第15讲-导数中的隐零点问题(高阶拓展)(教师版)

导数中的隐零点问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2020年新I卷，第21题,12分导数中的隐零点问题不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数求解函数基本问题2掌握函数零点存在性定理及其应用3能设而不求进行隐零点的相关替换求值或范围【命题预测】零点问题是高考的热点问题，隐零点的代换与估计问题是函数零点中常见的问题之一,其源于含指对函数的方程无精确解,这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围，高考中曾多次考查隐零点代换与估计,所以本节我们做一个专门的分析与讨论，方便学生高考综合复习知识讲解在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．解题步骤第1步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,列出零点方程,并结合的单调性得到零点的范围;第2步:以零点为分界点,说明导函数的正负,进而得到的最值表达式;第3步:将零点方程适当变形,整体代入最值式子进行化简:（1）要么消除最值式中的指对项（2）要么消除其中的参数项;从而得到最值式的估计.2.隐零点的同构实际上,很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项,而这类问题由往往具有同构特征,所以下面我们看到的这两个问题,它的隐零点代换则需要同构才能做出,否则,我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.我们看下面两例:一类同构式在隐零点问题中的应用:原理分析所以在解决形如,这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.考点一、隐零点综合问题1．（2020·山东·统考高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.【详解】（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为．（2）［方法一］：通性通法,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时，，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此>1,∴∴恒成立；当时，∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).［方法二］【最优解】：同构由得，即，而，所以．令，则，所以在R上单调递增．由，可知，所以，所以．令，则．所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，则，即．所以a的取值范围为．［方法三］：换元同构由题意知，令，所以，所以．于是．由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．令，所以．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值为．所以．［方法四］：因为定义域为，且，所以，即．令，则，所以在区间内单调递增．因为，所以时，有，即．下面证明当时，恒成立．令，只需证当时，恒成立．因为，所以在区间内单调递增，则．因此要证明时，恒成立，只需证明即可．由，得．上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．当时，因为，显然不满足恒成立．所以a的取值范围为．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．2．证明证明:要证明左边大于右边,只需证明左边的最小值大于右边即可然后求导,单增,,因此存在零点,有一个极小值设的零点为(1),两边同时取自然对数,(2)将(1)、(2)带入,得,证毕3．求的极值解:存在一个零点设的零点为令,即极小值为4．已知函数，若,求的取值范围.解：记,依题意,恒成立,求导得,令,则在上单调递增,又,则,使得,即成立,则当单调递减;当单调递增,,由,得,于是得,当时,令,有在上单调递减,而在上单调递增,即有函数在上单调递减,于是得函数在上单调递减,则当时,,不合题意;当且时,由(1)中知,,有,从而,由吅,因此满足,又在上单调递增,则有,而,所以实数的取值范困是.1．已知函数，当且时,不等式在上恒成立,求的最大值.解：依题分离参数得:,令,则,令.则在上递增,,存在,使.即,当时,;当.2．已知函数对任意的恒成立,其中实数,求的取值范围.解：由已知得由得在上递增,又,而,所以存在,使得得.当时,递减;当时,递增:故得,又因为在上递增,且,,由得.3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，且.(1)求a；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）令且，讨论、研究单调性，求其最小值，结合恒成立，利用导数研究恒成立求参数即可；（2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围.【详解】（1）由恒成立，令且，①当时，（舍）；②当时，，在上，递减，在上，递增，令，，在上，递增，在上，递减，所以，则.（2）由（1）知：，所以，则，令，则，在上，则递减，在上，则递增，，，有两个根，图象如下，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴存在唯一极大值为，又，所以，令，在上，故单调递增.，故，且为极大值，所以，，所以.【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．(1)求实数的值；(2)当时，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值；（2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论.【详解】（1），由题意知，则，即，由，知，即．（2）由（1）得，设，则．设，则在上单调递增，且，所以存在唯一，使得，即．当时，单调递减；当时，单调递增．．设，则，当时，单调递减，所以，所以，故当时，．【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法：（1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案；（2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论；（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.5．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)当时，证明：在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．【答案】(1)单调增区间为(2)证明见解析【分析】（1）首先求出的定义域，由设，，由的单调性，得出，得出，即可得出的单调性；（2）利用导数判断原函数的单调性和零点，并将问题转化为证明等于零即可．【详解】（1），定义域为，，设，，则，令，得，当，，则在上单调递减，当，，则在上单调递增，所以，所以，故的单调增区间为．（2），构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，若，则，且当x趋近于或时，均趋近于，如图所示：

