2025年北师大版高三数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高三数学上册月考试卷66考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2、算法流程图如图所示；其输出结果是（）

A.124B.125C.126D.1273、已知集合M={3，a}，N={x2-3x+2=0}，M∩N={1}，则M∪N为（）A.{1，3，a}B.{1，2，3，a}C.{1，2，3}D.{1，3}4、已知且则A.11B.12C.13D.145、【题文】下列四个命题中，正确的是()A.第一象限的角必是锐角B.锐角必是第一象限的角C.终边相同的角必相等D.第二象限的角必大于第一象限的角6、已知实数满足约束条件则的取值范围是（）A.B.C.D.7、已知定义域为{x|x鈮�0}

的偶函数f(x)

其导函数为f隆盲(x)

对任意正实数x

满足xf隆盲(x)>鈭�2f(x)

若g(x)=x2f(x)

则不等式g(x)<g(1鈭�x)

的解集是(

)

A.(12,+隆脼)

B.(鈭�隆脼,12)

C.(鈭�隆脼,0)隆脠(0,12)

D.(0,12)

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等且=，则的值是____．9、已知5x+12y=60，则的最小值为____．10、由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有____个．11、【题文】双曲线的渐近线方程为则____12、过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P．若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是______．13、已知实数xy

满足{x鈭�2y+1鈮�0x鈮�2x+y鈭�1鈮�0

则z=2x鈭�2y鈭�1

的最小值是______．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．20、空集没有子集．____．21、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、其他(共1题，共7分)22、若f（x）=x2-x，则满足f（x）＜0的x取值范围是____．评卷人得分五、证明题(共3题，共21分)23、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB1=3，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．

（1）求直线BE与A1C所成角的余弦值．

（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．24、已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点（1，）．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．25、在四棱锥P-ABCD中；底面ABCD是菱形，侧面PAD是等边三角形，O是AD的中点，∠ABC=120°．

（1）求证：平面ABCD⊥平面POB；

（2）若二面角P-AD-B是直二面角，E是PB的中点，求过直线AD与OE的平面截该四棱锥所成的两部分的体积之比．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】【分析】在△ABC中，依题意，利用正弦定理可得c2=a2+b2，从而可判断三角形ABC的形状【解析】【解答】解：在△ABC中，∵sin2C=sin2A+sin2B；

∴由正弦定理得：c2=a2+b2；

∴△ABC为直角三角形；

故选：B．2、D【分析】【分析】由算法流程图可知，a的取值依次构成一个数列，且满足a1=1，an+1=2an+1，依次写出a的取值，第一个大于100的an值即为所求．【解析】【解答】解：由算法流程图可知；a的取值依次构成一个数列，写出这个数列1，3，7，15，31，63，127，，当a=127时，a＞100成立，输出a的值为127．

故选：D．3、C【分析】【分析】对于集合N：由x2-3x+2=0解得x，即可得到N．由于M∩N={1}，可得1∈M，得到a=1，即可得到M．再利用并集的运算即可得出M∪N．【解析】【解答】解：对于集合N：由x2-3x+2=0解得x=1或2；∴N={1，2}．

∵M∩N={1}；∴1∈M，∴a=1，∴M={3，1}．

∴M∪N={1；2，3}．

故选C．4、A【分析】因为f（x）-9是奇函数，因此可知f（x）-9+f（-x）-9=0，那么11，选A【解析】【答案】A5、B【分析】【解析】解：因为根据象限角的定义可知，锐角必是第一象限的角，选项A，C,D不符合象限角的定义，因此错误选B【解析】【答案】B6、D【分析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所示，联立得点

联立得点作直线则为直线在轴上截距的倍，当直线经过可行域上点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即故的取值范围是故选D.7、C【分析】【分析】

本题考查了函数的奇偶性与单调性；考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

f(x)

是定义域为{x|x鈮�0}

的偶函数，可得：f(鈭�x)=f(x)

对任意正实数x

满足xf隆盲(x)>2f(鈭�x)

可得：xf隆盲(x)+2f(x)>0

由g(x)=x2f(x)

可得g隆盲(x).

可得函数g(x)

在(0,+隆脼)

上单调递增，在(鈭�隆脼,0)

上单调递减.

