高考数学总复习《函数性质的灵活运用》专项测试卷（含答案）

第第④函数或函数．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.3．函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；(2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．【题型1函数的单调性的综合应用】【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在A．f4<f1C．f1<f2【变式1-1】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足f2−x=fx，且当x≥1时，A．12,+∞ B．0,12 【变式1-2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12 C．−1,−12 【变式1-3】（2023·四川绵阳·统考三模）设函数fx为x−1与x2−2ax+a+3中较大的数，若存在x使得fxA．−43,−1C．−∞,1−【题型2函数的最值问题】【例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0<x<6，则6x−x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【变式2-1】（2023·全国·校联考三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,9【变式2-2】（2023上·广东广州·高一校考阶段练习）定义一种运算mina,b=a,a≤bb,a>b，设fx=min4+2x−x2,A．−2或4 B．6 C．4或6 D．−4【变式2-3】（2023·广东惠州·统考一模）若函数fx的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有fx>0,−x∈D，且f−xfx=1A．若0在gx定义域中，则B．若gxmaxC．若gx在0,+∞上单调递增，则gxD．若gx定义域为R，且函数ℎx也是定义域为R的“类奇函数”，则函数【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2023·广东·东莞市校联考一模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ax+1，若f(−2)=5，则不等式f(x)>12的解集为（A．−∞,−1C．−∞,−1【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(3x+1)为奇函数，g(x+2)为偶函数，f(x+1)+g(1−x)=2，f(0)=−12，则k=1102A．−51 B．52 C．4152 【变式3-2】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【变式3-3】（2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【题型4函数的对称性的应用】【例4】（2023·江西赣州·统考二模）已知函数f(x)的图像既关于点(−1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，则f17A．−194 B．−92 C．【变式4-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数A．(−1011,2022) B．1011,2022 C．(−1012,2023) D．1012,2023【变式4-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数fx和gx的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=gx+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有fA．615 B．616 C．1176 D．2058【变式4-3】（2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知函数fx对任意x∈R都有fx+2=−fx，且f−x=−fxA．函数y=fx的图象关于点k,0B．函数y=fx的图象关于直线x=2kC．当x∈2,3时，D．函数y=f【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R,f1=0，且f0①f0=1；②③fx关于点1,0对称；④i=1A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数fx与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，且f(3−x)+g(x)=1，f(x)−g(1−x)=1，则下面判断错误的是(

A．fx的图象关于点(2,1)B．fx与gC．i=1D．i=0【题型6类周期函数】【例6】（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【变式6-1】（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）定义域为R的函数fx满足fx+2=2fx−1，当x∈0,2时，fx=xA．1,2 B．1,52 C．12【变式6-2】（2022·四川内江·校联考二模）定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，若x∈[−4,−2]时，f(x)≥A．−∞,−1∪0,3 C．−1,0∪3,+∞ 【变式6-3】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）设函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，且当x∈0,2时，fx=x2−x．若对任意A．−∞,5C．−∞,9【题型7抽象函数的性质】【例7】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−y=fxA．f0=1 B．函数g2x+1C．g1+g−1=0 【变式7-1】（2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有①f0=0；②f′x必为奇函数；③fxA．1 B．2 C．3 D．