第14讲-泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用(高阶拓展)(教师版)

第14讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第7题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较指数幂的大小比较对数式的大小2022年全国甲卷理科，第12题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较三角函数值大小2021年全国乙卷理科，第12题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式，去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解1．泰勒公式：泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法．【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量．2．常见函数的泰勒展开式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常见函数的泰勒展开式：结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．考点一、泰勒展开式的综合应用1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因为，所以，所以因为所以综上所述：故选：C其他方法放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C构造函数法假设成立，即令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）假设成立，即令，则等价证明：，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以函数在单调递增，所以，即：，所以假设不成立，即，综上所述：，故选：C2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法二]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法三]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：由泰勒公式,可知将,分别相应代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法三]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.1．（2023·云南玉溪·统考模拟预测）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两个重要的不等式，说明大小即可【详解】先用导数证明这两个重要的不等式①，当且仅当时取“=”，函数递减，函数递增故时函数取得最小值为0故，当且仅当时取“=”②，当且仅当时取“=”，函数递增，函数递减，故时函数取得最大值为0，故，当且仅当时取“=”故故选：C2．（2023秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，进而利用单调性比较大小即可求解.【详解】因为，，，故构造函数，则，故在上单调递增，故，即，故选：A.3．（2023春·广东肇庆·高三统考期末）若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由，可构造函数，再求导判断单调性，即可求解.【详解】，设，则，当时，则单调递增，当时，则单调递减，，即，故选：B【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测），则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用导数研究函数的单调性可得到，即可判断、的大小关系；构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小．【详解】令，，则，所以当时，即在上单调递增，所以，即，即，即，令，则，在时，，则为减函数，∴，即；令，，则，故在为减函数，∴，即；∴，令，则，即，∴，所以．故选：D．【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，.5．（2023春·湖北·高三统考期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，；再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案.【详解】先比较和的大小：构造，则对恒成立，则在单调递增，此时，当且仅当时取等，所以，则；构造，则对恒成立，则在单调递减，此时，当且仅当时取等，所以，则；构造，则对恒成立，则在单调递减，此时，当且仅当时取等，所以，则；则，；下面比较b和c的大小：设，，，设，，，易知在上单调递增，则，所以在上单调递减，，即在上恒成立，则在上单调递减，由，则，即，则.综上，故选：B【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.【能力提升】一、单选题1．（2023·河南驻马店·统考二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答.【详解】设，则，从而在上单调递增，则，即，设，则，从而在上单调递增，则，即，所以．故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.2．（2023·山东济宁·统考二模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造，对求导，可得的单调性和最值，可知，得出，同理构造，可得，即可得出答案.【详解】令，，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由可知，设，则在区间上是减函数．且．所以函数在区间上是增函数．所以，即．即：．故选：A．3．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出、、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，即，因为，则，所以，，又因为，则，故，故.故选：A.4．（2023·陕西商洛·统考三模）若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，构造函数，利用求导，讨论得知当时，单调递减；当时，单调递增．故，计算可比较大小,从而可得出结论.【详解】令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，可得，当且仅当时，等号成立，从而．因为，所以，故．故选：A.5．（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，，根据导函数得出在上单调递增，即可得出，即，构造，根据导函数得出函数的单调性，进而得出，即.【详解】令，，则.令，则.当时，，所以在上单调递增.又，所以，即，所以.令，则恒成立，所以，在R上单调递增.又，所以，即，所以.综上所述，.故选：A.6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，，根据导函数得出函数在上单调递增，即可得出，所以，根据进而可判断.【详解】令，，则.当时，有，，所以，所以，在上恒成立，所以，在上单调递增，所以，，所以，，即，所以.显然，，所以：.故选：B.7．（2022秋·河南洛阳·高二统考期末）下列结论中正确的个数为（

