高考数学模拟考试卷（含答案）

第第页高考数学模拟考试卷（含答案）（考试时间：120分钟；满分：150分）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知全集U=R，集合A=xx2−x−2>0，B=A．−1,2 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．−1,0,1,2,32．（5分）（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）若复数z=(2−ai)(i+1)的共轭复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则实数A．(2,+∞) B．(−∞,−2) C．3．（5分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在△ABC中，点D满足BD=2DC，点E满足CE=12CD+A．−15 B．−14 C．4．（5分）（2023·四川南充·统考模拟预测）下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（A．fx=−xC．fx=x5．（5分）（2023·全国·模拟预测）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（

）A．310 B．110 C．256．（5分）（2023·广东·校联考二模）已知F是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与EA．3 B．2 C．3 D．27．（5分）（2023·广西·模拟预测）已知sina+π3=35，A．−210 B．−7210 8．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知a=e2ln3，b=eA．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：“乙分配到B学校”，则（

）A．事件M与N互斥 B．PC．事件M与N相互独立 D．P10．（5分）（2023·云南·怒江校联考一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的体积为163 C．外接球的表面积为81π4 11．（5分）（2023·全国·模拟预测）抛物线C的焦点F0,−1，点M在直线y=1上，直线MA,MB为抛物线C的切线，设Ax1,yA．抛物线C:B．直线AB恒过定点C．xD．当AB=3FB时，直线AB12．（5分）（2023·安徽·校联考模拟预测）若函数f(x)=aex+bA．ac<0 B．bc<0 C．a(b+c)<0 D．c第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（2023·上海闵行·统考一模）已知x−14=a014．（5分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线y=kx是曲线y=alnx的切线，也是曲线y=ex15．（5分）（2023·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n216．（5分）（2023·全国·模拟预测）设点P是圆O:x2+y2=1上的动点，过点P作圆C:x2+四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（2023·河南开封·统考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，且(1)求a；(2)若△ABC的面积为32，求△ABC18．（12分）（2023·四川南充·统考一模）已知数列an是首项为2的等比数列,且a4是6a(1)求an(2)若数列an的公比q>0,设数列bn满足bn=119．（12分）（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,126组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间ξ近似服从正态分布N6.52,1.482(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在6,8，8,10内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在8,10内的人数为变量X，求X的期望．20．（12分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，CA=CB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,BE=2CD.

(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；(2)若CA=AB,BE=3,AB=4，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为277？若存在，请求出21．（12分）（2023·全国·模拟预测）如图，已知F1,F2分别为椭圆C：x2a2+y

(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P坐标为3,1，设不过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，A关于原点的对称点为A'，记直线l，PB，PA'的斜率分别为k，k1，k2，若22．（12分）（2023·广东东莞·东莞市东华高级中学校考一模）设a，b为函数fx=x⋅e(1)若当x<0时，不等式x⋅ex>(2)证明：ea参考答案第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知全集U=R，集合A=xx2−x−2>0，B=A．−1,2 B．−1,0,1,2 C．0,1,2 D．−1,0,1,2,3【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解集合A，然后利用补集和交集运算求解即可.【解答过程】由x2−x−2>0得x−2x+1>0，解得所以A=−∞,−1∪2,+故选：C.2．（5分）（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）若复数z=(2−ai)(i+1)的共轭复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则实数A．(2,+∞) B．(−∞,−2) C．【解题思路】应用复数乘法化简，再由所在象限的复数特征列不等式组求参数范围.【解答过程】由题设，可得z=2+a+(2−a)i，所以z所以a−2<02+a>0故选：C.3．（5分）（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在△ABC中，点D满足BD=2DC，点E满足CE=12CD+A．−15 B．−14 C．【解题思路】用BA、BC作为一组基底表示出BE、AC，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.【解答过程】因为点E满足CE=12CD+所以BE=12所以BD=所以BE=12因为AC=xBE+y即BC−所以13x+y=112x=−1故选：C.4．（5分）（2023·四川南充·统考模拟预测）下列函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是（A．fx=−xC．fx=x【解题思路】A选项，函数不满足单调性；B选项，定义域不关于原点对称，B错误；C选项，满足函数为偶函数且在(0,+∞【解答过程】A选项，fx=−xB选项，fx=xC选项，fx=x的定义域为R，又f且x>0时，fx=xD选项，fx=2x的定义域为R，且fx故选：C.5．（5分）（2023·全国·模拟预测）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为（

