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文档简介

数缺形时难直观，形离数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。——华罗庚形数xy点(x,y)曲线方程§4.1曲线与方程曲线上的点方程的解平面直角坐标系问题1、如何研究曲线与方程的关系呢？形数曲线方程第(1)组：曲线C1：到两坐标轴相等的点的轨迹问题2：下列每组曲线与方程，你认为它们能不能相互表示？形数

第(2)组：曲线C2：到原点距离为2的圆在x轴上方的部分问题2：下列每组曲线与方程，你认为它们能不能相互表示？形数

第(3)组：曲线C3：平面内到两坐标轴的距离的乘积为1的点的集合问题2：下列每组曲线与方程，你认为它们能不能相互表示？形数

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程.（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，问题3：3组曲线与方程，是否满足曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程？若不是，请将曲线与方程其中一个加以修改，使其得以满足。第(1)组曲线C1：到两坐标轴相等的点的轨迹

第(2)组曲线C2：到原点距离为2的圆在x轴上方

的部分

第(3)组曲线C3：平面内到两坐标轴的距离的乘积

为1的点的集合

不满足不满足满足第（1）组：曲线（形）方程（数）曲线不动改方程方程不变改曲线

第（2）组：曲线（形）方程（数）曲线不动改方程方程不变改曲线

定义集合语言解读定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C

（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x

，y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．

例题：证明圆心为M(3,4)，半径为5的圆的方程是(x-3)2+(y-4)2=25，并判断点O(0,0)，A(-1，0)，B(1，2)是否在这个圆上.分析：曲线是什么？方程是什么？如何判断点是否在圆上？圆心为M(3,4)，半径等于5的圆曲线上的点方程的解证明:一方面，设P(x0,y0)是已知圆上任意一点，由于点P到圆心M的距离等于5，所以有，即这说明圆上任一点的坐标(x0,y0)都是方程的一组解.另一方面，设数对（x1,y1）是方程的一组解，

那么就有

两边开平方取算术根，得

这说明P(x1,y1)是以M（3，4）为圆心，半径等于5的圆上的一点.

所以

是圆心为点M（3，4），半径等于

5的圆的方程。显然，左右两边的值相等，这说明数对（0，0）是方程的解，所以点O在这个圆上；同理，点B（1，2）也不在这个圆上，它在圆内。将点O（0，0）的坐标带入方程，因为,方程的解，所以点A(-1,0)不在这个圆上，它在圆外；这表明（-1，0）不是

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