）①，；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断大小，从而得解；【详解】解：令，，则，所以在上单调递增，所以，即，即，，故①正确；令，，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，所以，故②正确；令，，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当时取等号，故③错误；故选：C8．（2023·云南·校联考三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数并利用其单调性得出，再构造函数并利用其单调性得出；构造函数通过单调性可得到，从而得到结果.【详解】设，，则，即当时，，∴在上单调递增，∴，∴，即，设函数，，则，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，所以，所以；设函数，则，令，，当时，，所以单调递增，而，所以，又在成立，所以在上恒成立，所以，即，所以，综上，.故选：D.【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用函数的单调性判定大小即可.【详解】设，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以（时等号成立），所以，即，即；设，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，综上．故选：D．10．（2023·全国·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据观察，比较大小，可转化为比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小；比较大小，可转化为比较和大小，即比较和的大小，从而构造函数，求导判断函数单调性并利用单调性比较大小.【详解】设，则．当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，故，即，即．设，则．令，则．当时，，函数在上单调递减．又，所以当时，，所以当时，，函数在上单调递增，所以，即，即，所以．综上可知，．故选：D．【点睛】关键点睛：本题中比较a，c的大小是难点，求解时细致观察这两个数的特点，发现0.25这个题眼非常关键，从而函数的构造也就明显了，一次求导不能顺利解决问题时要注意二次求导．11．（2023·四川内江·统考三模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.【详解】因为在上单调递增，于是，即，令，则，所以在上单调递减，所以，即，取，则，所以，即，所以.故选：A12．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过将，变形，构造函数比较，，将泰勒展开，再与进行比较即可.【详解】由已知，，，设，，则，其中，令，则，当时，，∴在上单调递减，，∴当时，，，在上单调递增，∴，即，∴有.对于与，，将泰勒展开，得，，∴.综上所述，，，的大小关系为.故选：C.【点睛】对于数值比较大小，可使用等价变形化同构，再构造函数，利用函数的单调性进行比较.13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数与，根据函数的单调性比较大小.【详解】由题意可得：∵，利用三角函数线可得当时，，∴构造函数∴，，即，令∴在上单调递增，即，∴，∴，∴．故选：A．14．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于都与有关系，如果是的话，对应分别是，和，分别构建，结合导数分析运算可得，方法一：构建，结合导数分析运算可得；方法二：利用常见不等式，，分析可得.【详解】先比较，构建，则，构建，则，构建，则对恒成立，∴在上单调递增，则，可得，则，即，构建，则在上单调递减，且，故在内存在零点，当时，；当时，；且，可得：当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，∵，则，可得，且，故在内恒成立，则在内恒成立，∴在上单调递增，则，即，则，所以；再比较，方法一：构建，求导，∵，则，即，故在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，则，所以；方法二（结论法）：我们知道，，所以恒成立令，可得，所以；综上所述：.故选：D.15．（2023·浙江·统考二模）设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据进行构造函数，利用导数判断单调性，推出a与1的大小关系，同理判断b与1的关系，判断的大小范围时采用分析的方法，结合的特点，构造函数，利用导数判断单调性，即可判断其范围.【详解】设函数,求导得：,∴在上单调递减，所以，A错误；设函数，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，仅当时取等号，即，则时，，即，所以，D错误；由，下面证明，，即证,令，即证：，即，构造函数，即证，由，所以在上单调递减，则，即证，令，，即在上单调递减，故，即成立，故成立，所以，故选：B【点睛】难点点睛：本题比较大小，要明确数的结构特点，确定其中的变量，进而构造相应的函数，利用单调性进行大小比较，难点是本题解答时要选择恰当的变量，连续构造相应的函数，进行解答.二、解答题16．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若当时，求的取值范围．【答案】【分析】方法一：令，所以，，再对分和两种情况讨论判断是否成立即得解.【详解】[方法一]：由题得，令，所以，当时，恒成立，仅当时，在单调递增，所以，所以函数在上单调递增.所以满足题意；当时，得，得，所以在单调递减，在单调递增，又，所以函数在单调递减，又，所以函数在上，与已知矛盾，不合题意，所以舍去.综上所述：.[方法二]：，由指数不等式，当且仅当时，等号成立．得，从而当，即时，，而，于是当时，．由可得从而当时，1），故当时，，而，当时，0，不合题意．综合得的取值范围为．17．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：.【答案】(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）由函数的定义域为，，分类讨论即能求出函数的单调区间．（2）由题知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，进而可得在，上恒成立，可得，由此能够证明．【详解】（1）因为（），所以的定义域为，.若，则，在上为增