2024初中数学竞赛真题练习 专题3 方程与恒等变换（学生版+解析版）

【全国初中数学竞赛】

专题03方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练

一、单选题

1.（2023•全国•九年级竞赛）把三个连续的正整数b,c按任意次序（次序不同视为

不同组）填入口/+口人+口=。的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次

项系数和常数项.使所得方程至少有一个整数根的mb,c（）.

A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组

2.（2023•全国•九年级竞赛）在方程组M中，x，.z是互不相等的整数，

r+y+z-=-36-

那么此方程组的解的组数为（）

A.6B.3C.多于6D.少于3

二、填空题

3.（2023・全国•九年级竞赛）已知x=［三，卜={AT］，则,+（1+币）与'=

4.（2023•全国•九年级竞赛）若三20』KqK10,且方程4/一〃工+4=0的两根均为

奇数，则此方程的根为.

5.（2023•全国♦九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟”=25,

“号”=4,那么六位数“飞天神舟六号”=.

六号飞天神舟•二华、飞天神舟六号

万

6.（2023•全国•九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数小b,其面积的数值

等于它的周长的数值的2倍，则a+b=或.

7.（2023•全国♦九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，

红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，

它们上面所标数字的和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________.

8.（2023•全国•九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数

的7倍，那么其中排球的个数是.

9.（2023•全国•九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个

扣5分，不做的得0分.某学生共得13分，那么这个学生没做的题有个.

10.（2023•全国•九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997,并且其中一个是完全平方

数,则较大数与较小数的差是___________.

11.（2023•全国•九年级竞赛）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然

数是.

12.（2023•全国•九年级竞赛）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是

13.（2023•全国•九年级竞赛）一个两位数除以它的反序数所得的商数恰等于余数，则这

个两位数是.

14.（2023•全国•九年级竞赛）某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的

商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是.

15.（2023•全国•九年级竞赛）小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每

个小盒子装5颗,若弹子共有99颗,所用大、小盒子多于10个，则大盒子数为,

盒子数为.

16.（2023•全国•九年级竞赛）设平方数/是1］个相继整数的平方和.则），的最小值是

17.（2023•全国•九年级竞赛）一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍.试写出

所有这样的三位数_________.

18.（2023•全国•九年级竞赛）一个四位数与它的四个数字之和等于1991,这个四位数

是.

19.（2023•全国•九年级竞赛）〃是一个非立方的四位数，且它仅有4个正约数，除了它

本身之外其他三个约数的和等于1000,那么这个四位数〃是.

20.（2023•全国•九年级竞赛）方程版+2），=11在正整数范围内的解是.

X14

21.（2023•全国•九年级竞赛）方程z+—=3有组正整数解.

22.（2023•全国•九年级竞赛）已知三角形的三个角的度数都是小于120的质数，则这个

三角形三个角的度数分别是__________.

23.（2023・全国•九年级竞赛）若质数m,n满足5〃?+7〃=129，则的值为.

三、解答题

24.（2023•全国•九年级竞赛）（1）设x是实数，证明：卜］+x+；=［2A］,

/_、「「2010ll「20101K„

（2）求加=—+-+\—+2+'+尹+］之值

25.（2023•全国•九年级竞赛）3设mb,c是正数，且a加=1,证明:

（fl-l+-）（Z?-l+-）（c

bca

o+b+c、3

26.（2023・全国•九年级竞赛）若证明：-3—"111.等号成

----1------1—

abc

立当且仅当〃=b=c.

27.（2023•全国•九年级竞赛）若"0/>0,c>0,贝lj2（竽—向）43（"*-师），

等号成立当曲=/.

28.（2023•全国•九年级竞赛）己知％,工2，七为实数且玉+X2+X3=6,x；+x；+x；418,证

明：04%44«=],2,3）.

29.（2023•全国•九年级竞赛）设。>0功>0,c>0且/+〃+。2=1,证明：

abc、班

---?+---T+-------7>——•

\-a2\-b~1-c22

30.（2023•全国•九年级竞赛）是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程

px2-/+〃=0有有理数根？

31.（2023•全国•九年级竞赛）已知〃，。为整数，方程5f+Zu+c=0的两根都大于-出

小于0.求〃和c的值.

