2024年陕西省中考数学试题含解析

2024年陕西省初中学业水平考试数学试卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.的倒数是（）A. B. C. D.2.如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A. B. C. D.3.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.4.不等式解集是（）A. B. C. D.5.如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个6.一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A. B. C. D.7.如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（）A.2 B.3 C. D.8.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象的开口向上 B.当时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线第二部分（非选择题共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.分解因式：=_______________．10.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）11.如图，是弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________．12.已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0．13.如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________．三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）14.计算：．15.先化简，再求值：，其中，．16解方程：．17.如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）18.如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．19.一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．20.星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．21.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）22.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的关系式；（2）已知这辆车“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．23.水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：组别用水量组内平均数ABCD根据以上信息，解答下列问：（1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）；（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少?24.如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．（1）求证：；（2）若的半径，，，求的长．25.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索上，，且，，求的长．26.问题提出（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）2024年陕西省初中学业水平考试数学试卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.的倒数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【详解】解：∵，∴的倒数是.故选C2.如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可．【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球，故选：C．3.如图，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．【详解】，，，，，．故选B．4.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查解一元一次不等式．通过去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解．【详解】解：，去括号得：，移项合并得：，解得：，故选：D．5.如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得，，，为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C．6.一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．【详解】解：∵点A与点B关于原点对称，∴，∴，，设正比例函数的解析式为：，把代入，得：，∴；故选A．7.如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由题意得，∴，∴，即，解得，故选：B．8.已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x…035…y…0…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象开口向上 B.当时，y的值随x的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限 D.图象的对称轴是直线【答案】D【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得，解得，∴二次函数的解析式为，∵，∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；故选：D．第二部分（非选择题共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.分解因式：=_______________．【答案】a（a﹣b）．【解析】【详解】解：=a（a﹣b）．故答案为a（a﹣b）．【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．10.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）【答案】0【解析】【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果．【详解】解：由题意，填写如下：，满足题意；故答案为：0．11.如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________．【答案】##90度【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案．【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角，，，，，，，，．故答案为：．12.已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则________0．【答案】##小于【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出，，再根据，得出，最后求出即可．【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，∴，，∵，∴，∴．故答案为：．13.如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________．【答案】60【解析】【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，过点作，，则：，∵，且，∴，∴四边形的面积，∵，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．三、解答题（共13小题，计81分。解答题应写出过程）14.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算．根据算术平方根、零次幂、有理数的乘法运算法则计算即可求解．【详解】解：．15先化简，再求值：，其中，．【答案】，6【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解．【详解】解：；当，时，原式．16.解方程：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：，去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，检验：把代入得：，∴是原方程的解．17.如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角，使得顶点B和顶点C都在直线l上．（作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，尺规作图．过点A作，垂足为，再在直线l上截取点C，使，连接，则是所求作的等腰直角三角形．【详解】解：等腰直角如图所示：18.如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．19.一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．（2）随机摸球2次，用画树状图或列表方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．【答案】（1）0.3（2）【解析】【分析】（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．小问1详解】解：由题意得，摸出黄球的频率是，故答案为：0.3；【小问2详解】解：画树状图得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，∴两次摸出的小球都是红球的概率为．【点睛】本题考查求频率的公式、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．20.星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间．【答案】小峰打扫了．【解析】【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，由题意，得：，解得：，答：小峰打扫了．21.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）【答案】山顶C点处的海拔高度为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解．【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴山顶C点处的海拔高度为．22.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的关系式；（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．【答案】（1）y与x之间的关系式为；（2）该车的剩余电量占“满电量”的．【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得当时，y的值，再计算即可求解．【小问1详解】解：设y与x之间的关系式为，将，代入得，解得，∴y与x之间的关系式为；【小问2详解】解：当时，，，答：该车的剩余电量占“满电量”的．23.水资源问题是全球关注的热点，节约用水已成为全民共识．某校课外兴趣小组想了解居民家庭用水情况，他们从一小区随机抽取了30户家庭，收集了这30户家庭去年7月份的用水量，并对这30个数据进行整理，绘制了如下统计图表：组别用水量组内平均数ABCD根据以上信息，解答下列问：（1）这30个数据的中位数落在________组（填组别）；（2）求这30户家庭去年7月份的总用水量；（3）该小区有1000户家庭，若每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，请估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约多少?【答案】（1）B（2）（3）【解析】【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，求一组数据的平均数，条形统计图，根据统计图信息得出相应的量，是解题的关键．（1）根据中位数的定义进行求解即可；（2）根据组内平均用水量和组内户数求出这30户家庭去年7月份的总用水量即可；（3）用样本估计总体即可．【小问1详解】解：根据条形统计图可知：组有10户，B组有12户，C组有6户，D组有2户，∴将30个数据从小到大进行排序，排在第15和16的两个数据一定落在B组，∴这30个数据的中位数落在B组；【小问2详解】解：这30户家庭去年7月份的总用水量为：；【小问3详解】解：去年每户家庭7月份的用水量约为：，∵每户家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量节约，∴今年每户家庭7月份的节约用水量约为：，∴估计这1000户家庭今年7月份的总用水量比去年7月份的总用水量节约：．24.如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接．（1）求证：；（2）若的半径，，，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明；（2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可．