）A．310 B．110 C．25【解题思路】由排列与组合的相关计算公式运算即可求解.【解答过程】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有C5再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有C5其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有A4则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率为24240故选：B．6．（5分）（2023·广东·校联考二模）已知F是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为73的直线与EA．3 B．2 C．3 D．2【解题思路】取MF的中点为P，连接MF1，PF1,根据题意得到ON//PF1，求得MF【解答过程】如图所示，双曲线E:x2a2−y2b2=1的右焦点为因为MN=3NF，O为FF1的中点，所以ON//PF又因为tan∠MFF1则MF=3c，MF−M所以E的离心率为2．故选：B.7．（5分）（2023·广西·模拟预测）已知sina+π3=35，A．−210 B．−7210 【解题思路】确定α+π3∈π3【解答过程】α∈0,π2，故α+故α+π3∈sinα+故选：D.8．（5分）（2023·全国·模拟预测）已知a=e2ln3，b=eA．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【解题思路】函数fx=ex−1ln【解答过程】把a，b，c变形得a=e3−1ln3，所以构造函数fx=ex−1ln令gx=lnx−1所以gx在区间1,+∞上单调递增，因为所以f'x>0所以函数fx=e所以fe<f3故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（5分）（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）甲、乙、丙、丁四名教师分配到A，B，C三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件M：“甲分配到A学校”；事件N：“乙分配到B学校”，则（

）A．事件M与N互斥 B．PC．事件M与N相互独立 D．P【解题思路】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答.【解答过程】对于A，甲分配到A学校的事件与乙分配到B学校的事件可以同时发生，即事件M与N不互斥，A错误；对于B，甲分配到A，B，C三个学校是等可能的，则PM对于C，由选项B知，PN=13，因此事件M与N相互不独立，C错误；对于D，由选项BC知，P(M|N)=P(MN)故选：BD.10．（5分）（2023·云南·怒江校联考一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列结论正确的是（

）A．正四棱锥的体积为163 C．外接球的表面积为81π4 【解题思路】根据锥体的体积公式计算可判断选项A；先利用勾股定理计算出侧面的高，再根据侧面积公式计算可判断选项B；先计算出外接球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式计算即可判断选项C、D.【解答过程】如图所示：

对于选项A：因为该棱锥的高EF=4，底面边长为2，所以正四棱锥的体积为13对于选项B：因为侧面三角形的高为42所以正四棱锥的侧面积为12对于选项C：设外接球的球心为O，半径为r，则OE=OA=r，OF=EF−OE=4−r.因为AF=ABsin所以在Rt△AOF中，有(4−r)2+所以该球的表面积为4π对于选项D：因为球半径r=94，所以体积为故选：ACD.11．（5分）（2023·全国·模拟预测）抛物线C的焦点F0,−1，点M在直线y=1上，直线MA,MB为抛物线C的切线，设Ax1,yA．抛物线C:B．直线AB恒过定点C．xD．当AB=3FB时，直线AB【解题思路】根据抛物线的焦点坐标确定抛物线方程即可判断A；利用导数的几何意义求导，确定切线方程从而验证直线AB是否过定点，即可判断B；联立直线与抛物线结合韦达定理确定交点坐标关系即可判断C；根据抛物线的定义结合直角三角形的几何性质求解直线AB的斜率，即可判断D.【解答过程】∵抛物线C的焦点F0,−1，∴抛物线C:设Mx0,1．∵y=−∴直线MA的方程为y−y即为2y=−x1x−2y1又Mx0,1，∴2=−∴直线AB的方程为2=−xx0−2y，∴直线AB联立直线AB与抛物线C方程，可得x2−2x设直线AB的斜率为k，由AB=3FB，得如图，分别作AA1,BB1设BF=m>0，则AF=2m，AA过点B作BH⊥AA1，垂足为