32.（2023•全国•九年级竞赛）试求两个不同的自然数，它们的算术平均数4和几何平均

数G都是两位数，其中A,G中一个可由另一个交换个位和十位数字得到.

33.（2023•全国•九年级竞赛）已知方程f—6X一4〃2一32〃=0的根都是整数，求整数〃

的值.

34.（2023•全国•九年级竞赛）已知av0/W0,c>0,且庐不=b-2ac，求〃-加c

的最小值.

35.（2023•全国•九年级竞赛）已知〃为质数，使二次方程F-2px+p2-5p-l=0的两根

都是整数，求出〃的所有可能值.

36.（2023•全国•九年级竞赛）已知〃为正整数，且〃2-71能被7〃+55整除，试求〃的

值.

37.（2023•全国•九年级竞赛）试求出这样的四位数，它的前四位数字与后两位数字分别

组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数.

38.（2023•全国•九年级竞赛）已知机，〃为整数，〃为整数,且满足2加+〃2+3m+〃一1=0,

求〃?，〃的值.

39.（2023•全国•九年级竞赛）〃为整数，若存在整数〃和。使

（x+«）（A--15）-25=（x-b）（x+c）,求整数4的值.

40.（2023•全国•九年级竞赛）力都是大于I的整数，&〃为何值，方程

abx2-（4a2-¥a+2b2+b）x+（4a+\）（2b+1）=0有两个整数根.

41.（2023,全国•九年级竞赛）小，〃为正整数，关于x的方程fLt+（〃?+〃）=（）有正

整数解.求机，〃的值.

42.（2023・全国•九年级竞赛）所有的整数〃，使得关于x的一元二次方程

x2-W5a2-26a-8一（下一4a+9）=0的两根皆为整数.

43.（2023•全国•九年级竞赛都是正整数.试问：关于x的方程“2—以+'。+与=。

是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.

44.（2023•全国•九年级竞赛）有三个都不为。且互不相同的数码，用它们组成各个可能

的三位数（不重复使用数码），其和为2886,如果把这三个数码从小到大排成一个三位

数，又从大到小排列成一个二位数，这两个数的差是495,这二个数码是什么？

45.（2023・全国•九年级竞赛）设m4c都是奇数，证明方程ad+以+°=（）没有有理

根.

46.（2023•全国•九年级竞赛）一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999，

求这个四位数，并说明理由.

47.（2023•全国•九年级竞赛）有一个四位数，它的个位上的数字比十位上的数字少3,

并且它的数字倒排所成的新四位数与原四位数之和为3987.求这个四位数，并写出他

理过程.

48.（2023•全国•九年级竞赛）两位数瓦能整除十位数字为零的三位数嬴，求点.

49.（2023•全国•九年级竞赛）如果一个自然数正好等于其各个数位上的数字之和的13

倍，试求出这样的自然数，并说明理由.

50.（2023•全国•九年级竞赛）一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区，

他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在

生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察

队行进了24km后回到出发点.试问：科学考察队在生态区考察了多少天？

【初中数学竞赛】

专题03方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练

一、单选题

1.(2023•全国•九年级竞赛)把三个连续的正整数b,c按任意次序(次序不同视为

不同组)填入口/+口人+口=。的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次

项系数和常数项.使所得方程至少有一个整数根的mb,c().

A.不存在B.有一组C.有两组D.多于两组

【答案】C

【详解】设三个连续的正整数分别为n-l,〃，〃+1(〃为大于1的整数).当一次项系

数是n-1或〃时，/均小于零，方程无实数根；当•次项系数是〃+11时，

△二(〃+1尸一4〃(〃-1)二-3(〃-1尸+4.

因为〃为大于1的整数，所以，要使△之0,〃只能取2.

当〃=2时，方程/+3克+2=0,2/+3K+1=0均有整数根，故满足要求的(a,b,c)

只有两组:(1,3,2)、(2,3,1).

2.(2023•全国•九年级竞赛)在方程组，’"中，-)，，z是互不相等的整数，

那么此方程组的解的组数为()

A.6B.3C.多于6D.少于3

【答案】A

【详解】^JJIJx3+y+23-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz+yz)=0,把原方程组

转化为解不定方程3xyz=-36.

因为丁+V，+-3xyz

11

一(x+y+z)(d+y+z-xy-yz-ZLV)

=0»

所以x'+V+z=Bxyz,从而得3型=-36,

即冷2=-12.

