周继昆自动控制原理课程设计

周继昆：直线一级倒立摆的频率法校正1引言1.1问题的提出控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，目前典型的控制器设计理论有：PID控制、根轨迹以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制方法、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法。1.1.1用频率法对直线一级倒立摆进行校正的原理系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷大时向量G(jω)G(jω)的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝的稳定性和相对稳定性。2建立小车倒立摆的实际数学模型图1小车与倒立摆模型2.1小车倒立摆的实际数学模型的参数确定2.1.1已知参数如图1为小车倒立摆的实际数学模型，该模型的已知参数为：M：小车质量 1.096kgm：摆杆质量 0.109kgb：小车摩擦系数 0.1N/secL：摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI：摆杆惯量 0.0034kgm22.1.2设定该模型的未知参数F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角2.2建立小车倒立摆的实际数学模型图2系统受力分析如图2所示N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。为小车的速度，为小车的加速度。小车水平方向的合力： (1)摆杆水平方向的合力：(2) 水平方向的运动方程：(3)对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可得垂直方向的运动方程：(4)(5)用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：(6)(6)(7)

(7)如果令进行拉普拉斯变换，得到摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(8)把实际参数代入，可得系统的实际模型：(9)3频率响应分析3.1用Matlab对原系统仿真前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数。其中输入为小车的加速度V(s)，输出为摆杆的角度Φ(s)，在Matlab下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。在MATLAB中键入以下命令：clear;num=[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];z=roots(num);p=roots(den);subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如下结果z=Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136图3直线一级倒立摆的Bode图图4直线一级倒立摆的奈奎斯特图3.2原系统频率响应分析可以看到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当ω从−∞到+∞变化时，开环传递函数G(jω)沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数在右半S平面内的极点数。对于直线一级倒立摆，由图3-21我们可以看出，开环传递函数在S右半平面有一个极点，因此G(jω)需要沿逆时针方向包围-1点一圈。可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。3.3频率响应校正器的设计及对性系统仿真3.3.1频率响应校正器的设计按设计要求，系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50，增益裕量等于或大于10分贝。从直线一级倒立摆的Bode图可以看出，系统的相位裕量为0,不满足要求，应引入超前校正系统。3.3.1.1计算原系统的静态位置误差令G(s)= ,为原系统的传递函数，则Kp=lims→0G(s)=0.102<10,不满足要求，必须在校正系统中引入p调节，增大系统增益。令GC(S)=Kas+1aT3.3.1.2a和T的计算根据设计要求，系统的相位裕量为50o，因此需要增加的相位裕量为50o，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的G(jω)的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需要的最大相位超前量φm等于60。。由sinφm=a-1a+1,计算可以得到：α=13.9425确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率ω=1/T和ω＝1/(αT)，可以看出，最大相位超前角φm发生在两个转角频率的几何中心上，即ω=1/(αT)。又由20lg|G(S)|=-10lga,得ω=30.818rad/s，选择此频率作为新的增益交界频率ωcα，于是得到1T=114.9425，1αT=8.2508，Ka=1364.7于是校正装置确定为：Gc(s)=1364.7S+8.25083.3.2用Matlabh校正后系统的Bode图与奈奎斯特图在MATLAB命令窗口中输入以下命令：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)Subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.2508];pa=[p;-114.9425];k=1364.7;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)图5校正后的的Bode图（上）与校正后的的奈奎斯特图（下）从图5中Bode图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。3.3.2用Matlab中的Simulink工具对系统仿真图6搭建仿真框图 图7参数设置图8仿真结果从仿真图可以看出，系统动态性能已达到要求，但存在一定的稳态误差，必须提高系统的开环增益来减小稳态误差，但增加开环增益，会使开环截止频率右移，影响系统的动态性能，因此在串联超前校正的基础上再串联一个滞后校正器，即可减小系统的静态误差，又不会影响系统动态性能。3.3.2判断增益裕量是否符合要求将系统传递函数导入Matlab中的SISO工具得到如图9的Bde图，从图中可直接读出增益裕量为11.5dB,满足要求。图9校正后的bode图4设计超前-滞后校正器4.1确定滞后校正器的参数设滞后校正器的传递函数为1+bTS1+TS(b<1),系统中连入此滞后校正器后，其增益将增大1b，更具实际，取1b=10，则b=0.1,采用置后校正应力求避免最大滞后角发生在已校正系统开环截止频率附近，否则将使系统动态性能恶化。因此选择之后网络参数时，总是使网络的第二个交接频率1/bT远小于已校正系统开环截止频率。在这里取1/bT=ω，由超前校正的bode图可读出ω=12.7，又b=0.1，得T=1.27因此滞后校正器的传递函数为S+1.27s+0.127,4.2用Matlabh校正后系统的Bode图与奈奎斯特图在MATLAB命令窗口中输入以下命令：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.2508;-1.27];pa=[p;-114.9425;-0.127]];k=1364.7;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)图10超前-滞后校正后的Bode图（上）与校正后的的奈奎斯特图（下）从Bode图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。4.3用MATLABSimulink下对系统进行仿真图11仿真方框图图12仿真后的系统闭环阶越响应曲线从图12仿真后的阶越响应曲线可看出，当系统加入了滞后校正器后，器静态误差得到了很大程度的减小，而原系统的动态特性并没有收到太大影响。5用SISO工具进行高效设计5.1可行性根据Matlab为用户提供了一个单输入-单输出反馈控制系统的设计平台——SISODesignTool,在SISO的可视化环境中用户可通过鼠标直接在系统的跟轨迹图中添加零点或极点，并可同时观察系统是否达到设计要求，还可以观察校正系统的闭环响应，验证设计的效果。5.2系统实现5.2.1确定设计方案在进行频率法校正过程中，我们已经通过分析和计算，要是原系统达到要求，必须利用超前-滞后校正器对原系统进行校正，相当于向原系统引入了两个零点和两个极点，同时好要改变系统增益。5.2.2软件实现首先载入SISODesignTooL工具，再出现的设计窗口中，完成校正系统的结构选择，并载入对象传递函数等初始化工作后，就可以进行装载的“试凑”设计。步骤如下：图13校正前的根轨迹图与bode图图14校正后的根轨迹图与bode图图15校正后系统的闭环阶越响应曲线有图14和图15可以看出，校正后新系统的相位裕量为50.5，增益裕量为22dB，静态误差为0.9%，最大超调量为9.44%，满足设计要求。读出校正器的传递函数为：981+6.3S(1+0.12S)1+0.51S(1+0.0025S)6结论1本次课程设计是进入大学以来的第一次真正的运用学到的知识去系统的实验解决一个问题。对我来说有非常重要的意义。不单是巩固了课堂知识，更让我体会到了探索研究的感受。并且通过这次课程设计，使我对论文的格式要求有了初步的了解。对以后真正从事论文写作有着指导意义。2本次设计应用了频率校正法，先后用了超前校正和超前-滞后校正两种方法，由MATLAB仿真设计的效果来看，应用超前-滞后校正，更满足我们设计的要求，使校正后系统稳定，并且系统在受到干扰后，能够很快的达到新的平衡状态。3掌握了对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。 4通过一周的自动控制的设计，我学会了很多的东西,有了文献检索的能力，特别是如何利用Intel网检索需要的文献资料。知道了怎样能快速的找到自己需要的资料，并充分利用网络来扩充自己的知识。5能够很好的运