即可得出．

【解答】

解：隆脽f(x)

是定义域为{x|x鈮�0}

的偶函数；

隆脿f(鈭�x)=f(x)

．

对任意正实数x

满足xf隆盲(x)>鈭�2f(x)

隆脿xf隆盲(x)+2f(x)>0

隆脽g(x)=x2f(x)

隆脿

当x>0

时，g隆盲(x)=2xf(x)+x2f隆盲(x)>0

当x<0

时，g隆盲(x)=2xf(x)+xg隆盲(x)=2xf(x)+x22f隆盲(x)<0f隆盲(x)<0．

隆脿

函数g(x)

在(0,+隆脼)

上单调递增；

隆脿g(x)

在(鈭�隆脼,0)

递减；

由不等式g(x)<g(1鈭�x)

隆脿{x>01鈭�x>0x<1鈭�x

或{x<0x鈭�1<0x>x鈭�1

解得：0<x<12

或x<0

隆脿

不等式g(x)<g(1鈭�x)

的解集为：{x|0<x<12

或x<0}

．

故选C．

【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等和体积比推出底面半径的比，然后求解底面积的比．【解析】【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H；h；

∵=；①

由侧面积相等得；②

∴①÷②得；

则=．

故答案为：．9、略

【分析】【分析】表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4，0）的距离，因此当且仅当PQ⊥l时取得最小值．【解析】【解答】解：表示直线l：5x+12y=60的点Q与点P（4；0）的距离；

因此当且仅当PQ⊥l时取得最小值d==．

故答案为：．10、略

【分析】【分析】首先分析“得到的三位数中各位数字之和为偶数”可得，只有一种情况3个数中2个奇数、1个偶数，由排列组合公式可得其情况数目．【解析】【解答】解：根据题意，若得到的三位数中各位数字之和为偶数，则取出的三个数字中2个奇数、1个偶数，则有C32•C21•A33=36种情况；

故答案为3611、略

【分析】【解析】解：因为双曲线的渐近线方程为因此说明，则有【解析】【答案】12、略

【分析】解：由题意得F（c；0），由切点为M为线段FP的中点可知；

OM是△FOP的底边FP的中线也是高线；故FPO为等腰直角三角形；

∴点P（0，c），由中点公式得M（），把M（）代入圆的方程得

∴=

故答案为：．

判断FPO为等腰直角三角形，由中点公式得M（），把M（）代入圆的方程求得离心率．

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断FPO为等腰直角三角形是解题的关键．【解析】13、略

【分析】解：由约束条件{x鈭�2y+1鈮�0x鈮�2x+y鈭�1鈮�0

作出可行域如图；

联立{x鈭�2y+1=0x+y鈭�1=0

解得A(13,23)

化目标函数z=2x鈭�2y鈭�1

为y=x鈭�12鈭�z2

由图可知，当直线y=x鈭�12鈭�z2

过点(13,23)

时z

取得最小值；

把点的坐标代入目标函数得z=鈭�53

故答案为：鈭�53

．

由约束条件作出可行域；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．【解析】鈭�53

三、判断题(共8题，共16分)14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、其他(共1题，共7分)22、略

【分析】【分析】f（x）＜0即为x2＜，由于x=0不成立，则x＞0，考虑平方法，再由幂函数的单调性，即可得到解集．【解析】【解答】解：f（x）＜0即为x2＜；

由于x=0不成立；则x＞0；

再由两边平方得，x4＜x；

即为x3＜1解得x＜1；则0＜x＜1；

故解集为：（0；1）．

故答案为：（0，1）．五、证明题(共3题，共21分)23、略

【分析】【分析】（1）以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点，进而可表示向量，利用向量的数量积可求直线BE与A1C所成的角的余弦；

（2）要使得CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F，由=0可建立方程，从而得解．【解析】【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC=．

以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x；y、z轴建立如图所示空间直角坐标系；（2分）

因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=；

从而B（0，0，0），A（，0，0），C（0，；0）；

B1（0，0，3），A1（，0，3），C1（0，，3），D（，，3），E（0，，）．

所以=（，-，3），=（0，，）

而||=，||=，且•=；

所以cosθ===．（5分）

所以直线BE与A1C所成的角的余弦为．（6分）

（2）设AF=x，则F（，0，x），=（，-；x）；

=（，0，x-3），=（，；0），（8分）

则：=+（-）×+x×0=0；

所以⊥；（9分）

要使得CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F，由=2+x（x-3）=0；有x=1或x=2，（11分）

故当AF=1，或AF=2时，CF⊥平面B1DF．（12分）24、略

【分析】【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），由离心率等于，且过点（1，），列出方程组求出a，b；由此能求出椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）设直线l的方程是y=k（x-2），与椭圆联立，得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0，由此利用韦达定理、向量相等，结合已知条件能证明λ1+λ2为定值．【解析】【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵椭圆C的焦点在x轴上，∴设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）；

∵离心率等于，且过点（1，）；

∴，解得；

∴椭圆C的标准方程为．（4分）

证明：（Ⅱ）设点A，B，M的坐标分别为A（x1，y1），B（x2