因此x,y,z中一定是两正一负，且x+y+z=O.

又12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,

则上述两种组合中，只有12=1x3x4符合条件.

A=ltx=1,x=3,x=3,x=-4x=-4,

所以b=3,

或，)，=-4,或<y=L或，y=-4，或,y=L或，y=3,

z=-4,2=3,z=-4,z=1,z=3.z=1.

共有6个解.故选A.

二、填空题

3.（2023•全国•九年级竞赛）已知A=,贝心2+(]+0"

【答案】10

【详解】解因」7==—币厂

3-V7(3-77)(3+77)2

a

由2=在<>/7<囱=3知2.5<^^Fi<3,

2

I、IC工曰1r3+>/7.\/1-1

所以x=2,于是y=----=-2=-------2=------,

3-V722

因止匕，x24-(1+>/7)^=224-(1+V7)x2x^^=4+(7-1)=10.

故填10.

4.（2023・全国•九年级竞赛）若14〃<20,1«q410,且方程4/—川+4=。的两根均为

奇数，则此方程的根为.

【答案】百=W=1

【详解】填内=X2=1.理由：设对天是方程的两个根，则

%+工2=（/也=（.

因为不々均为奇数，故占+W为偶数，西子2为奇数.

又14〃420,14夕410,

则,工之W5」工幺&3.

44442

故Z=1闯=4.

4

由△=//:一］6夕之0,解得〃28.

从而，与22.

4

所以，4=2或4,即〃=8或p=16.

4

当〃=8时，X,=x2=1,符合题意;

当p=16时，毛与巧均为无理数，不合题意，舍去.

故原方程的根为玉=/=1.

5.（2023・全国•九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字.已知“神舟”=25,

“号”=4,那么六位数“飞天神舟六号』.

六号飞天神舟=x飞天神舟六号

【答案】102564.

【详解】设“飞天”=x,"六号”=y，则题设算式可化为

4x（10000.v+100A+25）=25x（10000x+2500+y）»

化简得4x（400y+4.r+l）=l0000.V+2500+y

即1599y=9984x+2496,

即533y=3328%i832.

两边约去13得41），=256x+64,即4ly=64（4x+l）,64与41互质，64整除y.故y=64.

“号”=4与题设符合.

代人得4—0.

于是“飞天神舟六号”=102564.

6.（2023•全国•九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数小b,其面积的数值

等于它的周长的数值的2倍，贝iJa+〃=或.

【答案】2518

【详解】根据题意,得ab=2（2a+2b）,

即ab-4a=4b,

因为m。均为正整数，且所以〃-4一定是16的正约数.

当4分别取I,2,4,8,16时，代入上式得：

8—4=1时，b=5,a=20；

4=2时，b=6.a=12；

。-4=4时，。=8,。=8（舍去）；

。一4=8时，6=12,。=6（舍去）；

。一4=16时，〃=20,。=5（舍去）.

因止匕4+8=25或18.

故应填25,18.

7.（2023•全国•九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，

红球上标有数字1，黄球.上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球，

它们上面所标数字的和等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________.

【答案】4

【详解】设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，则蓝球有（10--・丁）个.

根据题意，得工+2），+3。0-%一），）=21,

即2x+y=9.

易知，x的最大值是4,即小明摸出的10个球中至多有4个红球.

8.（2023•全国•九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数

的7倍，那么其中排球的个数是.

【答案】17或9或1

【详解】设足球有工个，排球有y个，则7x+），+x=25,

即8x+y=25.

当x=l时，y=17；当无=2时，），=9；当x=3时，y=l.

所以排球的个数是17或9或1个.

9.（2023•全国•九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个

扣5分，不做的得0分.某学生共得13分，那么这个学生没做的题有个.

【答案】7

x+y+z=20,

【详解】设该生做对x个题，做错y个题，没做的题目有z个，则。［口

8x-5j=13.

所以8（x+y）=8x+8y=13+13y=13（l+y）.

又8与13互质，则x+y被13整除.

ffo0<x+y<20,所以x+y=l3,从而z=20-（x+y）=7.

所以这个学生没做的题有7个.

10.（2023•全国•九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997,并且其中一个是完全平方

数，则较大数与较小数的差是.

【答案】663

【详解】设这两个正整数为>勿.

