2018版高考帮·数学-第15章推理与证明

目录Contents考情精解读考点1考点2考点3A.知识全通关B.题型全突破考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲011.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.5.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.6.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.高考帮·数学第十五章推理与证明考纲解读命题规律考情精解读2命题趋势高考帮·数学第十五章推理与证明考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域合情推理与演绎推理【10%】全国Ⅱ,15,5分·全国Ⅰ,14,5分2016北京,8,5分

2015山东,11,5分

2014北京,8,5分

2014北京,20,13分2016浙江,20,15分2015浙江,20,15分2014山东,4,5分直接证明与间接证明【15%】考纲解读命题规律考情精解读3命题趋势高考帮·数学第十五章推理与证明考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域数学归纳法【5%】2015江苏,23,10分2014江苏,23,10分考纲解读命题规律考情精解读4返回目录1.热点预测合情推理一般以新定义、新规则的形式考查,题型以选择题、填空题为主,分值为5分,而演绎推理以及直接证明和间接证明常以不等式、数列、解析几何、函数等为背景来考查,题型以解答题为主,分值12分.2.趋势分析预测2018年仍将重点考查归纳、类比推理,对直接证明、间接证明的考查会综合到函数、导数、不等式、数列等方面,尤其要注意不等式的放缩和数学归纳法的应用.命题趋势高考帮·数学第十五章推理与证明知识全通关知识全通关1考点1合情推理与演绎推理继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明1.合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体,由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤(1)通过观察个别对象发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类对象之间的相似性或一致性;(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想)知识全通关2高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习2.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理方法,它是由一般到特殊的推理,演绎推理的一般模式是“三段论”,其结构和表示如下:“三段论”的结构①大前提——已知的条件;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊问题作出的判断“三段论”的表示①大前提——M是P;②小前提——S是M;③结论——S是P知识全通关3高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习【注意】(1)在演绎推理中,若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的,所得的结论就是错误的.(2)若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.知识全通关4高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习考点2直接证明与间接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的方法从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果(顺推证法)执果索因框图表示P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等,Q表示所要证明的结论P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显

成立的条件文字语言因为……,所以……,或由……得……,或“⇒”要证(欲证)……,只需证……,即证……1.直接证明知识全通关5高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习综合法与分析法各有优缺点,分析法思考起来比较简单,易找到解题的思路和方法,缺点是叙述烦琐;综合法从条件推结论,步骤简单,但不便于思考.实际应用中,通常将它们结合起来使用,先用分析法探索证明途径,再用综合法叙述出来.【辨析比较】知识全通关6高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习2.间接证明——反证法(1)定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫作反证法.(2)证明步骤①反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;②归谬——把“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;③存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立.知识全通关7高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习【注意】(1)反设命题时常用词语的否定详见《高考帮》P015一些常见词语的否定总结.(2)归谬时,常见的矛盾的情况有与已知条件、定义、公理、定理、性质矛盾,与假设矛盾,与公认的简单事实或显然成立的结论矛盾,自相矛盾等.知识全通关8高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习【名师提醒】应用反证法证题时,必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.知识全通关9高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习考点3数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.返回目录高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破10【注意】(1)数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明.(2)初始值n0不一定是1.(3)证明当n=k+1时命题成立一定会用到归纳假设,即n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,解题时要搞清从n=k到n=k+1,增加了哪些项或减少了哪些项.题型全突破考法1归纳推理继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破1考法指导归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与等式或不等式相关问题.观察所给的几个等式或不等式的两边式子的特点,注意从纵向看,发现隐含的规律.(2)与数列相关问题.先求出几个特殊现象,归纳所得的结论是上述未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围,从而由特殊的结论推广到一般结论.(3)与图形变化相关问题.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破2考法示例1[2015陕西高考]观察下列等式据此规律,第n个等式可为.

