高考练习：集合及其运算

1.集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号且或色表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*(或N()ZQR

［注意］N为自然数集(即非负整数集)，包含0,而N*和N+的含义是一样的,

表示正整数集，不包含0.

2.集合间的基本关系

、表示

自然语言符号语言Venn图

关系

集合A中所有元素都在集合B中(即若©

子集

(或8叫

或<5^0

集合A是集合B的子集，且集合B中至AB

真子集O

少有一个元素不在集合A中(或8A)

集合相等集合A,B中元素相同A=B

3.集合的基本运算

X集合的并集集合的交集集合的补集

图形

语言Q©

符号

[源={x|x£U且依41

语言

4.集合的运算性质

(1)AAA=A,ACI0=0,AHB=BQA.

(2)AUA=A,AU0=A,AU8=8UA.

(3)4n((u4)=。，AU([M)=U,

常用结论

(1)对于有限集合A,其元素个数为〃，则集合A的子集个数为2〃，真子集个

数为2〃-1,非空真子集个数为2〃一2.

(2)473㈡AA3[中.

(3)[(XAn3)=([uA)U([uB)，[MAUB)=([uA)n(CuB).

清易错,

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1){巾=f+l}={y[y=f+l}={(x,y)|y=f+l}.()

(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()

(3){小Wl}={帕1}.()

(4)对于任意两个集合A,B,(4nB)U(AUB)恒成立.()

(5)若AnB=AGC,则3=C()

答案：⑴X(2)X(3)V(4)V(5)X

二、易错纠偏

常见误区I(1)忽视集合中元素的互异性致误；

(2)忽视空集的情况致误；

(3)忽视区间端点值致误.

1.已知集合4={1,3,赤},8={1,w),若则相=.

解析：因为所以m=3或m即〃2=3或也=()或/n=1,根据

集合元素的互异性可知，机手1,所以m=0或3.

答案:。或3

2.己知集合M={x|x-2=0},/V={x|ar-l=0},若MCN=N,则实数。

的值是.

解析：易得M={2}.因为MGN=M所以NGM,所巾N=0^N=M,所

以〃=0或a=g.

答案:。或3

2

3.己知集合4={斗¥—4尤+3<0},B={x\2<x<4}f贝ljAGB=

AUB=,(CRA)UB=.

解析：由已知得4={月1VxV3},3={x|2VxV4},所以An8={x|2VxV3},

AU3="|1VxV4},（［RA）UB={XIX^1或K>2}.

答案：（2,3）（1,4）（-oo,1］U（2,+8）

考点探究题型突破

考点KI

集合的概念（自主练透）

1.设集合4={0,1,2,3）,B=（x\~x^A,\~x^A}f则集合3中元素的

个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：选A.若则一x^Ai故人只可能是0,—1,—2,—3,当0C4

时，l-0=l£A;

当一时，1一（-1）=2£A;

当一2W8时，1一（一2）=3£A:

当一3£8时，1一（一3）=4由4,

所以8={—3},故集合B中元素的个数为1.

3

2.已知集合4={］以£2,且厂^£Z},则集合A中的元素个数为（）

A.2B.3

C.4D.5

3

解析：选C.因为:;一ez,所以2—x的取值有-3,-1,1,3,又因为x£Z,

2—x

所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合4中的元素个数为4.

3.已知集合人={m+2,2苏+机},若3£A,则m的值为.

3

解析：由题意得m+2=3或2m?+机=3,则m=1或m=一,

当〃7=1时，川+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足

题意：

33

当--

〃=-

2"Z+2=7,而2〃。+〃?=3,符合题意，故2

所以①若B=。,则2加一lv〃z+1,此时m＜2.

2m—11,

加+12-2,解得2WmW3.

(2m—1W5.

由①@可得，符合题意的实数机的取值范围为〃zW3.

【答案】(1)C(2)D(3)(—8,3]

【迁移探究1】(变条件)本例⑶中，若BA,求加的取值范围？

解：因为3A,

①若8=0,成立，此时〃zV2.

2m—12根+1,

m+12—2,且边界点不能同时取得，

(2m~1W5,

解得2这〃zW3.

综合①②，机的取值范围为(-8,3].

【迁移探究2】(变条件)本例⑶中，若AGB,求加的取值范围.

机+1W-2,3,

解：若418,则，、即J、所以机的取值范围为。.

[2/n—125,1加23.