根据题意，可得。人-m+b）=1997,

则（々—1）6—1）=1998,

即（“一1）3-1）=2x33x37.

因为a>b,即《-1>人1,且小匕中有一个是完全平方数，故3—1)3—1)=666x3,

。二667,

所以

Z?=4.

则a-b=663.

11.(2023•全国•九年级竞赛)某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然

数是__________.

【答案】198

【详解】所求数不可能是一位数，四位数及四位以上的数.故只考虑两位数及三位数.

(1)设所求自然数是可，则10x+y=U(%+y),

即x+10y=0,

此方程无满足条件的解.

(2)设所求自然数是后，则100x+10y+z=ll(x+j+z),

即89x-y-10z=0.

显然x只可能是1,因此，只有一组解：x=l,y=9,z=8.

故所求的数是198.

12.(2023•全国•九年级竞赛)边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是

【答案】4右

【详解】设三角形的三边长分别为a,b,c,^.a<b<c,则。+〃+c=12.

可得3cN12,即cN4.

又因为a+b>c,所以2cvl2,即c<6.

故4Wc<6,(•可取4或5.

当c=4时，a<Z?<4,r/+Z?=8,所以a=〃=4.

此时三角形面积为5=f•4?=46；

肖。=5时，a+b=l.当a=l时，b=6.此时a+c=Z?,不合题意.

当。=2时、b=5.此时三角形面积为S,=12•疹下=2"；

肖。=3时，b=4.

此时三角形为直角三角形，三角形面积为S3=；・3-4=6.

显然岳>邑>52,所以所求最大面积为4G.

13.(2023•全国•九年级竞赛)一个两位数除以它的反序数所得的商数恰等于余数，则这

个两位数是.

【答案】52

【详解】设这个数为。=iox+y,它除以它的反序数的商数是小则其反序数为10丁+工

于是10x+y=(10y+x)q+q,4为自然数,

即(10-q)口-(10q-l)尸q.

当4=1时，9(%-y)=1,此方程无整数解；

当“=2时、有8%-19y=2.可知)，是偶数.

当y=2时，x=5.

而当)，=4或6或8时，K无整数解.

所以当4=2时，4=52.

进一步，当4=3时，有7X一29»，=3,

当)，K2时，x无整数解：而当丁之3时，x>10,即x无满足条件的解.

当4=4时，有6x-39y=4.

因为此方程右边4不被3整除，所以无解.

最后，当夕N5时,有5%之(10-如=(1凹一l)y+qN49y+g/54.

所以xNll,不可能有解.

综上所述，所求数等于52.

14.(2023•全国•九年级竞赛)某个两位自然数，它能被其各位数字之和整除，且除得的

商恰好是7的倍数，写出符合条件的所有两位数是.

【答案】21,42,63,84

【详解】设所有两位数是6,则10x+y=k(x+y).

其中2是正整数，且为7的倍数.

当4=7时,l0x+y=7(x+y),即x=2y.

当丁=1时，X=2；y=2时，x=4；y=3时，x=6；y=4时，x=8.

当〃=14时，10x+y=14(x+y),

即4x+13y=0.

此方程无正整数解.

当欠=21,28,……，方程均无正整数解.

所以满足条件的两位数是：21,42,63,84.

15.(2023•全国•九年级竞赛)小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每

个小盒子装5颗，若弹子共有99颗,所用大、小盒子多于10个,则大盒子数为,

盒子数为.

【答案】215

【详解】设大盒子有x个，小盒子有），个.

99一12犬4-2X

根据题意，得12x+5），=99,从而），=‘，$=19-2X+^^.

因为x,1y都为整数，所以x可取2或7.

当x=7时，），=2；当x=2时，>=15.

因为x+），Nll,所以x=2,y=15.

16.（2023•全国•九年级竞赛）设平方数），’是11个相继整数的平方和，则），的最小值是

【答案】-11

【详解】理由：设11个相继整数为,几..〃+4,〃+5,则

5—5）2+（〃-4）2+•+/J++5+4）2+5+5）2=）/，

即11（1+10）=/

显然，y最小时，只能是〃2=1.

所以），取最小值-11.

17.（2023•全国•九年级竞赛）一个三位数，它等于它的各位数码之和的12倍.试写出

所有这样的三位数.

【答案】108

【详解】设这样的三位数为正，则

100。+1Ob+c=12（。+/?+（?）,

2

即c=8a---b.