4【变式7-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx对任意实数x,y恒有f(x−y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0(1)求f(0)的值;(2)判断fx(3)解关于x的不等式:fx【变式7-3】（2023上·广东东莞·高一校联考期中）已知函数fx对任意实数x,y恒有fx+y=fx+fy，当(1)判断fx(2)判断函数单调性，求fx在区间−3,3(3)若fx<m2−2am+2【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=ax，g(x)=b⋅a−x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52(1)求函数ℎ(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数ℎ(x)的单调性（不需证明），并求不等式ℎ(2x+1)+ℎ(2x−1)≥0的解集．【变式8-1】（2023上·上海·高一校考期中）已知定义在全体实数上的函数fx满足：①fx是偶函数；②fx不是常值函数；③对于任何实数x、y(1)求f1和f(2)证明：对于任何实数x，都有fx+4(3)若fx还满足对0<x<1有fx>0【变式8-2】（2023下·山西运城·高二统考期末）已知fx(1)证明：fx关于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex【变式8-3】（2023下·广东·高一统考期末）已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是φa+x+φa−x(1)求c的值；(2)判断fx在区间0,+(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称，且当x∈0,1时，gx=x2−mx+m．若对任意x1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．12 2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1A．f−12=0 B．f−1=03．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．14．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−13 C．5．（2022·天津·统考高考真题）函数fx=xA． B．C． D．6．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fkA．−21 B．−22 C．−23 D．−247．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+bA．−94 B．−32 C．8．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+1sinA．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称C．f(x)的图象关于直线x=π对称 D．f(x)的图象关于直线x=π9．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（

）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]参考答案【题型1函数的单调性的综合应用】【例1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x=f1−x，且fx在2，+∞上单调递减，则f1，f2与fA．f4<f1C．f1<f2【解题思路】由f3+x=f1−x【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f又因为fx在2，+所以f4<f3故选：A．【变式1-1】（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）定义在R上的函数f（x）满足f2−x=fx，且当x≥1时，A．12,+∞ B．0,12 【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f2−x=f(x)，得f(x)的对称轴方程为x=1，故2−x−1≥x+1故选：D.【变式1-2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12 C．−1,−12 【解题思路】首先分析知，x>1，函数单调递减，则x⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x>1时，fx=当x⩽1时，fx=−x2若fx是−12,+∞故选：A.【变式1-3】（2023·四川绵阳·统考三模）设函数fx为x−1与x2−2ax+a+3中较大的数，若存在x使得fxA．−43,−1C．−∞,1−【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为fx所以fx代表x−1与不妨假设g(x)=|x|−1,ℎ(x)=g(x)的函数图像如下图所示：ℎ(x)=x2−2ax+a+3①当a<−1时，ℎ(x)=x2−2ax+a+3需要ℎ(−1)=(−1)2−2a(−1)+a+3=3a+4≤0则存在x使得fx故a≤−4②当−1≤a≤1时，ℎ(x)=x2−2ax+a+3需要ℎ(x)即a2解得a≥1+132又1+132故−1≤a≤1时无解；③当a>1时，ℎ(x)=x2−2ax+a+3需要ℎ(1)=12−2a+a+3=−a+4≤0则存在x使得fx故a≥4.综上所述，a的取值范围为−∞故选：B.【题型2函数的最值问题】【例2】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0<x<6，则6x−x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y=6x−x2=−因为0<x<6，所以当x=3时，6x−x故选：D.【变式2-1】（2023·全国·校联考三模）已知函数fx=bx−b+3x3在−1,1上的最小值为−3A．−∞,−4 B．9,+∞ C．−4,9【解题思路】由已知可得当−1≤x<1时，可得bx【解答过程】因为f1=−3，函数fx=bx−b+3所以对∀x∈−1,1，f所以bx−b+3x3当x=1时，b∈R当−1≤x<1当x=0或x=当0<x<1时，b≥−3因为x2+x∈0,2，所以1x2所以b≥−9当−1<x<0时，b≤−31+因为x2+x∈−14,0，所以所以b≤9.综上可得，实数b的取值范围是−9故选：D.【变式2-2】（2023上·广东广州·高一校考阶段练习）定义一种运算mina,b=a,a≤bb,a>b，设fx=min4+2x−x2,A．−2或4 B．6 C．4或6 D．