课02-第一章复变函数2课件教材课程

一、复变函数的定义1.复变函数的定义:1.4复变函数12.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:24.复变函数与实变量之间的关系:例如,3二、映射的概念1.引入:43.两个特殊的映射:6且是全同图形.78根据复数的乘法公式可知,9(如下页图)10将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.11以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)124.反函数的定义:13根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.14设函数的定义域为，函数的定义域为，值域.若对任一，通过有确定的与之对应，从而通过有确定的值与对应，按照函数的定义，在中确定了是的函数，记作，称其为与的复合函数.5.复合函数的定义:15解三、典型例题例1还是线段.16例1解17例1解仍是扇形域.18例2解19所以象的参数方程为20四、小结与思考复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.21思考题“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？22思考题答案在复变函数中,对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用,没有本质上的区别.只是函数一般是就数的对应而言,而映射与变换一般是就点的对应而言的.放映结束，按Esc退出.23一、指数函数1.指数函数的定义:1.5初等函数2.指数函数的性质:24(2)模与幅角的性质:指数函数的定义等价于关系式:25(3)运算性质:证26例1解2728例2解求出下列复数的辐角主值:293031例3解32二、对数函数1.对数函数的定义2.对数函数的性质(1)多值性质33其余各值为特殊地,(2)回归性质34例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.(3)负数性质35例5解36例6解3738(4)运算性质39三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:4041特殊情况:422.幂函数的定义43例7解答案课堂练习44例8解4546四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.4748例9解49有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式50(注意：这是与实变函数完全不同的)51其他复变数三角函数的定义52例10解53例11解54例12解55562.双曲函数的定义57它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期的周期函数,58例13解59五、反三角函数和反双曲函数1.反三角函数的定义两端取对数得60同样可以定义反正弦函数和反正切函数,重复以上步骤,可以得到它们的表达式:2.反双曲函数的定义61例14解62六、小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数63思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?64思考题答案两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形