11

因为a,b,。均为整数，且〃<9,所以8=0,得c=8a.

又因为14。49,0工。49,所以只能。=l,c=8.

18.（2023•全国•九年级竞赛）一个四位数与它的四个数字之和等于1991,这个四位数

是.

【答案】1972

【详解】设这个四位数为丽，根据题意，得

1000a+100〃+10c+d+a+〃+c+d=1991,

BP100kz+10IZ?+llc+2<7=1991.

（1）若a22,Ml00Id>2000,所以4=1.从而101b+Uc+2d=990.

（2）因为llc+R的最大值为99+18=117,所以10心之990-117=873,即。=9,从

而llc+2d=81.

（3）由于OK24Kl8,贝lj81-18=63KllcW81.

所以。=6或7.

当c=6时,66+26=81,得4=—（舍去）；

2

当c=7时，7”2d=8\,得d=2.

故这个四位数是1972.

19.（2023•全国•九年级竞赛）〃是一个非立方的四位数，且它仅有4个正约数，除了它

本身之外其他三个约数的和等于1000,那么这个四位数〃是___________.

【答案】1994

【详解】由题意，〃=PV,且〃，q均为质数,则1+〃+夕=1000,即p+4=999.

以p,q中必有一个为偶质数2,另一个为997.

从而有〃=2x997=]994.

20.（2023・全国•九年级竞赛）方程3xi2），=11在正整数范围内的解是.

x=1,[x=3,

【答案】J；或；

y=4,[y=i.

【详解】由3x<ll,得XV;，所以x只能取1，2,3.

当x=l时，y=4；当x=2时，y无正整数解；当x=3时，y=L

x=l,lx=3,

所以所求方程的解为《4或

J=4,y=l.

r|4

21.（2023•全国•九年级竞赛）方程三+—=3有_________组正整数解.

3y

【答案】5

【详解】理由：因为】之。

33

所吟=3宁368

3

14x321

则”—

即yN6.

原方程可化为封+42=9），，

则42=（9-x）y.

所以42能被），整除.

所以），可取6,7,14,21,42.相应地得到五组解;

xy=2,x,=3,]Xy=6,x4=7,x；=8,

Y=6,1%=Z[为=14.”=21,1％=42.

22.（2023•全国•九年级竞赛）已知三角形的三个角的度数都是小于120的质数，则这个

三角形三个角的度数分别是.

【答案】2。,89。,89。

【详解】设三角形的三个角的度数分别是x,y,z,Rx<y<zf则x+y+z=180.

所以x,y,z中必有一个偶质数2,得x=2,y,z必为奇数.

若尸z,贝”-”2,与z-yvx矛盾.

所以y=z,得），=z二89.

因此，三角形三个角的度数分别是2。,89。,89。.

23.（2023・全国・九年级竞赛）若质数〃?,〃满足5〃?+7"=129,则，〃+〃的值为.

【答案】19或25

【详解】因为加，”为质数，且5〃-7〃=129,所以如〃中必有一个是偶质数.

若〃2=2,则〃=17；若〃=2,m=23.

所以〃叶〃的值为19或25.

三、解答题

24.（2023•全国•九年级竞赛）（1）设x是实数，证明：卜］+x+；=［2A］,

「「2010I-「201（）11「201（）1］、.

（2）求知=［丁+5+［亍+5］+，,+［声+乙值

【答案】（1）见解析；（2）2010

【详解】解(1)设[x]=〃,{x}=x-[x]=a,则OVavl.

若0«a<,，则0Wa+,<l,0«2a«l,于是

22

I1

+x+—=n+n+a+—=n+n=2n,2x]=\2n+2a]=2n

_2]L2

所以[x]+x+；=[2.v]

若!/iiJl<a+-!-<l-,l<2a<2,于是

222

[x]+x+—=〃+n-\-a+—=n+(n+\)=2n+1,[2x]=[2n+2a]=2n+1,,

22

所[小x+；=[2可

综上所述，对任何实数X,卜]+X+1=[2可成立.

(2)由(1)知x+：=[2x]-[x]

/20102010笔器，再将各式相加得

22-

注：从以上各例看出，求解有关区及｛"的问题的关键是：国及区的定义和基本不

等式l-1〈卜］",。45｝＜1.只要将1］及"｝的定义与不等式结合起来进行计算和讨

论，就能找到解决问题的途径.