−4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x−x2在x∈−3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4【解答过程】y=4+2x−x2=−x−12所以由4+2x−x2=4，解得x=2所以x∈0,2时，y=4+2x−所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2−t=4，此时解得t=−2当t>1时，即x=0时，0−t=4，此时解得t=4故t=−2或4.故选：A.【变式2-3】（2023·广东惠州·统考一模）若函数fx的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有fx>0,−x∈D，且f−xfx=1A．若0在gx定义域中，则B．若gxmaxC．若gx在0,+∞上单调递增，则gxD．若gx定义域为R，且函数ℎx也是定义域为R的“类奇函数”，则函数【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g−x对C，根据g−x对D，根据“类奇函数”的定义，推导Gx【解答过程】对于A，由函数gx是“类奇函数”，所以gxg−x=1，且gx>0对于B，由gxg−x=1，即g−x=1对于C，由gx在0,+∞上单调递增，所以g−x=1gx，在x∈0,+∞上单调递减，设t=−x∈对于D，由gxg−x=1,ℎx故选：C.【题型3函数的奇偶性的综合应用】【例3】（2023·广东·东莞市校联考一模）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ax+1，若f(−2)=5，则不等式f(x)>12的解集为（A．−∞,−1C．−∞,−1【解题思路】根据条件可求得x>0时f(x)的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x<0时f(x)的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−2)=−f(2)=5，则f(2)=−5，则2a+1=−5，所以a=−3，则当x>0时，f(x)=−3x+1，当x<0时，−x>0，则f(x)=−f(−x)=−[−3×(−x)+1]=−3x−1，则当x>0时，不等式f(x)>12为解得0<x<1当x<0时，不等式f(x)>12为解得x<−1故不等式的解集为−∞故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(3x+1)为奇函数，g(x+2)为偶函数，f(x+1)+g(1−x)=2，f(0)=−12，则k=1102A．−51 B．52 C．4152 【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f(x)的图象关于点(1,0)中心对称、g(x)的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g(x)是以4为周期的周期函数．求出g(1)，g(2)，g(3)，g(4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f(3x+1)为奇函数，所以f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)=−f(−x+1)，f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，f(1)=0．因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(−x+2)，g(x)的图象关于直线x=2对称．由f(x+1)+g(1−x)=2，得f(−x+1)+g(1+x)=2，则−f(x+1)+g(1+x)=2，所以g(x+1)+g(1−x)=4,g(x)+g(2−x)=4，所以g(x)的图象关于点(1,2)中心对称．因为g(x)的图象关于x=2轴对称，所以g(x)+g(2+x)=4，g(x+2)+g(x+4)=4，所以g(x+4)=g(x)，即g(x)是以4为周期的周期函数．因为f(1)=0，f(0)=−12，所以g(1)=2，g(2)=52，所以k=1102故选：D．【变式3-2】（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，函数gx是定义在R上的奇函数，且fx，gx在A．ff2>fC．gg2>g【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为fx，gx在0,+∞上单调递减，f所以gx在R上单调递减，fx在对于A，f2>f3对于B，g2>g3对于C，g2>g3，gx在对于D，f2>f3，gx在故选：D.【变式3-3】（2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)−2016，且x>0时，f(x)>2016A．2016 B．2017 C．4032 D．4034【解题思路】先计算得到f(0)=2016，再构造函数g(x)=f(x)−2016，判断g(x)的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x1=x2=0令x1=−x∴f(−x令g(x)=f(x)−2016，则gmax(x)=M−2016，∵g(−x)+g(x)=f(−x)+f(x)−4032=0，∴g(x)是奇函数，∴gmax(x)+∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】【例4】（2023·江西赣州·统考二模）已知函数f(x)的图像既关于点(−1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[−1,0]时，f(x)=x2，则f17A．−194 B．−92 C．【解题思路】用Γ表示函数y=fx的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+【解答过程】用Γ表示函数y=fx的图像，对任意的x令y0=x02又函数f(x)的图像既关于点(−1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈则−4+x0,4+令4+y0=174，即y此时−4+x0=−4+−1故选：B.【变式4-1】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数A．(−1011,2022) B．1011,2022 C．(−1012,2023) D．1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=−1012，计算出f(−1012+x)+f(−1012−x)=4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠−1,x≠−2...