2025年沪教新版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教新版高一数学下册月考试卷9考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、某学生对函数f（x）=xsinx进行研究；得出如下四个结论：

①函数f（x）在上单调递增；

②存在常数M＞0；使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；

③函数f（x）在（0；π）无最小值，但一定有最大值；

④点（π；0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．

其中正确的是（）

A.③

B.②③

C.②④

D.①②④

2、函数y=x3与函数在x∈（0；1）的函数值的大小为（）

A.

B.

C.

D.不确定。

3、函数y=sin(2x-)与y=cos(2x+)的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A.B.C.D.4、展开式的第6项系数最大，则其常数项为（）A.120B.252C.210D.455、下列函数中，周期为娄脨

且在[娄脨4,娄脨2]

上为减函数的是(

)

A.y=sin(2x+娄脨2)

B.y=cos(2x+娄脨2)

C.y=sin(x+娄脨2)

D.y=cos(x+娄脨2)

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、M是圆（x+3）2+y2=4上一动点，N（3，0），则线段MN中点的轨迹方程是____．7、【题文】若则__________．8、【题文】设是定义在上的奇函数，当时则_________.9、【题文】已知圆C的圆心在轴上，曲线在点处的切线恰与圆C在点处相切，则圆C的方程为____．10、【题文】定义运算:对于函数和函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为则=____．11、若对x＞0，y＞0，有（x+2y）（+）≥m恒成立，则m的最大值为____．12、为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠ABC=105°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)13、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．16、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共1题，共4分)21、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分五、计算题(共1题，共8分)22、x，y，z为正实数，且满足xyz=1，x+=5，y+=29，则z+的值为____．评卷人得分六、综合题(共1题，共10分)23、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】

①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函数，因此f（x）=xsinx在上不可能单调递增；

②取M=1即可说明结论是正确的；

③由②知|f（x）|≤|x|；故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0无限靠近，因此无最小值；

④．故点（π；0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心．

故选B．

【解析】【答案】①化简函数的表达式，判断函数f（x）的奇偶性，即可判定在上单调递增的正误；

②找出一个常数M；使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立即可；

③利用函数的单调性；判断函数f（x）在（0，π）的最值即可；

④找出关于点（π；0）的对称点是否关于（π，0）对称即可判断正误；

2、A【分析】

∵x3÷=

∴x∈（0，1）时，y=＜x；

∵函数与函数y=x3在x∈（0；1）上恒为正。

∴

故选A．

【解析】【答案】利用x∈（0，1）时，y=＜x；即可得到结论．

3、A【分析】【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数y=sin(2x-)关于x=a的对称函数为

利用诱导公式将其化为余弦表达式为

令则．

故选：A．

【分析】根据函数y=sin(2x-)关于x=a的对称函数为利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与y=cos(2x+)一样，求得a的值．4、C【分析】【解答】解：展开式的通项为

所以项的系数是二项式系数C2nr

据展开式中间项的二项式系数最大。

又中间项是第n+1项。

所以n+1=6解得n=5

所以展开式的通项为

令5﹣=0解得r=6

所以常数项为C106=210

故选C

【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项；得到项的系数与二项式系数相同；据展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n；

在通项中，令x的指数为0求出常数项．5、A【分析】解：CD

中函数周期为2娄脨

所以错误。

当x隆脢[娄脨4,娄脨2]

时，2x+娄脨2隆脢[娄脨,3娄脨2]

函数y=sin(2x+娄脨2)

为减函数。

而函数y=cos(2x+娄脨2)

为增函数；

故选A．

先根据周期排除CD

再由x

的范围求出2x+娄脨2

的范围；再由正余弦函数的单调性可判断A

和B

从而得到答案．

本题主要考查三角函数的基本性质--周期性、单调性.

属基础题.

三角函数的基础知识的熟练掌握是解题的关键．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

设线段MN中点P（x；y），则M（2x-3，2y）

∵M在圆上运动。

∴（2x-3+3）2+（2y）2=4，即x2+y2=1

故答案为：x2+y2=1

【解析】【答案】设出线段MN中点的坐标；利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程．

7、略

【分析】【解析】

试题分析：

考点：指数函数的运算法则【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于是定义在上的奇函数，当时则可知f(-x)=-f(x),那么故答案为-4.

考点：函数奇偶性的运用。

点评：利用函数奇函数的对称性，将未知区间的变量转换到已知区间，结合解析式求解得到。【解析】【答案】-49、略

【分析】【解析】

试题分析：即所以曲线在点处的切线的斜率为2，切线方程为2x－y－2=0.设圆心为（a，0），半径为r，则有解得a=6,r=故圆C的方程为

考点：本题主要考查导数的几何意义；圆的标准方程，直线与圆的位置关系。

点评：综合题，把抛物线方程看成函数，利用导数可求得切线方程，进而利用圆的性质求得圆的半径、圆心坐标。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：记于是构造函数则。

当时，

当或时，

所以即为所求.

考点：函数的最值及其几何意义.【解析】【答案】11、8【分析】【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴（x+2y）（+）=2+2++≥4+2=8；当且仅当x=2y时取等号；

∴（x+2y）（+）的最小值为8；

∵对x＞0，y＞0，有（x+2y）（+）≥m恒成立；

∴m≤8；

∴m的最大值为8；

故答案为：8．

【分析】先根据不等式的基本性质求出（x+2y）（+）的最小值为8，再根据不等式恒成立的问题求出m的范围，问题得以解决．12、略

【分析】解：∵在△ABC中；∠ABC=105°，∠BCA=45°；

∴∠CAB=180°-105°-45°=30°．

根据正弦定理，得

即

∴AB==50m．

故答案为：50m

根据三角形内角和定理，算出∠ACB=180°-（∠ABC+∠BCA）=30°，再由正弦定理的式子加以计算；即可得出A；B两点的距离．

本题给出实际应用问题，求河岸两边的A、B两点间的距离．着重考查了三角形内角和定理、正弦定理及其应用等知识，属于基础题．【解析】50m三、证明题(共8题，共16分)13、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．16、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共1题，共4分)21、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．五、计算题(共1题，共8分)22、略

【分析】【分析】由于（x+）（y+）（z+）=（x+y+z）+xyz++（+