思路分析观察等式→寻找规律→得结论高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破3解析观察所给等式的左右可以归纳出

.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破4考法示例2某种平面分形图如图15-1所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,……,依此规律得到n级分形图.(1)n级分形图中共有条线段;

(2)n级分形图中所有线段长度之和为.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破5解析(1)由题图知,一级分形图有3=3×2-3(条)线段,二级分形图有9=3×22-3(条)线段,三级分形图中有21=3×23-3(条)线段,按此规律,n级分形图中的线段条数为an=3×2n-3(n∈N*).(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的的线段,∴n级分形图中第n级的所有线段的长度和为(n∈N*),∴n级分形图中所有线段长度之和为

.思路分析(1)通过观察下一级分形图与上一级分形图之间线段条数的关系,归纳出n级分形图中的线段条数表达式的规律;(2)先求出n级分形图中第n级的所有线段的长度,然后再利用等比数列求和公式可求出n级分形图中所有线段长度之和.考法2类比推理继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破6考法指导1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.从中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;数的运算与向量的运算类比;圆锥曲线间的类比等.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破7考法示例3知命题:若数列{an}为等差数列,且am=a,an=b(m≠n,m,n∈N*),则am+n=现已知等比数列{bn}(b≠0,n∈N*),bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*),若类比上述结论,则可得到bm+n=.

思路分析分析等差数列、等比数列的区别→分析原命题特征→得到新命题高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破8解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am,等差数列中的bn-am可以类比等比数列中的,等差数列中的可以类比等比数列中的,故bm+n=.考法3演绎推理继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破9考法指导数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.高考帮·数学第十五章推理与证明【考法示例4】继续学习题型全突破10如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).【思路分析】通过证明四边形AFDE为平行四边形来证明ED=AF.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破11【解析】同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)所以DF∥EA.(结论)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形.(结论)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以ED=AF.(结论)上面的证明可简略地写成:考法4直接证明继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破12考法指导1.综合法证题的思路(1)分析条件,选择方向.分析题目的已知条件及已知与结论之间的联系,选择相关的定理、公式等,确定恰当的解题方法.(2)转化条件,组织过程.把已知条件转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.(3)适当调整,回顾反思.回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选取.继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破132.分析法证题的思路逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.在解决实际问题时,常把分析法和综合法综合起来运用,通常用分析法探索证明途径,然后用综合法加以证明,对于较复杂的问题,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证..高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破14考法示例5已知x+y+z=1,求证:x2+y2+z2≥1/3.思路分析利用基本不等式进行整理变形,然后利用x+y+z=1得证..高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破15解析∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,∴3(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2≥1/3.

点评利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一,即充分利用已知条件经过推理论证推导出正确结论,是顺推法和由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就需保证前提正确,推理合乎规律,这样才能保证结论的正确.考法5间接证明继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破16考法指导反证法是解决某些“疑难”问题的有力工具,它的适用范围为:(1)否定性命题;(2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语;(3)命题成立非常明显,直接证明所用的理论太少,且不容易证明,而其逆否命题非常容易证明;(4)要讨论的情况很复杂,而反面情况很简单.应用反证法时,当原命题的结论的反面有多种情况时,要对结论的反面的每一种情况都进行讨论,从而达到否定结论的目的.高考帮·数学第十五章推理与证明【考法示例7】继续学习题型全突破17等差数列{an}的前n项和为(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.高考帮·数学第十五章推理与证明继续学习题型全突破18(2)由(1),得bn=，假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则=bpbr,即所以(q2-pr)+(2q-p-r)=0.因为p,q,r∈N*,所以所以所以p=r,这与p≠r矛盾,所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【点评】：对于从正面入手较困难的证明问题，一般优先考虑间接证明，即“正难则反”.本题第（2）问中含有“任意”，要直接证明显然有难度，因此我们考虑用反证法证明。考法6数学归纳法的应用继续学习高考帮·数学第十五章推理与证明题型全突破19考法指导使用数学归纳法时,首先,要熟知数学归纳法证明问题的一般步骤,其次,要注意:(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可;(2)第二步证明的关键是要运用归