所以在，内均存在一个零点，设为，当或时，；当时，；即当或时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，由于，则，且当x趋近于时，均趋近于，当x趋近于时，均趋近于，所以在，上各有一个零点，设为函数在的零点，要证在和上各有一个零点，且这两个零点互为倒数，只需证明，已知所以，所以当时，在，上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．【能力提升】1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．(1)求；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可；（2）设，求出函数的导函数，即可得到，再由零点存在性定理得到存在唯一，使，即可得到的单调性，再结合特殊值，即可证明.【详解】（1）定义域为，，由，解得，若时，则，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以在处取得极大值，符合题意，因此．（2）设，则，又，因为，，所以存在唯一，使，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减．由得，所以，因此当时，，而，于是当时，．2．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数，是的导函数．(1)当时，求证：存在唯一的，使得；(2)若存在实数a，b，使得恒成立，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出，即可得到的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；（2）分、和三种情况讨论，当时，由（1）可得的最小值为，则，从而得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的最小值，即可得解；【详解】（1）证明：∵，，当时，，∴函数在上的单调递增，又，，∴存在唯一的，使得．（2）解：当时，则当时，，即函数在上单调递增，且当时，，这与矛盾；当，由，得，∴；当，由（1）知当时，；当时，；即在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，其中满足，故且，∵恒成立，∴，即，于是，记，，则，由得，即函数在上单调时递减，由得，即函数在上单调递增，∴，综上得的最小值为，此时．3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上有两个极值点，，且．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意得方程在上有两不等实根，进而结合二次函数零点分布求解即可；（2）根据题意得，进而得，再构造函数，研究单调性得在单调递增，进而.【详解】（1）解：∵，∴，∵函数在上有两个极值点，且∴由题意知方程在上有两不等实根，设，其图像的对称轴为直线，故有，解得所以，实数a的取值范围是.（2）证明：由题意知是方程的较大的根，故，由于，∴，∴．设，，，∴在单调递增，∴，即成立．∴不等式成立,证毕.4．（2023春·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知函数f(x)=-ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.【答案】(1)在上是减函数；在上是增函数（2）见解析【详解】(1)．由x=0是f(x)的极值点得f'(0)=0，所以m=1．于是f(x)=ex－ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f'(0)=0，因此当x∈(－1，0)时，f'(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f'(－1)<0，f'(0)>0，故f'(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时，f'(x)<0;当时，f'(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．由f'(x0)=0得=，，故．综上，当m≤2时，f(x)>0．5．（2023春·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）已知函数，求：(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，总有，求整数的最小值.【答案】(1)(2)-3【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.【详解】（1）当时，在点处的切线方程为即（2）由题意，，即，即，又，恒成立.令，令，则恒成立.在上递减，，使，即，则，当时，，当时，因为，且，，即整数k的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。6．（2022秋·福建莆田·高二莆田一中校考期中）设函数.(1)求函数的单调增区间；(2)当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）【答案】(1)答案见解析(2)存在，的最小值为0【分析】（1）求出函数的导数，就的不同取值可求的解，从而可得函数的单调增区间.（2）利用导数结合虚设零点可求，从而可得整数的最小值.【详解】（1）因为，所以，①当时，由，解得；②当时，由，解得；③当时，由，解得；④当时，由，解得；⑤当时，由，解得，综上所述，当时，的增区间为；当时，的增区间为；时，的增区间为.（2）当时，，所以，而，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，，故在上有且只有一个零点，且且时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，因为，所以，所以，而整数，使得关于x的不等式有解，故，故存在整数满足题意，且的最小值为0.【点睛】思路点睛：利用导数求函数的最值时，如果导数的零点不易求得，则可以虚设零点，利用零点满足的关系式化简最值，从而得到最值的范围或符号.7．（2021·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知函数，.（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）最大值为3.【分析】（1）求，计算方程的，分别讨论和时的单调性，由单调性可得极值点的个数；（2）先求出，再计算，再构造函数，利用的单调性以零点存在定理可判断的单调性，进而可得的最小值，只需，再结合是整数即可求解.【详解】（1）的定义域为；且，因为方程的，①当，即时，恒成立，此时对于恒成立，所以在上单调递增，故极值点个数为；②当，即时，设方程的两根分别为和，则，，所以，，设，则，，由即可得：或，由即可得：所以在和上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2；综上所述，当时，极值点个数为，当时，极值点个数为2.（2）时，，则，令，则，所以在上单调递增，而，，所以存在，使，即，故，当时，，；当时，，；即在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，（1）可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；（2）可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.8．（2021秋·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数在处的切线方程(2)证明：在区间内存在唯一的零点；(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．【答案】(1)y＝－1；(2)见解析；(3)3﹒【分析】(1)根据导数的几何意义即可切线；(2)先利用导数证明在上单调递增，再结合零点存在定理，得证；(3)参变分离得，令，原问题转化为求在上的最小值，结合(2)中结论和隐零点的思维，即可得解．【详解】（1），，，，在处的切线为；（2）证明：，，当时，，在上单调递增，（3），（4），在区间内存在唯一的零点．（3），且，，令，则，，由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，设该零点为，则，故当时，，即，在上单调递减，当，时，，即，在，上单调递增，，，故整数的最大值为3．【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，以及不等式问题，考查转化与划归思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2022春·浙江舟山·高三浙江省普陀中学校考阶段练习）已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；(3)若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)；(3).【分析】（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果；（2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果；（3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到.（1）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2），，当时，；当时，；在上单