定义域的对称中心为(−1012,0)，所以可猜a=−1012，则f(−1012+x)=−1012+xf(−1012−x)==1012+x故f(−1012+x)+f(−1012−x)==2×2023=4046所以y=fx的对称中心为(−1012,2023)故选：C．【变式4-2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）函数fx和gx的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=gx+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有fA．615 B．616 C．1176 D．2058【解题思路】由题意可以推出fx=f6−x，g【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3−3x，即函数fx由函数gx+3+2为奇函数，则整理可得gx+3+g−x+3=−4，即函数gx由fx+gx所以fx−4−gx解得fx所以f7所以f7g故选：B.【变式4-3】（2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 【解题思路】首先根据f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠【解答过程】∵f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(又f3=0所以f−3所以当x∈−∞,−3∪0,3时，f所以由x−1fx+1≥0可得x−1<0,−3≤x+1≤0或解得−4≤x≤−1或1≤x≤2，即不等式x−1fx+1≥0故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】【例5】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据奇函数定义得到g−2x+2=−g2x+2【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g−2x+2=−g所以gx对称中心为2,0又因为gx的图像关于x=1对称，则g所以−gx+2=gx所以gx的周期T=4①g−3②因为g1=1，g−x+2=gx所以g0=g2③因为fx=g3−x因为−gx+2=gx则f4=g−1④因为fx=g3−x+1且所以fx+4=g3−x−4+1=g3−x因为f1=g2+1=1，f2所以f1所以n=12024故选：C.【变式5-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知函数fx对任意x∈R都有fx+2=−fx，且f−x=−fxA．函数y=fx的图象关于点k,0B．函数y=fx的图象关于直线x=2kC．当x∈2,3时，D．函数y=f【解题思路】根据fx+2=−fx得到fx+2=fx−2，所以fx的周期为4，根据f−x=−fx得到fx关于x=−1【解答过程】因为fx+2=−fx，所以f所以fx又f−x=−fx，所以f−x=f又x∈−1,1时，fx=

A选项，函数y=fx的图象关于点1,0B选项，函数y=fx的图象不关于直线x=2C选项，当x∈2,3时，x−2∈0,1，则D选项，由图象可知y=fx又fx+2=−f故选：D.【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R,f1=0，且f0①f0=1；②③fx关于点1,0对称；④i=1A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x,y∈R都有f所以令x=y=0，则f0+f0因为f0≠0，所以对于②，令x=0，则fy+f−y=2f0所以∀x∈R对于③，令x=1，则f1+y+f1−y即f1+x=−f1−x，所以f对于④，因为f1+x=−f1−x因为fx=f−x，所以f所以f4+x=fx在fx+y+fx−yf2+f0=2f1f(3)=f(−1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0+(−1)+0+1=0，所以i=12023故选：D.【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知函数fx与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，且f(3−x)+g(x)=1，f(x)−g(1−x)=1，则下面判断错误的是(

A．fx的图象关于点(2,1)B．fx与gC．i=1D．i=0【解题思路】由f(x+1)为偶函数可得函数关于直线x=1轴对称，结合f(3−x)+g(x)=1和f(x)−g(1−x)=1可得fx的周期为4，继而得到g【解答过程】因为fx+1为偶函数，所以fx+1=f−x+1①，所以因为fx−g1−x又f3−x+gx=1③，②+③得f1−x所以f4+x=2−f2+x又gx=1−f3−x①代入④得f1+x+f3−x=2，故fx的图象关于点2,1由f2+x=2−fx，f2=1可得f故i=12022因为f1与f3值不确定，故选项因为f3−x+gx所以g0+g2故i=02023故选:C.【题型6类周期函数】【例6】（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+1=12fx，且当x∈0,1时，fxA．278 B．298 C．134【解题思路】根据已知计算出fx=12n1−2x−【解答过程】由题意得，当x∈1,2时，故f当x∈2,3时，故f可得在区间n,n+1n∈Z上，所以当n≥4时，fx≤3

