2019届浙江专版高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式讲义

第七章不等式

§7.1不等关系与不等式高考数学考点不等关系与不等式的性质1.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔

a=b;a-b<0⇔a<b.另外,若b>0,则有

>1⇔a>b;

=1⇔a=b;

<1⇔a<b.2.不等式的性质性质1:对称性如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.性质2:传递性如果a>b,且b>c,那么a>c.也可等价表示:如果c<b,且b<a,那么c<a.知识清单性质3:加法法则如果a>b,那么a+c>b+c.推论1:移项法则如果a+b>c,那么a>c-b.推论2:同向可加性如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.性质4:乘法法则如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac<bc.推论1:同向可乘性如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.推论2:乘方法则如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,且n≥2).推论3:开方法则如果a>b>0,那么

>

(n∈N*,且n>1).3.在两个不等式中,如果每一个不等式的左边都大于(或小于)右边,那么

这两个不等式就是同向不等式,例如a2+a>a+1,3a2+5>2a是同向不等式.

如果一个不等式的左边大于(或小于)右边,而另一个不等式的左边小于

(或大于)右边,那么这两个不等式就是异向不等式,例如a2+3>2a,a2<a+5

是异向不等式.4.注意不等式性质的单向性或双向性,也就是说每条性质是否具有可逆

性.只有a>b⇒b<a,a>b⇒a+c>b+c是可以逆推的,而其余几条性质不可逆推,在应用性质时要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件.注意:在应用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.例如:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等

号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a≤c就是错误的.(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b⇒

ac2>bc2;若无c≠0这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误的(当c=0时,ac2=bc2).用不等式性质研究不等关系的解题策略1.比较两个数或代数式的大小,一般用以下两种方法:(1)当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法.(2)当两个数(或式子)为正数(或式子的值为正)且为指数幂时,用作商法.2.判断不等关系真假的方法(1)利用不等式性质判断不等关系真假.(2)举反例法判断不等关系真假.例1

(2017浙江杭州质检,6)已知x1>0,x2>0,x1+x2<ex1x2(e为自然对数的底

数),则

()A.x1+x2>1

B.x1+x2<1C.

+

<

D.

+

>

方法技巧方法1A解析由x1+x2<ex1x2和x2>0,得

<ex1-1,又x1>0,∴ex1-1>

>0,∴x2>

,则x1+x2>x1+

=x1+

+

=

+

≥

>1,故选A.一题多解由x1+x2<ex1x2,知

<1,所以x1+x2=(x1+x2)·1>

·(x1+x2)=

>

>1.故选A.用不等式性质研究参变量的取值范围的解题策略在求参变量的取值范围时,一定要注意题设中的条件,在变换过程中要

准确利用不等式的基本性质及其他有关的性质.例2若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整数恰好有2个,则实数a的

取值范围是

.方法2解题导引

利用不等式性质确定a的符号

利用特殊值得关于a的不等式组

解不等式组得结论解析