到直线3x—y—6=0的距离为>=；蒜8=乎,由(怨)=/一

出,得.邢=10,即|4阴=9.

6.(2020・浙江卷)己知直线>="+仇&>0)与圆r+Vn和圆(%-4)2+尸=1均相

切，则左=,b=.

放安立2^3

解析如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴的

交点为A(2,0).

由A8=2,BM=T,N4M8=90。，得NMAB=30。，

可得直线的斜率％=tan300=竽，

直线方程为y=、§(x—2)=监一芈，因此b=-2乎.

考点突破•题型剖析

［考点一直线与圆的位置关系

1.已知点M(a,3在圆O：f+y2=i外，则直线以+外=1与圆。的位置关系是

()

A.相切B.相交

C.相离D.不确定

答案B

解析因为M(a,b)在圆。：f+)2=1外，

所以a2+〃>i,而圆心。到直线双+切=1的距离

ko+^o-i|1

4g2+广L

所以直线与圆相交.

2.(多选)已知圆C：(x-l)2+(y-2)2=25,直线/：(2机+1)工+(m+1))，-7加一4=

0.则以下几个命题正确的有()

A.直线/恒过定点（3,1）

B.直线/与圆。相切

C.直线/与圆C恒相交

D.直线/与圆C相离

答案AC

解析将直线/的方程整理为x+y—4+m（2x+y-7）=0,

x+j-4=0,x=3,

由,-：rC解得

..J=L

则无论用为何值，直线/过定点（3,1）,故直线/与圆C恒相交，故AC正确.

3.若圆/+产二户。〉。）上恒有4个点到直线/：x—y—2=0的距离为1,则实数r

的取值范围是（）

A.（V2+1,+8）B.（V2-1,也+1）

C.（0,啦一1）D.（0,巾+1）

答案A

解析计算得圆心到直线/的距离为左=也＞1,如图.

直线J：冗一y一2=0与圆相交，/1,/2与/平行，且与直线/的：X

距离为1,故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线/2的跑

离啦+1.

感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法

（1）几何法：利用d与〃的关系.

⑵代数法：联立方程之后利用/判断.

（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

［卷点二圆的切线、弦长问题

角度1圆的弦长问题

例1（1）（多选）已知圆M的一般方程为f+y2—8x+6y=0,则下列说法中正确的

是（）

A.圆M的圆心为（4,-3）

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.过原点的最短弦长为8

D.圆M被)，轴截得的弦长为6

答案ABD

解析圆M的一般方程为f+y2—8x+6y=0,则(x—4)2+°,+3)2=25.圆的圆心

坐标为(4,-3),半径为5.过原点的最短弦长为6,选项C不正确.ABD均正确.

(2)(2020•天津卷)已知直线x-V§y+8=0和圆f+尸=户(厂>0)相交于A,B两点.

若|AB|=6,则，•的值为.

答案5

10—正义0+8|

解析由题意知圆心为0(0,0),圆心到直线的距离d=:乒=4.取.

的中点连接OM(图略)，则OM_L

在Rt/XOMA中，+才=5.

感悟提升弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在

判别式/>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为乩圆的半径长为乙则弦长/=2炉二2.

角度2圆的切线问题

例2⑴过点P(2,4)引圆C：。-1)2+。-1)2=1的切线，则切线方程为.

答案x=2或4x—3y+4=0

解析当直线的斜率不存在肘，直线方程为x=2,此时，圆心到直线的距离等

于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为)，一4

=女。-2),即收一)，+4—22=0,・・・直线与圆相切，・・・圆心到直线的距离等于半

『+4-2必13Tl.4

径，即4=解得k=y

(-1)2许

44

工所求切线方程为1x—y+4—2X§=0,

即4x—3y+4=0.

综上，切线方程为x=2或4x—3y+4=0.

(2)点尸为射线x=2(y20)上一点，过P作圆x2+)2=3的两条切线，若两条切线

的夹角为90。，则点。的坐标为()

A.(2,1)B.(2,2)

C.(2,的D.(2,0)

答案C

解析如图所示.,门2

设切点为4,B,则。A_LAP,OB_LBP,OA=OBfAP=BP,P

4PJ_BR一

故四边形。AP8为正方形，则|。尸|=加，I

又xp=2,则P(2,啦).