当x∈72,4时，由f所以m的最小值为29故选：B.【变式6-1】（2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习）定义域为R的函数fx满足fx+2=2fx−1，当x∈0,2时，fx=xA．1,2 B．1,52 C．12【解题思路】由f（x+2）=2f（x）-1，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2−7t2≤f【解答过程】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，即为f(x)=2x2−10x+11，当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，则f(x)=2f(x−2)−1=2x−2当x∈(0,1)时,当x=12时,f(x)取得最小值,且为−1当x∈[1,2]时,当x=2时,f(x)取得最小值,且为12当x∈(2,3)时,当x=52时,f(x)取得最小值,且为−3当x∈[3,4]时,当x=4时,f(x)取得最小值，且为0.综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−32若x∈(0,4]时,t2则有t2解得12当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,当x∈(2,3)时,f(x)∈[−32当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.由fxmax≤3−t，即为1≤3−t综上，即有实数t的取值范围是12故选：C.【变式6-2】（2022·四川内江·校联考二模）定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2−2x，若x∈[−4,−2]时，f(x)≥A．−∞,−1∪0,3 C．−1,0∪3,+∞ 【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x∈[−4,−2]，所以x+4∈[0,2]，所以f(x+4)=x【解答过程】因为x∈[−4,−2]，所以x+4∈[0,2因为x∈[0,2]时，所以fx+4因为函数fx满足f所以fx+4所以fx=1又因为x∈[−4,−2]，fx故118解不等式可得t≥3或−1≤故选C.【变式6-3】（2023上·浙江台州·高一校联考期中）设函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，且当x∈0,2时，fx=x2−x．若对任意A．−∞,5C．−∞,9【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数fx的定义域为R，满足f且当x∈0,2时，f当x∈(2,4]，时，x−2∈(0,2]，则f(x)=2f(x−2)=2x−2当x∈(4,6]，时，x−4∈(0,2]，则f(x)=4f(x−2)=4x−2−2当x∈(−2,0]，时，x+2∈(0,2]，则f(x)=1作出函数fx对任意x∈−∞,m，都有fx≤3则ft=3，所以−4t−52+4=3结合图象知m的最大值为92，即m的取值范围是−故选：C.【题型7抽象函数的性质】【例7】（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fx−y=fxA．f0=1 B．函数g2x+1C．g1+g−1=0 【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取fx=sin2π3x,gx=cos2π3x可判断B，对于D，通过观察选项可以推断【解答过程】解：对于A，令x=y=0，代入已知等式得f0=f0对于B，取fx=sin2π因为g3=cos2π所以函数g2x+1的图象不关于点1,0对于C，令y=0，x=1，代入已知等式得f1可得f11−g0=−g1f0再令x=0，代入已知等式得f−y将f0=0，g0=1代入上式，得令x=1，y=−1，代入已知等式，得f2因为f−1=−f1又因为f2=−f−2因为f1≠0，所以对于D，分别令y=−1和y=1，代入已知等式，得以下两个等式：fx+1=fx两式相加易得fx+1+fx−1即：fx有：−fx即：fx−1=fx+2因为f1=1，所以f−2=1，所以所以f1所以n=12023故选：D.【变式7-1】（2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有①f0=0；②f′x必为奇函数；③fxA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y=x，得出f2x+f0≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出【解答过程】令x=y=0，则由fx+y+fx−y故f(0)=0或f0当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f′(x)=0，函数当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(−y)=2f(0)f(y)，所以f−y则−f′(−y)=f′综合以上可知f′令y=x，则f2x+f0由于x∈R，令t=2x,t∈R，即ft对于D，若f1=12，令x=1,y=0，则令x=y=1，则f2+f0令x=2,y=1，则f3+f1令x=3,y=1，则f4+f2令x=4,y=1，则f5+f3令x=5,y=1，则f6+f4令x=6,y=1，则f7+f5令x=7,y=1，则f8+f6⋯⋯，由此可得f(n),n∈N∗的值有周期性，且6个为一周期，且故n=12023即正确的是②③④，故选：C.【变式7-2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数fx对任意实数x,y恒有f(x−y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0(1)求f(0)的值;(2)判断fx(3)解关于x的不等式:fx【解题思路】（1）根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；（2）令x=0，得到f(−y)=−f(y)，所以fx（3）化简不等式为fx2−(a+2)x>f(−2a)，结合函数【解答过程】（1）解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x−y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.（2）解：函数fx为R证明:令x=0，则f(−y)+f(y)=f(0)=0，所以f(−y)=−f(y)，故fx任取x1,x2∈因为当x<0时，f(x)>0，所以fx所以fx=fx1−x2>0，即（3）解：根据题意，可得fx由（2）知fx在R上单调递减，所以x即x2−(a+2)x+2a<0，可得当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).【变式7-3】（2023上·广东东莞·高一校联考期中）已知函数fx对任意实数x,y恒有fx+y=fx+fy，当(1)判断fx(2)判断函数单调性，求fx在区间−3,3(3)若fx<m2−2am+2【解题思路】（1）令x=y=0，求得f0=0，再令y=−x，从而得（2）设x1,x2∈R且（3）根据函数fx<m2−2am+2对所有的x∈−1,1，a∈−1,1恒成立，说明f【解答过程】（1）fx令x=y=0，则f0+0=2f0令y=−x，则fx−x所以：f−x=−fx所以函数fx（2）fx在R任取x1,x2fx2−f所以fx在R当x∈−3,3时，f所以当x=−3时，fx有最大值为f因为f3=f2故fx在区间−3,3上的最大值为6（3）由（2）知fx在区间−1,1所以fx因为fx<m2−2am+2即m2−2am>0对任意令ga=−2am+m2，则解得：m>2或m<−2.