【迁移探究3](变条件)若将本例(3)中的集合A改为4={x|xv—2或心＞5},

试求机的取值范围.

解：因为BGA,

所以①当B=0时，2加-1＜加+1,即机＜2,符合题意.

"2+1W2/〃-1机+1W2tn-1,

②当BW。时，,或<

y?z+1>5'[2/71—K—2,

加22,

〃722,

解得或“1即m>4.

,m>4加<一].

综上可知，实数机的取值范围为(-8,2)U(4,4-oo).

出陶防明

（I）判断两集合关系的3种常用方法

偻学，乐加限中尾爰春豆臬至吝用不亵家通茶:点看正

」辛：较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

特征分：双用又■而正而语坂大事:音看点与「石简：后亚

析法：'等技巧，从元素结构上找差异进行判断

数轴米_；五前二下底讪工蓑£由鬲木■A：应至显氐乏百

:的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

（2）根据两集合的关系求参数的方法

方法一二'秦星A）乐五二二为耳嘀,展加章A届居吴7：亲语/

’,解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性

方于一一：至尽《襄孤状才濠磊声尾：岳板至应面由值许

:‘等式（组）求解，此时需注意墙点值能否取到

［提醒］题目中若有条件B=A,则应分8=。和BW。两种情况进行分类讨论.

1.设集合用=**-x>0},N=\x^<1|,贝U()

A.MNB.NM

C.M=ND.MUN=R

解析：选C.集合M={x|f—x>O}={x|x>l或xvO},N=h七<1]={小>1或

x<0},所以M=N.故答案为C.

2.设M为非空的数集，MQ{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素，

则这样的集合M共有()

A.6个B.5个

C.4个D.3个

解析：选A.由题意知，M={1},(3),(1,2},{1,3),(2,3),{1,2,

3},共6个.

3,若集合4={1,2},B={*d+〃u:+l=O,xeR},且则实数相

的取值范围为.

解析：①若B=0,则/=机2—4V0,

解得一2VmV2,符合题意;

②若1£B,则12+机+1=0,

解得机=-2,此时3={1},符合题意;

③若2£8,则22+2"Z+1=0,

解得"2=—最此时5=’,不合题意.

综上所述，实数相的取值范围为[-2,2).

答案：[-2,2)

考点3

集合的基本运算(多维探究)

角度一集合的运算

681方II(1)(2020・高考全国卷I)已知集合A={x|『一3x—4v0},8={-4,1,

3,5),则AA8=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5)D.{1,3}

(2)(2021•东北三校笫一次联考)已知全集U=R,集合A={4?—2x—3V0},

B=[x：>),贝此()

A.(一8,-1)U(3,+8)B.(一8,-1]U[3,+8)

C.[3,+8)D.(-8,-1]U[1,+oo)

(3)(2020•高考全国卷III)己知集合A={(斯y)|x,y£N*,y^x],B={(x,y)\x

+y=8},则4nB中元素的个数为()

A.2B.3

C.4D.6

【解析】(1)方法一：由/一3x—4v0,得一即集合4={x[—l<r<4},

又集合3={-4,I,3,5},所以4G5={1,3},故选D.

方法二：因为(一4)2—3><(-4)一4>0,所以一4至4,故排除A;又^—3X1

-4<0,所以1W4,则1£(AA3),故排除C;5132-3X3~4<0,所以3WA,

则3W(An6),故排除B.故选D.

方法三：观察集合A与集合8,发现3&4,故3W(AnB),所以排除选项A

和B,又52-3X5-4〉。，所以5M,56(AAB),排除C.故选D.

(2)由已知，得A={X|-1VKV3},B={x\0<x<\]f所以AU3={x[—1<r

<3},所以或x23},故选B.

(3)由题意得，ADB={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},所以AA5中元素

的个数为4,选C.

【答案】(1)D(2)B(3)C

出倒法明

集合运算的常用方法

(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.

(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

角度二利用集合的运算求参数

乘耳(1)(2020・高考全国卷I)设集合4={x*—4W0},B={X|2¥+4<0},

且4n8={x|-2WxWl},则4=()

A.-4B.-2

C.2D.4

(2)(2021•福州市适应性考试)已知集合A={(x,y)|2x+y=0},B={(xfy)\x

+my+l=0}.若AnB=0,则实数加=()

A.-2B.一

C.D.2

【解析】⑴方法一：易知A={x|-2WxW2},3={小〈一刍，因为4nB

={x|—2WxWl},所以一%=1,解得。=—2.故选B.