感悟提升求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切

线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该

点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.

训练1(1)(2022•郑州调研)已知圆C：(x—1)2+(>，+1>=1与直线依+>+1=0相

交于4,B两点，若△C4B为等边三角形，则女的值为()

A土3B.±2C.±^yD.±^

答案A

解析圆C：(x-l)2+(>-+l)2=l的圆心为C(L-1),半径为1,故|C8|=|CA|

=1,又△CA5为等边三角形，所以点。到直线依+y+l=0的距离为坐，即

q='解得左=力。，故选A.

(2)在圆f+y2-2%—6丁=0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BQ,

则四边形A8CD的面积为.

答案

解析圆的标准方程为。-1)2+。-3)2=10,则圆心(1,3),半径r=回，圆心

(1,3)与E(0,1)距离N(1-0)2+(3-1)2=小,由题意如AC_L5O,且

=2-710,田/)|=2410—5=2\5所以四边形ABCD的面积为S=*ACHBD同

X2710X275=10>/2.

(3)若一条光线从点(一2,—3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+。-2产=1相切，

则反射光线所在直线的斜率为.

答案一号或一(

解析点4-2,—3)关于y地的对称点为4(2,-3),

故可设反射光线所在直线的方程为

丁+3=2(%—2),

化为kjc—y—2k—3=09

;反射光线与圆。+3)2+。-2)2=1相切，

・・・圆心(-3,2)到直线的距离

\-3k~2-2k~3\

4-访一=L

化为24^+50)1+24=0,

k=或k=

[,考点三圆与圆的位置关系

例3已知两圆f+y2—2r—6y—1=0和f+y2—10x—12y+加=0.求：

(1)加取何值时两圆外切？

(2)求加=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

解两圆的标准方程分别为

(%—1产+0—3)2=11,(X—5)2+(y—6)2=61—m,

圆心分别为M(l,3),N(5,6),

半径分别为[不和

(1)当两圆外切时，

7(5—1)2+(6-3)2=yj~\\+勺61一团.

解得加=25+10/11.

(2)两圆的公共弦所在直线的方程为

(x^+y2—2r—6j—1)—(^r+y2-10x—12y+45)=0,即4x4-3>—23=0.

由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为

I~.14+3X3—23IY

2义、(E)2-[7+32卜2a

感悟提升1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与

两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项

得到.

训练2⑴己知圆M：x2+产-2"=0(〃>0)截直线x+y=O所得线段的长度是

2吸，则圆M与圆M(x-l)2+(y-l)2=l的位置关系是()

A.内切B.相交C.外切D.相离

答案B

解析由题意得圆M的标准方程为a)』/,圆心(0,a)到直线x+y=0

的距离d=

所以2寸〃2_1=2y[2

,解得a=2,圆M,圆N的圆心距|MN|=也，小于两圆

半径之和1+2,大于两圆半径之差1,故两圆相交.

(2)已知圆。1：/+9+左+2)，-8=0与圆C2：f+y2—2x+10)，-24=0相交于A,

B两点.公共弦|A8|的长为,经过A,B两点且面积最小的圆的方程为

答案2小。+2)2+。-1>=5

解析两圆的方程作差可得x—2y+4=0.

・••圆。与圆C2的公共弦圻在的直线方程为工-2)，+4=0,

联立尸+4=0,

[x2+y2+2x+2^-8=0,

x=—4,fx=0,

解得V八或，c

U=0,ly=2,

不妨设4(-4,0),5(0,2),

/.\AB\(-4-0)2+(0-2)2=2小,

以A8为直径的圆即为面积最小的圆.

A(x+2)2+(y-l)2=5.

拓展视野/阿波罗尼斯圆

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.点A,3为两定点，动点P

满足照|=/狎.

则2=1时，动点P的轨迹为直线；当人>0且；1#1时，动点P的轨迹为圆，后

世称之为阿波罗尼斯圆.