25.（2023•全国•九年级竞赛）3设a,Ac•是正数，且abc=l,证明：

bca

【答案】见解析

XVZ

【详解】证明注意到或。=1,设。=一,6=）,。=一（x,y,z为正实数），则

yzx

原不等式=d-i+三）（工-i+n（三-1+））4

yyzzxx

＜=＞（x+x-y）（y+x-z）（z+y-x）＜xyz.①

y^u=x+z-y,v=y+x-z,w=z+y-x,则

〃+v八v+w_w+u_

x=------->0,y=-------->0,z=-------->0.

222

...,/〃+八/+卬\//+〃、/

:是①0UVW<(^―)(-y-)(—y-)•②

不妨设xNyNz,则i/20,「NO.如果卬£0,那么

,c,〃+叭/射+卬、/3+叭I、」_

UVW<0<(―^―)(—y—)(—y—),不等式②成乂；

如果卬>0,又〃>0»>0,那么

(^^)(上32)(一^)之(>/MV)(VVW)(A/W)=NUW即②成立.

a+b+c3

26.（2023•全国•九年级竞赛）若」＞0力＞0,。＞0,证明:-ir等号成

—+-+-

abc

立当且仅当。=b=c.

【答案】见解析.

【详解】解原不等式=（〃+力+C）（,+［+!）29

abc

haca(:h、小

=3+—+―+—+-+------>9.①

abacbc

而2+£之2\母=2二十巴之2、口=25+2之2贮=2故①成立.等号成立当且仅

abVabacVacbc\bc

当a=b=c.

3

注：1,1I称为三个正数a,4c的调和平均值.故本例的结论可写为3个正数的

—+—+—

abc

算术平均值不小于它们的调和平均值，等号成立当且仅当这3个正数都相等.

②本题可直接用算术平均值不小于几何平均值来证明：

_1+:+_1N3*邛1=4又师工把经故

abc\abcIjabc3

空公^疵

31+1+1,

k1

27.（2023•全国•九年级竞赛）若。>0/>0,c>0,则2（彳-V^）<3（"经一炳），

等号成立当必=。2.

【答案】见解析

【详解】证明经去括号，移项整理知，要证不等式等价于：3痂0C+2，万.

而由3个正数的平均值不等式得

c+2\[ab=c+4ab+4ab>3\]c­4（ib\[ab=3\Jabc•

故原不等式成立.等号成立当且仅当c=V^=a〃=c2

28.（2023•全国•九年级竞赛）己知%,工”刍为实数且N+X2+X3=6,X；+*+X；«18,证

明：04玉<4。=1,2,3）.

【答案】见解析

【详解】证明因为玉+占=6-七，设％=土产+1=空+，，9=七上一/=宁一，，

于是，由已知条件中第二个不等式得

=（手+心（宁—=2（宁f+2八2（3,

2222

2

即36—2xj>（6—x3）=36-12巧+x；=>3x3（x3-4）<0,

所以。4再44.由对称性得0工百工4,0工彳2«4.

注：①本题也可以用不等式片+石之3。|+公）2来证明：因为3+%2=673，

■T是18-x；Nx；之：（西十占尸之；（6一芯厂»卜血解法与前述相同.

②例12和例13中的代换称为平均值代换.

29.(2023•全国•九年级竞赛)设〃>。/>0，00且cA6+cJ],证明:

abc、3-73

-----7+-----r+-----7>——•

X-a1\-b-1-c22

【答案】见解析

【详解】证明注意到/+〃+°2=1，原不等式等价于

a1b2c22更①

-------------------i-'----------

a(\-a)b(\-b)c(l-c2)2

2?2

故要证①成立，只要证。。一乖,〃(1一〃2)4法,c(l—C)24访

而由平均值不等式有

4(j2)=收2/.([-/>(]-/)]

|「2/+(1-/)+(~2)丁〃2八2

m--------------3-------------=收号F

27

同理仅1一/)4泉方，c(l—c?)W法,故①成立,从而原不等式成立.

30.(2023•全国•九年级竞赛)是否存在质数p,q,使得关于工的一元二次方程

px2-qx+p=0有有理数根？

【答案】存在满足题设的质数，理由见解析

【详解】设方程有有理数根，则判别式为平方数.

