山东省潍坊市2022届高三一模统考（3月）数学试题 附解析

潍坊市高考模拟考试数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）．A． B． C． D．2．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（）．A． B． C． D．5．已知，且，则（）．A． B． C． D．6．如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为36，F到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（）．A． B． C． D．7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（）．A．72种 B．84种 C．96种 D．124种8．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（）．A．1 B． C． D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某市共青团委统计了甲、乙两名同学近十期“青年大学习”答题得分情况，整理成如图所示的茎叶图．则下列说法中正确的是（）．A．甲得分的30%分位数是31 B．乙得分的众数是48C．甲得分的中位数小于乙得分的中位数 D．甲得分的极差等于乙得分的极差10．已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（）．A． B．C． D．点坐标为11．已知圆，一条光线从点射出经x轴反射，下列结论正确的是（）．A．圆C关于x轴的对称圆的方程为B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则D．若反射光线与圆C交于M、N两点，则面积的最大值为12．已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（）．A．平面QBCB．设三棱锥和的体积分别为和，则C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍D．二面角的正切值为三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．抛物线的焦点坐标为，则C的准线方程为______．14．已知函数则______．15．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺．16．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是______．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答．问题：记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______．（1）求c的值；（2）设AD是的角平分线，求AD的长．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答积分．19．（12分）根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响．（1）求乙闯关成功的概率；（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．20．（12分）图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形，其中，，N为的中点．将其沿AC，AB折起使得与重合，连结，BN，如图2．（1）证明：在图2中，，且B，C，，四点共面；（2）在图2中，若二面角的大小为，且，求直线AB与平面所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆的焦距为2，点在C上．（1）求C的方程；（2）若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为﹣1，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，令．①证明：当时，；②若数列满足，，证明：．高三数学参考答案及评分标准1．C 2．A 3．B 4．B5．A 6．B 7．C 8．D9．BCD 10．ABC 11．ABD 12．BCD13． 14．715．84 16．17．解：（1）设数列的公比为q，由，，得，解得，所以；（2），所以，，，所以，所以．18．解：选条件①：（1），由余弦定理，整理得，因，解得，．（2）因AD是的角平分线，所以，，，则，由正弦定理，．选条件②；（1）AC边上的高为，由三角形的面积公式，解得，．（2）因AD是的角平分线，所以，，，则，由正弦定理，．选条件③：（1），由题意可知，所以，因为，，由正弦定理，，解得，．（2）因为AD是的角平分线，所以，则，由正弦定理，．19．解：（1）记乙闯关成功为事件A，所以．（2）由题意知随机变量X是所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故X的分布列为X0123P所以．所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大．20．（1）证明：取AC的中点M，连接NM，BM，因为为矩形，所以，又因为ABC为等边三角形，则，，所以平面BMN，又平面BMN，所以．在图2中，，所以，故B，C，，四点共面．（2）由（1）知，，所以为二面角的平面角，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，由得令，则，，则，由得，，设直线AB与平面所成角为α，则．21．解：（1）由题意知，，焦点分别为，．由椭圆定义得：，即，所以椭圆C的方程为；（2）设点，易知，过点P的直线方程为，联立消去y得，因为直线l与C相切，故，得，即，设直线，的斜率分为，，则，得，即点P到坐标原点O的距离，所以点P在以O为圆心的圆上，且点A为圆上一点，故若满足，则AB为圆O的直径，所以存在点满足题意．22．解：（1），当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上可知，当时，在上单调递增，