例(1)己知点“与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为受，求点”的轨迹方

化简得/+产+级一3=0,

即(x+l)2+y2=4①，

则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以。(一1,0)为圆心，2为半径的圆.

(2)在平面直角坐标系xQy中，点A(0,3),直线/：y=2x—4.设圆C的半径为1,

圆心在/上.若圆C上存在点M,使|M4|=2|MO|,求圆心C的横坐标。的取值范

围.

解点C在直线/：y=2x-4上，故设。的坐标为(。，2a-4).

因为半径n=1,所以圆。的方程是(x—a)2+[y-(2a—4)]2=[.

设点M(x,y)9则由|MA|=2|MO|可得点M的轨迹正是阿波罗尼斯圆，

即(y-3)2=242+R

化简整理得f+U+l)2=4.

所以点M(x,y)在以。(0,—1)为圆心，9=2为半径的圆上.

又点M(x,y)在圆C上,所以两圆有公共点的条件是出一回WIOCJW历+川,

1?

即lW5a2-12a+9W9,解得OWQW5.

「121

即。的取值范围是0,y.

I分层训练•巩固提升

A级基础巩固

1.直线/：wit—y+1—〃2=0与圆C：1>=5的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

答案A

解析由题意知，圆心(0,1)到直线/的距离1=<1<^5,故直线/与圆

y/fn2-b1

相交.

2.圆。：/+.俨一版=0和圆Q：/+y2—4y=0的位置关系是（）

A.相离B.相交C.外切D.内切

答案B

解析圆01的圆心坐标为（1,0）,半径长门=1,圆。2的圆心坐标为（0,2）,半

径长鹿=2,所以两圆的圆心距d=小，而建一门=1,ri+n=3,则有废一门<〃

<ri+r2,所以两圆相交.

3.过点（3,1）作圆1>+9=户的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）

A.2x+y—5=0B.2x+y-7=0

C.x—2y—5=0D/—2y—7=0

答案B

解析过点（3,1）作圆（X—1）2+9=户的切线有且只有一条，

，点（3,1）在圆（X—1）2+丁2=产上，

连接圆心与切点连线的斜率为人「=木

・•・切线的斜率为一2,则圆的切线方程为y—1=-2（x—3）,

即2x+y-7=0.

4.（2022•济南外国语学校高三测试）已知圆Cd+y2—2x+4y=0关于直线3x~2ay

—11=0对称，则圆C中以便一£为中点的弦长为（）

A.lB.2C.3D.4

答案D

解析依题意可知直线过圆心（1,-2）,即3+4〃-11=0,a=2,故g,一野即

为（1,-1）,

圆方程配方得（X—1）2+。+2）2=5.

（1,一1）与圆心距离为1,故弦长为2后7=4.

5.（多选）（2022・福州调研）已知直线/与圆C：x2+）2+统一4y+〃=0相交于4,B

两点，弦A8的中点为M（0,1）,则下列结论正确的是（）

A.实数a的取值范围为a<3

B.实数a的取值范围为a<5

C.直线/的方程为x+y-1=0

D.直线I的方程为x—y+1=0

答案AD

解析若弦A8的中点为M(0,1),则点/(0,1)一定在圆内，且方程表示圆,

5—〃>0,

即得a<3故A正确;

l-4Xl+d<0t

由圆的方程得，圆心坐标为。(一1,2),

又M(0,1),则-1,贝！公5=1,

由点斜式得，直线/的方程为5一1=心

即x—y+l=0,故D正确.

6.(多选)已知圆C：(X—1)2+。-2)2=25,直线/：y-l=%a—3).则以下几个命题

正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆C被y轴截得的弦长为4加

C.直线/与圆。相交或相切

D.直线/被圆。截得弦长最短时，直线/的方程为2x-y-5=0

答案ABD

解析直线/：》一1=&。-3)恒过0(3,1),A正确；

对于B,令x=0,则。-2>=24,解得y=2±2%,故圆C被y轴截得弦长为4班,

故B正确；

对于C,因为(3—1/+(1—2)2=5<25,则点。在圆C内部，直线/与圆C相交,

故C不正确；

对于D,圆心C(l,2),半径为5,\CD\=y[5,当截得的弦长最小时，/LCD,由

于人=一/则/的斜率为2,此时直线的方程为>一1=2(工一3),即右一)，一5

=0,故D正确.