令Ar?-4〃2=",其中，〃是•个非负整数，

贝lj(g_〃)(q+〃)=4pt

由+旦夕一〃与“+〃同奇偶，故同为，禺数.

因此，有如下几种可能情形:

〃一〃=2,21

(1)b+Tp-P』；

g-〃=4,p~

(2)/〃=P2nq=2+5；

q-n=p,5P

(3)=>q=—；

q+n=4p2

q-n=2p

(4)q+〃=2p=q=2p

QX]九nq=2+H

(5)

q+〃=42

对于情形（I）、（3）,p=2,从而，q=5；

对于情形（2）、（5）,p=2,从而g=4（不合题意，舍去）；

对于情形（4）,是合数（不合题意，舍去）

乂当〃=2国=5时，方程为2x2-54+2=0,它的根为百=；,”2,它们都是有理数.

综上所述，存在满足题设的质数.

31.（2023•全国•九年级竞赛）己知力，。为整数，方程5/+云+°=0的两根都大于-1且

小于0.求〃和c的值.

【答案】b=5,c=l

【详解】根据二次函数y=5/+法+。的图象和题设条件知：

当％=0时，5x2+bx+c>0有c>0；①

当x=-l时，5x2+bA+c>0»有Z?>5+c.

因抛物线顶点的横坐标-工满足-1<工<0,

2x52x5

则。③

又因△?（）,即从一20c20，故20c.④

由①、③、④得100>护之20c,cv5.

若c=l,则由②、④得0〈人<6且从220,得〃=5：

若c=2,则0<〃<7且从240,无整数解;

若c=3,则0<〃<8且"260,无整数解；

若c=4,则0vbv9且从280,无整数解.

故所求。，c的值为8=5,c=l.

32.（2023•全国•九年级竞赛）试求两个不同的自然数，它们的算术平均数人和几何平均

数G都是两位数，其中A,G中一个可由另一个交换个位和十位数字得到.

【答案】98和32

M十步一2A

【详解】设这两个自然数为再，占，则-,

中j=G,

即入,七是方程X2—2AY+G2=0的两个根，所以人士庐e应为自然数，即为

完全平方数.

设A=W9）,则G=10〃+々，

可得43=9-11(〃+〃)(〃-〃).

因此，11整除〃+〃或。一人，（n1<^-/?<8,故11整除。+/?.

由4+力K9+8=17,得〃+b=ll,则必须是完全平方数.

由。-/?=（“+与-2/?=11-2〃，知是一个奇数，但4-649-1=8<3'所以=

a+b=\\,a=6,

由<得《

a-b=\b=5.

所以A=65,G=56.

^lA±y]A2-G2=65±33-

因此，所求两数为9g和32.

33.(2023•全国•九年级竞赛)已知方程/一64-4〃2-32〃=0的根都是整数，求整数〃

的值.

【答案】整数〃的值为-18,-8,0,10

【详解】解得x=3土J4/J+32/7+9•

因为方程的根都是整数,所以，4〃2+32〃+9是完全平方数.设4〃?+32〃+9=4,"?>0.

则有(2/2+8+ni)(2n+8-m)=55.

因为55=lx55=5x||=(—l)x(—55)=(—5)x(-ll),

分别解得〃=10,〃=0,〃=-1&,?=一8.

所以，整数〃的值为一18,-8,0,10.

34.(2023•全国•九年级竞赛)已知a<0,〃W0,c>0,且后二^：=b-2ac,求〃

的最小值.

【答案】4

【详解】由已知得/―4ac=S—2ac)2,即-〃+1)=0.

乂a<0,c>0,则QCHO,即ac-/?+l=O,故ac=人一1,

b2-4ac=h2-4(b-1)=b2-4〃+4=(h-2)2.

因〃WO,则〃一2K-2,即（8—2尸之（—2）2=4,故力2_4w的最小值为4.

35.（2023•全国•九年级竞赛）已知〃为质数，使二次方程丁-2〃*+〃2-5〃-1=0的法根

都是整数，求出〃的所有可能值.

【答案】〃=3或7

【详解】A=4p2—4（pL5p-l）=4（5p+l）为完全平方数，从而5p+1为完全平方数.

