《函数极限的定义》课件

函数极限的定义本节课我们将介绍函数极限的概念，学习如何判断函数的极限是否存在，以及如何求解函数的极限值。函数极限的直观理解逼近过程函数值随着自变量趋向于某一特定值，逐渐靠近某个特定数值，就像一辆汽车逐渐驶近目的地。极限值当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的这个数值，就像登山者最终到达山顶，这就是函数的极限值。极限的形式化定义定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称常数A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作limx→x0f(x)=A。符号解释•lim:极限的意思•x→x0:x趋近于x0•f(x):函数•A:极限值极限定义的必要性精确表达极限定义提供了精确的语言来描述函数在某一点附近的趋向性，避免了直观理解的模糊性。严格证明通过极限定义，我们可以严格证明与极限相关的各种定理和性质，为进一步的数学研究奠定基础。深入研究极限定义是微积分的基础，它为我们打开了通往微积分、分析学等更深层次数学领域的大门。极限存在的充要条件1函数定义域函数在点x附近有定义.2左右极限在点x的左右两侧，函数的极限都存在且相等.极限性质介绍1常数的极限常数的极限等于它本身2极限的唯一性如果函数的极限存在，则该极限是唯一的3极限的线性性质两个函数的极限之和等于它们极限的和4极限的乘积性质两个函数的极限之积等于它们极限的积左右极限的概念左极限:当自变量x从左侧无限接近a时，函数f(x)无限接近某个常数A，则称A为f(x)当x趋近于a时的左极限，记作lim_(x→a-)f(x)=A右极限:当自变量x从右侧无限接近a时，函数f(x)无限接近某个常数B，则称B为f(x)当x趋近于a时的右极限，记作lim_(x→a+)f(x)=B左右极限的存在性极限存在的条件左右极限存在，且相等，则极限存在。极限不存在的条件左右极限存在，但不相等，则极限不存在。极限可能不存在的条件左右极限其中之一或两者都不存在，则极限可能不存在。极限存在的必要条件1唯一性如果极限存在，它必须是唯一的。2左右极限相等如果极限存在，那么左右极限必须相等。3函数有界在极限点附近，函数必须有界。一侧极限不存在的情况当函数在自变量趋近于某一点时，其函数值在该点的一侧趋于无穷大或无穷小，而另一侧趋于有限值或无穷大时，则该点的一侧极限不存在。例如，函数f(x)=1/x在x趋近于0的右侧时，其函数值趋于无穷大，而x趋近于0的左侧时，其函数值趋于负无穷大，因此，f(x)在x=0处的右侧极限不存在。无穷大量的概念无限增大当自变量趋于某个值或无穷大时，函数的值也无限增大，称为无穷大量。无限减小当自变量趋于某个值或无穷大时，函数的值也无限减小，称为无穷大量。一侧极限不存在的判断1无穷大当x趋近于a时，函数值趋于无穷大，则该侧极限不存在。2振荡当x趋近于a时，函数值在有限范围内振荡，则该侧极限不存在。3间断点当x趋近于a时，函数值在a点存在跳跃，则该侧极限不存在。两侧极限不存在的情况如果函数在一点的左右极限不相等，或者其中一个极限不存在，那么该点的函数极限也不存在。例如，函数f(x)=1/x在x=0处，左极限为负无穷，右极限为正无穷，因此该点函数极限不存在。极限存在的充要条件总结左右极限相等当且仅当函数在点x的左右极限都存在且相等时，函数在点x处存在极限极限不存在当函数在点x的左右极限不存在或存在但不相等时，函数在点x处不存在极限极限定义的应用函数连续性利用极限定义可以判断函数在某一点是否连续.导数定义导数的概念本质上是函数在某一点的极限.积分定义积分的概念可以通过极限来定义,将曲线下的面积分割成无数个小矩形.利用极限定义求极限1步骤1确定函数和极限点，并设置ε>0.2步骤2根据极限定义，找到δ>0使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε成立.3步骤3验证所找到的δ是否满足条件，从而证明极限存在.利用夹逼定理求极限1夹逼定理如果函数f(x),g(x),h(x)满足...2证明过程通过比较大小，证明...3应用场景解决一些...利用单调有界原理求极限单调性数列单调递增或递减，即对于任意自然数n，都有a(n)≤a(n+1)或a(n)≥a(n+1)有界性数列有界，即存在实数M，使得对于任意自然数n，都有|a(n)|≤M极限存在如果数列满足单调有界性，则该数列一定存在极限利用极限运算法则求极限1和差法则lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)2积法则lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)3商法则lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)≠0)4常数倍法则lim(c*f(x))=c*limf(x)无穷大量的性质加减无穷大量与有限数的和或差仍为无穷大量。乘除无穷大量与非零常数的积或商仍为无穷大量。幂运算无穷大量的正整数次幂仍为无穷大量。无穷小量的概念定义当自变量趋于某个值时，函数的值无限趋近于零，则称该函数为无穷小量。符号通常用符号α表示无穷小量。性质无穷小量不一定是零，但其绝对值可以任意小。无穷小量的性质加法两个无穷小量的和仍为无穷小量。乘法无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。除法无穷小量除以非零常数仍为无穷小量。单调有界原理的证明1单调性证明序列单调递增或递减2有界性证明序列存在上界和下界3极限存在结论：单调有界序列必有极限夹逼定理的证明1假设假设存在三个数列：{an},{bn},{cn}，且满足以下条件：an≤bn≤cn，以及liman=limcn=a。2证明根据极限的定义，对于任意ε>0，存在正整数N1和N2，使得当n>N1时，|an-a|<ε/2，当n>N2时，|cn-a|<ε/2。3结论取N=max{N1,N2}，则当n>N时，有|bn-a|≤|bn-an|+|an-a|<ε/2+ε/2=ε，即limbn=a。极限的四则运算1加法如果limf(x)=A且limg(x)=B,则lim[f(x)+g(x)]=A+B。2减法如果limf(x)=A且limg(x)=B,则lim[f(x)-g(x)]=A-B。3乘法如果limf(x)=A且limg(x)=B,则lim[f(x)*g(x)]=A*B。4除法如果limf(x)=A且limg(x)=B,且B≠0，则lim[f(x)/g(x)]=A/B。极限的合成运算合成函数极限如果lim_(x→a)f(x)=b且lim_(y→b)g(y)=c，那么lim_(x→a)g(f(x))=c。复合函数极限当函数g的自变量是函数f的值，且函数f的极限存在时，复合函数g(f(x))的极限可以通过对内层函数f的极限进行计算得出。极限的保号性质正数极限当函数f(x)的极限为正数时，存在一个邻域，使得该邻域内的函数值也为正数。负数极限当函数f(x)的极限为负数时，存在一个邻域，使得该邻域内的函数值也为负数。零极限当函数f(x)的极限为零时，存在一个邻域，使得该邻域内的函数值的绝对值小于任何给定的正数。极限的存在性判断单调有界准则若数列{an}单调递增且有上界，则该数列收敛。夹逼定理若{an}、{bn}、{cn}为三个数列，且an≤bn≤cn，且liman=limcn=