7.圆x2+)2—4=0与圆/+产一41+4)，-12=0的公共弦长为.

答案2册

4=0,

解析由2.上，s八得两圆公共弦所在直线方程工一)，+2=0.又圆f

iy+y2—4x+4y—12=0

+9=4的圆心到直线x—y+2=0的距离为表=也.由勾股定理得弦长的一半为

^^工二也，所求弦长为2啦.

8.(2021•海南三模)已知点尸(1,2)和圆C：/+产+依+2)，+女2=0,过点p作圆。

的切线有两条，则实数化的取值范围是.

答案(一芈,明

解析因为C：/+丁+丘+2)，+3=0为圆，所以F+4—4必>0,解得一斗^

又过点P作圆。的叨线有两条，所以点尸在圆的外部，故1+4+A+4

+F>0,解得&£R,综上可知一琴.故2的取值范围是(一苧，空

9.若4为圆G：/+9=1上的动点，B为圆C2：。-3)2+。+4)2=4上的动点，

则线段AB长度的最大值是.

答案8

解析圆G：/+V=1的圆心为Ci(0,0),半径力=1,圆。2：(x—3)2+。+4)2

=4的圆心为。2(3,-4),半径相=2,

・・・|。©=5.

又A为圆Ci上的动点，8为圆C2上的动点，

・・・线段48长度的最大值是|。。|+内+力=5+1+2=8.

10.已知圆C(x—l)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程；

(1)与直线东x+y—4=0平行;

⑵与直线/2：x—2y+4=0垂直；

(3)过切点A(4,-1).

解(1)设切线方程为x+y+力=0(bW—4),

则［二^"加二回'.,・6=1±2小，

，切线方程为x+y+1±2^5=0.

(2)设切线方程为2r+y+m=0,

则？一才哒=®,/.^=±572,

9

・•・切线方程为2x+y±5&=0.

、..，—2+1I

(3)，・，Mc=-4=至

・•・过切点44,一1)的切线斜率为一3,

.••过切点44,-1)的切线方程为)，+1=—3。-4),

即3x+y-l\=0.

11.(2022♦重庆调研)已知A(2,0),直线4x+3y+l=0被圆C：。+3)2+。一机产

=13(加〈3)所截得的弦长为4小，且尸为圆C上任意一点.

(1)求|以|的最大值与最小值；

(2)圆。与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.

解(I)二•直线4x+3y+l=0

被圆。:。+3)2+。一机产=13四<3)所截得的弦长为4小,・・・圆心到直线的距离

”=|一2芋〃+l|=q(立)-(2g2=1.

*/m<3,・,•根=2,

\AC\=yj(-3-2)2+(2-0)2=^29,

，|以I的最大值与最小值分别为

V29+VT5,亚一也

(2)由(1)可得圆C的方程为。+3)2+。-2)2=13,令x=0,得y=0或4；令y=0,

得x=0或一6,

，圆。与坐标轴相交于三点M(0,4),。(0,0),M-6,0),•••△WON为直角

三角形，斜边|MN|=24B,・•.△MON内切圆的半径为让与H亘=5一回.

B级能力提升

12.(多选)(2021・新高考I卷)已知点P在圆。-5)2+。-5)2=16上，点A(4,0),

8(0,2),则()

A点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPB4最小时，|P阴=3啦

D.当NPB4最大时，\PB\=3^2

答案ACD

Y

解析设圆5>+(y—5)2=16的圆心为M(5,5),由题意知直线45的方程为彳

15+2X5-4111

即％+2y—4=0,则圆心M到直线4B的距离d=

所以直线AB与圆M相离’所以点P到直线A8的距离的最大值为4+4=4+上'

又4+台5+寸中=10,

故A正确;

易知点P到直线48的距离的最小