易得AH=m，AB=3m，所以则tan∠HBA=AHBH根据对称性得k还可以是−2故选：BCD．12．（5分）（2023·安徽·校联考模拟预测）若函数f(x)=aex+bA．ac<0 B．bc<0 C．a(b+c)<0 D．c【解题思路】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【解答过程】由题知方程f'ae2x+cex令t=ex，t>0，则方程at2+ct−b=0其中t1=ex1，tbc>0a故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（2023·上海闵行·统考一模）已知x−14=a0+a【解题思路】直接利用二项式定理计算得到答案.【解答过程】x−14展开式的通项为Tr+1=C4故答案为：6.14．（5分）（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线y=kx是曲线y=alnx的切线，也是曲线y=ex的切线，则a=【解题思路】先根据y=kx与y=ex相切，确定k的值，再根据直线与y=aln【解答过程】因为y=kx与y=ey'=ex'因为切线过原点，所以：0−ex1=ex10−x对函数y=alnx，y'=alnx根据y=ex得切点纵坐标为：根据y=alnx得切点纵坐标为：由a=alna−1，又由题可知a≠0⇒故答案为：e215．（5分）（2023·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n2．若a【解题思路】由an与Sn的关系，可求得Sn+Sn−1=n−12(n≥2)，进而求出【解答过程】法一：因为Sn+1+Sn=n2，当n≥2时，S当n=1时，2a1+a2=1，则a2则a2n要使an+1>an对n∈N∗恒成立，则所以a1的取值范围为−法二：Sn+1+Sn=两式相减得an+1+a两式相减得an+2−a要使an+1>an对n∈N则1−2a1>所以a1的取值范围为−故答案为：(−116．（5分）（2023·全国·模拟预测）设点P是圆O:x2+y2=1上的动点，过点P作圆C:x2+y2【解题思路】将四边形PACB的面积表示为S=2PC2−4，当点P是线段CO的延长线与圆O【解答过程】圆C的方程x2+y2−6x−8y+21=0连接PC，则在Rt△PAC中，PA所以四边形PACB的面积S=2S（由切线长定理知PA=PB，故连接CO并延长，当点P是线段CO的延长线与圆O的交点时，PC最大，此时PC=所以四边形PACB面积的最大值为26故答案为：82四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（2023·河南开封·统考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，且(1)求a；(2)若△ABC的面积为32，求△ABC【解题思路】（1）已知条件由正弦定理得a=2sinA，可求（2）由△ABC的面积得bc，余弦定理求b+c，可得△ABC的周长.【解答过程】（1）由正弦定理得b+csinB+sin（2）S△ABC=1由余弦定理a2即3=b+c2−6，则b+c=3△ABC的周长为3+318．（12分）（2023·四川南充·统考一模）已知数列an是首项为2的等比数列,且a4是6a(1)求an(2)若数列an的公比q>0,设数列bn满足bn=1【解题思路】(1)设数列an的公比为qq≠0,根据题意得2a4=6(2)根据题意得an=2【解答过程】（1）设数列an的公比为qq≠0∵a4是6a2和a3的等差中项,∴2a4=6a2∴当q=2时,a当q=−32（2）∵q>0,由(1)知an=∴∴故bn的前2023项和T202319．（12分）（2023·贵州铜仁·校联考模拟预测）某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成0,2，2,4，4,6，6,8，8,10，10,126组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827

(1)求a的值；(2)以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间ξ近似服从正态分布N6.52,1.482(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在6,8，8,10内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在8,10内的人数为变量X，求X的期望．【解题思路】（1）由概率之和为1计算即可得；（2）根据正态分布的性质计算即可得；（3）结合分层抽样的性质与期望计算公式计算即可得.【解答过程】（1）由题意得2×(0.02+0.03+a+0.18+0.06+0.5)=1，解得a=0.16；（2）P(8<ξ≤9.48)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)=1则8000×0.1359=1087.2≈1087，所以估计该地区高三学生数学学习时间在(8，9.48]内的人数约为1087人；（3）[6，8)，[8，所以抽取的8人中学习时间在[6，8)，设从这8人中抽取的3人学习时间在8,10内的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C所以E(X)=0×520．（12分）（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在几何体ABCDE中，CA=CB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,BE=2CD.

(1)求证：平面ADE⊥平面ABE；(2)若CA=AB,BE=3,AB=4，在棱AC上是否存在一点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为277？若存在，请求出【解题思路】（1）取AB的中点O，连接CO，取AE的中点M，连接OM,DM，通过证明DM⊥平面ABE可得平面ADE⊥平面ABE；（2）以O为坐标原点，OB,OC,OM所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AF=λAC，利用向量法求出EF与平面【解答过程】（1）因为CD⊥平面ABC，且BE∥CD，所以BE⊥平面ABC，取AB的中点O，连接CO，则CO⊂平面ABC，所以BE⊥CO，又CA=CB，所以CO⊥AB，取AE的中点M，连接OM,DM，则OM∥BE，且OM=1又BE∥CD,CD=12BE，所以CD∥OM所以四边形OCDM为平行四边形，所以DM∥CO，所以DM⊥BE,DM⊥AB，又AB,BE⊂平面ABE,AB∩BE=B，所以DM⊥平面ABE，因为DM⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABE；（2）由（1）知OC,OB,OM两两垂直，以O为坐标原点，OB,OC,OM所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A−2,0,0所以AC=设平面ACD的一个法向量n=则n⋅CD=0,n⋅AC=0,

设AF=λAC=记EF与平面ACD所成的角为θ，所以sinθ=解得λ=12，故F为AC的中点，即所以在棱AC上存在点F，使得EF与平面ACD所成角的正弦值为277，且21．