故m的取值范围为−∞,−2∪【题型8函数性质的综合应用】【例8】（2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=ax，g(x)=b⋅a−x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52(1)求函数ℎ(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数ℎ(x)的单调性（不需证明），并求不等式ℎ(2x+1)+ℎ(2x−1)≥0的解集．【解题思路】（1）由f(1)+g(1)=52、f(1)−g(1)=32代入可解出a、b，得到ℎ(x)，再计算（2）分别判断ℎ(x)中每一部分的单调性可得ℎ(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】（1）由f(1)+g(1)=52，f(1)−g(1)=32，即有即f(x)=2x，g(x)=−2其定义域为R，ℎ(−x)=2故ℎ(x)为奇函数.（2）ℎ(x)=2x−2−x+x，由2xx在R上单调递增，故ℎ(x)在R上单调递增，由ℎ(2x+1)+ℎ(2x−1)≥0，且ℎ(x)为奇函数，即有ℎ(2x+1)≥−ℎ(2x−1)=ℎ1−2x即有2x+1≥1−2x，解得x≥0，故该不等式的解集为xx≥0【变式8-1】（2023上·上海·高一校考期中）已知定义在全体实数上的函数fx满足：①fx是偶函数；②fx不是常值函数；③对于任何实数x、y(1)求f1和f(2)证明：对于任何实数x，都有fx+4(3)若fx还满足对0<x<1有fx>0【解题思路】（1）取x=1，y=0代入计算得到f1=0，取y=0得到（2）取y=1，结合函数为偶函数得到fx+2=−fx（3）根据函数的周期性和奇偶性计算f13+f23+⋯+f123=0，取x=y=【解答过程】（1）f取x=1，y=0得到f1=f1取y=0得到fxfx不是常值函数，故f（2）fx+y取y=1得到fx+1fx是偶函数，故fx+1=−ffx+4（3）fx+2+fx取x=−13，则f5取x=−23，则f4故f7f2=−f0=−1，故f1取x=y=13得到取x=13，y=−1f13>0，ff1【变式8-2】（2023下·山西运城·高二统考期末）已知fx(1)证明：fx关于x=1(2)若fx（i）求a；（ii）不等式fmex【解题思路】（1）代入验证f(x)=f(2−x)即可求解，（2）利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a=2，分离参数，将恒成立问题转化为m>ex【解答过程】（1）证明：因为fx所以f(2−x)=e所以f(x)=f(2−x)，所以f(x)关于x=1对称.（2）（ⅰ）任取x1,f==(∵1<x1<x∴f(x所以f(x)在1,+∞上单调递增，又f(x)关于x=1对称，则在−所以f(x)所以a=2.（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）（ⅱ）不等式f(m(e等价于(m(ex即m>e令F(x)=ex−令ex+2=n,n∈2,+∞，则因为n∈2,+∞,n−4+5n所以gn所以m>52【变式8-3】（2023下·广东·高一统考期末）已知函数y=φx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是φa+x+φa−x(1)求c的值；(2)判断fx在区间0,+(3)已知函数gx的图象关于点1,1对称，且当x∈0,1时，gx=x2−mx+m．若对任意x【解题思路】（1）根据函数的对称性得到关于c的方程，解出即可求出函数的对称中心；（2）利用函数单调性的定义即可判断函数f(x)单增,（3）问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答过程】（1）由于f(x)的图象的对称中心为−1,c，则f(−1+x)+f(−1−x)=2c，即(x−1)−6整理得−2=2c，解得：c=−1，故f(x)的对称中心为(−1,−1)；（2）函数f(x)在(0,+∞设0<x1<x2，则fx1−fx2=x1−（3）由已知，g(x)的值域为f(x)值域的子集，由（2）知f(x)在[1,5]上递增，且f(1)=−2,f5=4，故f(x)的值域为[−2,于是原问题转化为g(x)在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]，当m2≤0即m≤0时，g(x)在[0,注意到g(x)=x2−mx+m可知g(x)在(1,2]上亦单调递增，故g(x)在[0，2]递增，又g(0)=m，g2=2−g(0)=2−m，故A=[m,2−m][m,2−m]⊆[−2，4]，∴m≥−2且2−m≤4，解得−2≤m≤0，当0<m2<1即0<m<2时，g(x)在(0,m2又g(x)过对称中心(1,1)，故g(x)在(1,2−m2)递增，在(2−故此时A=[min{g2，g(m2欲使A⊆[−2，4]，只需g(2)=2−g(0)=2−m≥−2g(m2解不等式得：2−23≤m≤4，又0<m<2，此时当m2≥1即m≥2时，g(x)在[0,1]递减，在(1,由对称性知g(x)在[0,2]上递减，于是A=[2−m,m]，则[2−m,m]⊆[−2，4]，故2−m≥−2m≤4，解得：2≤m≤4综上：实数m的取值范围是[−2,4]．1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．12 【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【解答过程】因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−1则其定义域为x|x>12或f−x故此时fx故选：B.2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1A．f−12=0 B．f−1=0【解题思路】推导出函数fx是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f【解答过程】因为函数fx+2为偶函数，则f2+x=f因为函数f2x+1为奇函数，则f1−2x=−f所以，fx+3=−fx+1故函数fx是以4因为函数Fx=f2x+1故f−1故选：B.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．1【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【解答过程】[方法一]：赋值加性质因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+f−y=