令5p+l=〃2,注意至U〃22,故〃24,且〃为整数，于是5〃=（〃+1）（〃-1）,

则〃+1,〃-1中至少有一个是5的倍数,即〃=5攵±1仪为整数）.

则5p+1=25k2±IOk+\,p=&(54+2).

由〃为质数，5A±2>1知攵=1,〃=3或7.

当〃=3时，原方程变为/一6工-7=0,得玉=-1,9=7；

当p=7时，原方程变为12-144+13=0，得玉=1,9=13.

所以，〃=3或7.

36.(2023•全国•九年级竞赛)已知〃为正整数，且*-71能被加+55整除,试求〃的

值.

【答案】n=51

【详解】设〃2-71=%(7〃+55)夏为整数)，则关于〃的一元二次方程的判别式一定是

完全平方数.

解设〃2-71=­7〃+55)(攵是整数)，则

〃2-74〃-(554+71)=0,

且△=49A2+4(55#+71)=49/+22()&+284应为完全平方数.

因为(74+15)2=49/+210A+225

<49公+220女+284

<49必+23版+289

=6+17)2,

所以△=(74+16)2,从而(7左+16)2=49r+22(次+284.

于是，k=7,有〃2-71=7(7〃+55),

解得〃=-8(不合题意)或57.

所以〃=57.

37.(2023•全国•九年级竞赛)试求出这样的四位数，它的前四位数字与后两位数字分别

组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数.

【答案】四位数为2025或3025

【详解】设这个四位数前后两个两位数，分别是x,-则10Kx,yW99,且

(x+y)2=100x+y,

展开得关于工的二次方程：x2+2(y-5O)x4-(/-y)=O.

^A=4(y-50)2-4(/-y)=4(2500-99y)>0W,方程有实数解.

即当)，W25时，方程有解x=50-)，土j2500_99.y.

因为x为整数，故2500-99.V必为完全平方数，而完全立方数的末位数字仅可能为0,1,

4,5,6,9.

故仅当),=25时，2500-99x25=52,此时x=30或20.

故此四位数为2025或3025.

38.(2023•全国•九年级竞赛)已知，〃，〃为整数，〃为整数，且满足2〃/+〃2+3m+，?-1=0,

求/〃，〃的值.

【答案】〃?=一1,〃=1或〃?=一1,〃=一2

【详解】以加为主元，得关于加的一元二次方程2机2+3帆+〃2+〃一1=o.

因为，〃有整数解，所以A=9—8(〃2+〃-1)=—8〃2-8〃+17之0,

解得-2-屈4〃4-2+国

44

又〃为整数，所以一

乂方程有整数解，则△=-8/-8〃+17必为完全平方数，从而〃=-2,1.

当〃=-2或〃=1时，代入原方程均有2m2+3〃?+1=0,

解得班=-1,机2=-万(舍去).

故m=-1,〃=1或/〃=-1,〃=—2.

39.(2023•全国•九年级竞赛)〃为整数，若存在整数人和。使

(x+«)(x-15)-25=(x-/?)(x+c),求整数a的值.

【答案】a的值为9,-15,-39

【详解】依题意知方程(x+a)(x-15)=25有两整数根

而25=(土5)x(±5)=(±l)x(±25),

x+a=25,x+a=-5,=15,

则有，V

x-\5=-5,x-15=5,[x-15=l,

x+a=-25,x+a=1,x+a=-l,

x-15=-l,[x-15=25,x-15=-25.

«=-15,a=-15,ja=9,a=9,Ja=-39,(a=-39,

解得[x=_10,[x=14,1j=40.

x=20.x=10,[x=16,

由此可以看出每一个a对应两个整数，因此所求的整数〃的值为9,-15,-39.

40.(2023•全国•九年级竞赛)力都是大于1的整数，a,人为何值，方程

abx2一(4/+。+2/?+〃卜+(4〃+1)(2〃+1)=0有两个整数根.

(a=11Ja=3,[a=5,

【答案】当L＜八(7时，方程有两个整数根

【详解】[火-(28+1)北取一(4〃+1)]=0,所以方程的两根是丝上1,华1

ab

(i)；""+।=1,则4a+1=8Z?+5.

a

所以汕+5被从整除，得〃整除5.

(ii)若丝口＞1,因孙+1是奇数,

a

所以也是奇数，叫23,

aa

即MK2〃+1<3d则

4tz+14a+