方法二：由题意得A={R-2WxW2}.若。=-4,则8={x|xW2},又4=

{x|-2WxW2},所以4n8={x|-2WxW2},不满足题意，排除A;若。=一2,

则8={x|x〈l},又A={*-2Wx<2},所以AnB={x|-2WxWl},满足题意；

若a=2,则6={4iW-l},又A="|—2W人W2},所以AG6=3-2W4W-1},

不满足题意，排除C;若〃=4,则B={x|xW-2),又A="|-2〈xW2},所以

AQB={x\x=-2],不满足题意.故选B.

(2)因为AG8=0,所以直线2r+y=0与直线x+〃zy+l=0平行，所以m=；，

故选C.

【答案】(1)B(2)C

阿国防困

利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；

(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,

再列方程(组)求解.

[提醒]在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性).

1.(2021•河北九校第二次联考)已知集合人二住!%2一五一2<0,xez),B={y\y

=2\贝ljAU8=()

A.{1}B.(0,1,2)

C.1,2,4j-D.{0,1,2,4)

解析：选B.A={x|-l<x<2,xeZ}={0,1},B={yfy=2\%£A}={1,

2},所以AUB={0,1,2},故选B.

2.(2021•四省八校第二次质量检测)若全集U=R,集合4=(—8,—1)U(4,

+8),B={X|WW2},则如区阴影部分所表示的集合为()

A.{川一2WxV4}B.{x|xW2或x24}

C.{x|-2Wx〈-l}D.{x|—lWxW2}

解析：选D.[uA={x|-lWxW4},3={x|-2WxW2},则所求阴影部分所

表示的集合为C,则。=([〃)C8={x|—l〈xW2}.

3.(2021•广东省七校联考)设集合4={1,2,4),8={x|F—4x+m=0},若

AQB={i}t则8=()

A.{1,-3)B.{1,0)

C.{1,3}D.{1,5)

解析：选C.由题意可程1一4+根=0,解得m=3,所以3={4?—4工+3

=0}={1,3),故选C.

砥

方法素养•助学培优〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

核心素养系列1数学抽象——集合的新定义问题

以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以

“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分

体现了核心素养中的数学抽象.

崛］若集合A具有以下性质:

(l)OeA,1GA；

(2)若y£A,则工一y£A,且xWO时，^A.

则称集合4是“好集”.

给出下列说法：

①集合3={-1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”③设集合A

是“好集”，若)心4,则其中，正确说法的个数是()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】①集合8不是“好集”，假设集合8是“好集”，因为一

1・从所以一1一1=一2彳8,这与一2G8矛盾.

②有理数集Q是“好集”，因为0£Q,leQ,对任意的x£Q,yWQ,有

X-y£Q,且xW()时，1EQ,所以有理数集Q是“好集”.

③因为集合A是“好集”，则0£4,由性质(2)知，若y£A,则0—)，£4,

知一因此x—(―y)=x+y£A,所以③正确.故正确的说法是②③.故选C.

【答案】C

典倒法嚼

解决集合的新定义问题的两个切入点

(1)正确理解新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而

是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算

等；

(2)合理利用集合性质.运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)

是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现

可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.

拓展练习;

1.如果集合A满足若则一工£4那么就称集合4为“对称集合”.己

知集合A={2x,0,f+x},且A是对称集合，集合8是自然数集，则AAB=

解析：由题意可知一2x=f+x,所以x=0或x=—3.

而当x=0时不符合元素的互异性，所以舍去.

当犬=-3时，4={一6,0,6),所以AG8={0,6}.

答案：{0,6}

2.设4,B是非空集合，定义且居AG8}.己知集合4

={x\0<x<2},8={y|y20},MA®B=.

解析：由已知A=304<2},8={)，|y20},

又因为新定义4@8={%仅三408且送4^8},

结合数轴得A®5={0}U[2,+8).

答案：{0}U[2,+8)

知能提升;分层演练

[A级基础练]

1.(2020•新高考卷I)设集合A={X|1WXW3},3={X|2<EV4}/IJAUB=()

A.{x[2<rW3}B.{x|2Wx<3}

C.*|lWx<4}D.{x\\<x<4}

解析：选C.A={R|1WXW3},B={x\2<x<4}f则AUB={x|lWxV4},选

C.

