《函数单调性北师大》课件

函数单调性函数单调性的定义定义1设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上是单调递增函数.定义2设函数f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I内任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上是单调递减函数.函数单调性的性质单调性保持如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间上，它的反函数也是单调的，且单调性相同。单调性叠加如果函数f(x)和g(x)在某个区间上都是单调递增（递减）函数，那么它们的和、差、积也是单调递增（递减）函数。单调性组合如果函数f(x)在某个区间上是单调递增（递减）函数，而g(x)在某个区间上是单调递减（递增）函数，那么它们的复合函数f(g(x))也是单调递增（递减）函数。单调递增函数定义在定义域内，当自变量x的值增大时，函数值y也随之增大，则称该函数为单调递增函数。图像单调递增函数的图像从左到右是向上倾斜的，即函数图像上的点，从左到右，纵坐标越来越高。性质单调递增函数的性质可以帮助我们理解和分析函数的性质，进而解决一些实际问题。单调递减函数定义对于定义域内的任意两个自变量x1和x2，若x1

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x2，则有f(x1)

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f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是单调递减函数。图像单调递减函数的图像从左到右下降，斜率始终为负。例子函数y=-x和y=1/x(x>0)都是单调递减函数。单调性判定定理1定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调递增。2定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调递减。3定理3如果函数f(x)在区间[a,b]上的导数f'(x)=0，则f(x)在[a,b]上为常数。例题1:判断函数单调性1定义满足单调性定义的条件2性质利用单调性的性质简化判断过程3定理利用单调性判定定理进行判断例题2:确定函数的单调区间1步骤1:求导求出函数的导数2步骤2:解不等式令导数大于0，解出不等式，得到函数单调递增的区间3步骤3:解不等式令导数小于0，解出不等式，得到函数单调递减的区间确定函数的单调区间，需要先求出函数的导数，然后根据导数的符号判断函数的单调性。在导数大于0的区间，函数单调递增；在导数小于0的区间，函数单调递减。单调函数的基本特征方向性单调函数在定义域内，要么一直上升，要么一直下降。唯一性单调函数的图像与任何水平直线最多只有一个交点。单调函数的应用工程设计例如，在桥梁设计中，我们可以利用单调函数来确定最佳的桥梁形状，以确保桥梁的稳定性和安全性。数据分析单调函数可以用于分析数据趋势，例如，我们可以使用单调函数来预测股票价格的走势。优化问题在许多优化问题中，我们需要找到函数的极值，而单调函数可以帮助我们快速找到函数的极值。最大值和最小值1最大值函数在定义域内取到的最大值2最小值函数在定义域内取到的最小值局部最大值和局部最小值局部最大值在一个开区间内，如果函数值f(x)大于它在该区间内的所有其他点上的函数值，则称f(x)为函数的局部最大值。局部最小值在一个开区间内，如果函数值f(x)小于它在该区间内的所有其他点上的函数值，则称f(x)为函数的局部最小值。例题3:求函数的最大值和最小值确定函数定义域首先，要明确函数定义域，因为只有在定义域内才能讨论函数的最大值和最小值。判断函数的单调性利用单调性判定定理或导数，判断函数在定义域内的单调性。确定函数的极值根据函数的单调性，判断函数的极值点，并计算极值。比较极值和端点值比较函数的极值和定义域端点处的函数值，确定函数的最大值和最小值。应用:单调性与最值问题利用函数单调性，可以判断函数在某个区间上的最大值或最小值。在实际应用中，很多问题都可以转化为求函数的最值问题，例如寻找最优方案或最优策略。通过分析函数的单调性，可以找到函数的最大值或最小值，并解决实际问题。注意事项1定义域在判断函数单调性之前，一定要先确定函数的定义域，因为函数的单调性是在其定义域内讨论的。2单调区间函数的单调区间是指函数在该区间内单调递增或单调递减，并包含区间的端点。3特殊情况对于一些特殊的函数，例如常数函数，其在整个定义域内都是单调的，但其单调区间不是一个区间，而是一个点。单调性与导数导数与单调性导数与函数的单调性密切相关，导数的符号可以判断函数的单调性。导数为正如果函数在某个区间上的导数恒为正，则函数在这个区间上单调递增。导数为负如果函数在某个区间上的导数恒为负，则函数在这个区间上单调递减。例题4:利用导数判断函数单调性1步骤1:求导数首先，求出函数的导数。这将帮助我们了解函数的斜率变化情况。2步骤2:求解导数等于零或不存在的点找到导数等于零或不存在的点，这些点称为临界点。这些点可能代表函数单调性的变化点。3步骤3:确定函数单调性在每个临界点之间，测试导数的正负性。如果导数为正，则函数在该区间内单调递增；如果导数为负，则函数在该区间内单调递减。单调递增函数的导数1导数为正如果函数在某个区间上单调递增，则该区间内所有点的导数都为正数。2导数恒大于0导数为正不意味着函数一定单调递增，还需要满足导数恒大于0。3单调性与导数导数是判断函数单调性的重要工具，但并非所有单调递增函数的导数都恒大于0。单调递减函数的导数导数小于0单调递减函数的导数在定义域内恒小于0。即f'(x)<0，对任意的x都成立。斜率为负这意味着函数的切线斜率始终为负，函数图形在定义域内始终向下倾斜。利用导数确定函数的单调区间求导先求出函数的导数，得到导函数。分析导数符号讨论导函数在定义域上的符号，并找出导函数为零或不存在的点。确定单调区间根据导函数符号变化，确定函数的单调递增区间和单调递减区间。例题5:利用导数求函数的最大值和最小值1步骤一：求导数计算函数的导数2步骤二：求驻点找到导数为零或不存在的点3步骤三：判断极值利用导数的符号变化判断极值4步骤四：确定最大值和最小值比较极值和端点处的函数值函数单调性的综合应用解题技巧结合函数的图像、性质、导数等知识进行综合分析。策略选择根据题目的具体情况，灵活运用不同的方法。练习巩固多做练习，熟练掌握函数单调性的应用。复习与思考回顾要点回顾函数单调性的概念、性质、判定方法以及应用。练习巩固通过练习习题，加深对函数单调性的理解和应用。小结单调性函数的单调性是研究函数性质的重要工具，它可以帮助我们理解函数的变化趋势。判定定理利用导数判断函数单调性是常用的方法，它可以简化判断过程。应用函数单调性在求函数的最值、解不等式等方面都有广泛的应用。拓展思考深入探索除了学习函数的单调性概