2.(2020•高考全国卷H)己知集合A={x||x|<3,x£Z},B={x|W>l,x£Z},

则AA3=()

A.0B.{-3,-2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

解析：选D.通解：因为A={x||x|<3,xez}={x|-3<v<3,%ez)={-2,

-1,0,1,2),B={x||x|>l,x£Z}={x|x>l或xv-l,x£Z},所以AAB={—

2,2),故选D.

优解：AC8={x|l<|x|<3,x^Z}={x\-3<x<-\或14<3,xeZ}={-2,

2}・

3.(2020•高考全国卷[I)已知集合U={—2,-1,0,1,2,3),A={-1,

0,1(,B={1,2),则[(XAU5)=()

A.(-2,3)B.(-2,2,3(

C.(-2,-1,0,3)D.(-2,-1,0,2,3)

解析：选A.方法一：由题意，得AU8={-1,0,1,2},所以[（XAU5）

={-2,3},故选A.

方法二：因为2£B,所以2EAU3,所以2或故排除B,D;又0EA,

所以0WAU3,所以故排除C,故选A.

4.（2021•湖北八校第一次联考）己知集合M=同『一5犬一6三0},N=

,尸卷‘e-、则（）

A.MJNB.NJM

C.M=ND.MU（[R/V）

解析：选B.由*-5L6W0得一K6,即历=[-1,6].由尸⑨，x

2—1得0VyW6,即N=（0,6],所以NGM,故选B.

5.（2021•昆明市三诊一楼）己知集合A={x£N"Wl},集合B={xeZ|-

1WXW3},则图中阴影部分表示的集合是（）

A.[1,3]B.（1,3]

C.{-1,2,3）D.{-1,0,2,3）

解析：选C.因为A={REN|fWl}={x£N|-lWxWl}={0,1},B={x^Z\

一1WXW3}={-1,0,1,2,3）.图中阴影部分表示的集合为（1R4）05,[R4

={4xW0且xWl},所以（[RA）n5={-l,2,3},故选C.

6.（2021•广州市阶段训斑）已知集合A={0,1,2,3},{x|x=n2—1,n

£A},P=4G5,则P的子集共有（）

A.2个B.4个

C.6个D.8个

解析：选B.因为B={x|x=〃2-1,〃£A}={-1,0,3,8）,所以尸=AA3

={0,3},所以尸的子集共有22=4个，故选B.

7.（2021•成都市诊断性检测）已知集合4={-1,0,m},B={1,2}.若AUB

={—1,0,1,2},则实数用的值为（）

A.-1或0B.0或1

C.-1或2D.1或2

解析：选D.因为4=(-1,0,m},8={1,2},AUB={-1,0,1,2),

所以/nEAUB,且相不能等于A中的其他元素，所以m=1或m=2.

•江西五校联考)己知集合/"={小2Z：

8.(2021—3%+2・0},N={x\y=y[xa}f

若MAN=M,则实数。的取值范围为()

A.(一8,1]B.(一8,1)

C.(1,+8)D.[1,+8)

解析：选A.由题意，得朋={x\(x-1)(L2)W0}={x|KW2},N={小2},

由MGN=M得，MUN,所以选A.

9.(2021•贵阳市四校联考)已知集合人={(》，y)|x+y=l}，B={x|x—y=l},

则4nB=()

A.{(1,0)}B.{(0,1)}

C.{1,0}D.0

解析：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以

两集合没有公共元素，所以408=3故选D.

10.(2021•武昌区离三调研)己知集合人二住川一上一2V0},8="|。一2VxV

a],若An8={x|—IVxVO},则AU8=()

A.(-1,2)B.(0,2)

C.(-2,1)D.(-2,2)

解析：选D.由/一x-2V0得一1VxV2,即A={x|—1V%V2},因为B=

所以。=所以月-所

{x\a-2<x<a}fAnB=(x|-1<x<0},0,5={2VxV0},

以AU0=(-2,2),故选D.

11.己知集合A={尢*-2^—3WO},B={x|y=ln(2-x)J,则AnB=,

AUB=.

解析：人二民F一2r—3《0}=国(1+1)(%—3)W0}={x|-1WxW3},B={x\y

=In(2-x)}={x\2-x>0}={A|X<2),则AGB=L1，2),AUB=(-8,3].

答案：[-1,2)(一8,3]

12.若集合A=3x+2=0}中只有一个元素，贝1」。=.

9

解析：当。=0时，显然成立；当aWO时，[