【小问1详解】证明：∵直线l与相切于点A，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∴；【小问2详解】解：∵，∴，，∵直线l与相切于点A，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵是的直径，∴，∴也是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）（1）求缆索所在抛物线的函数表达式；（2）点E在缆索上，，且，，求的长．【答案】（1）；（2）的长为．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．【小问1详解】解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入得，解得，∴缆索所在抛物线的函数表达式为；【小问2详解】解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，∴缆索所在抛物线的函数表达式为，∵，∴把代入得，，解得，，∴或，∵，∴的长为．26.问题提出（1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．【解析】【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；（2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可．【详解】解：（1）连接，∵，∴，∵，∴等边三角形，∵，∴，∴的长为；故答案为：；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下，解：∵，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵要在湿地上修建一个新观测点P，使，∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，∵，∴经过点的直线都平分四边形的面积，∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分，∴直线必经过的中点，∴是的中位线，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，作于点，∵四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，即，∴，在中，，∴．答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．2024年上海市初中学业水平考试数学试卷1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2．作答前，请在答题纸指定位置填写姓名、报名号、座位号．井将核对后的条形码贴在答题纸指定位置．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一、选择题（每题4分，共24分）1.如果，那么下列正确的是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意；C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意；D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意；故选：C．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键．【详解】解：函数的定义域是，解得，故选：D．3.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A．，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B．，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C．，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D．，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．4.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.32.32.83.1方差1.050.781.050.78A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B．5.四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形性质、等面积法、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形性质及菱形的判定是解决问题的关键．由矩形性质得到，，进而由等面积法确定，再由菱形的判定即可得到答案．【详解】解：如图所示：四边形为矩形，，，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为菱形，故选：A．6.在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（）A.内含 B.相交 C.外切 D.相离【答案】B【解析】【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，圆含在圆内，即，在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，，圆与圆相交，故选：B．二、填空题（每题4分，共48分）7.计算：___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：，故答案为：．8.计算______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9.已知，则___________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可．【详解】解：根据题意可知：，∴，解得：，故答案为：1．10.科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的___________倍．（用科学记数法表示）【答案】【解析】【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，故答案为：．11.若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”）【答案】减小【解析】【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小．【详解】解：正比例函数的图象经过点，，解得：，又，的值随的增大而减小．故答案为：减小．12.菱形中，，则___________．【答案】##57度【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵四边形菱形，∴，∴，故答案为：．13.某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为___________万元．【答案】4500【解析】【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可．【详解】解：设，把，代入，得，解得，∴，当时，，即投入80万元时，销售量为4500万元，故答案为：4500．14.一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有___________个绿球．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了已知概率求数量，一元一次不等式的应用，设袋子中绿球有个，则根据概率计算公式得到球的总数为个，则白球的数量为个，再由每种球的个数为正整数，列出不等式求解即可．【详解】解：设袋子中绿球有个，∵摸到绿球的概率是，∴球的总数为个，∴白球的数量为个，∵每种球的个数为正整数，∴，且x为正整数，∴，且x为正整数，∴x的最小值为1，∴绿球的个数的最小值为3，∴袋子中至少有3个绿球，故答案为：3．15.如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则___________（结果用含，的式子表示）．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系．先求出，从而可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，．是上一点，，，，，故答案为：．16.博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有__________人．【答案】【解析】【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比，进而可得答案．【详解】解：∵共回收有效问卷1000张，其中700人没有讲解需求，剩余300人有需求讲解，∴需求讲解的人数占有效问卷的百分比为，由条形统计图可知：需要增强讲解的人数为人，∴需要增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比为，∴在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有（人），故答案为：17.在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________．【答案】或##或【解析】【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．【详解】解：当在之间时，作下图，根据，不妨设，由翻折性质知：，沿直线翻折至所在直线，，。，过作的垂线交于，，，当在的延长线上时，作下图，根据，不妨设，同理知：，过作的垂线交于，，，故答案为：或．18.对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________．【答案】4【解析】【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，，中存在一点，有，解得，则，抛物线“开口大小”为，故答案为：．三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：．20.解方程组：．【答案】，或者，．【解析】【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．【详解】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．21.在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．（1）求k与m的值；（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．【小问1详解】解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；【小问2详解】解：由（1）知：设l与y轴相交于D，∵轴，轴轴，∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．22.同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．（1）求：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．【答案】（1）等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为；（2）画图见解析．【解析】【分析】（）①解直角三角形即可求解；由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积；（）根据题意画出图形即可；本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键．【小问1详解】解：①如图，为等腰直角三角板，，则；如图，为含的直角三角形板，，，，则，；综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；由题意可知，∴四边形是矩形，由图可得，，，∴，故小平行四边形的底为，高为，面积为；【小问2详解】解：如图，即为所作图形．23.如图所示，在矩形中，为边上一点，且．（1）求证：；（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到；（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到．【小问1详解】证明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；【小问2详解】证明：连接交于点，如图所示：在矩形中，，则，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．24.在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．【答案】（1）或；（2）①；②．【解析】【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得答案；（2）①如图，设，则，，结合小于3，可得，结合，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当时，则，过作于，证明，可得，设，则，，，再建立方程求解即可.【小问1详解】解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得：，解得：，∴新抛物线为；【小问2详解】解：①如图，设，则，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，∴轴，∴，∴，由平移的性质可得：，即；如图，当时，则，过作于，∴，∴，∴，设，则，，，∴，解得：（不符合题意舍去）；综上：；【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.25.梯形中，，点E在边上，且．（1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：；（2）已知；①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长．【答案】（1）见详解（2）①；②【解析】【分析】（1）延长交于点G，由，得到，由已知数据得到，，故，因此；（2）①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，先证明，再证明，则，即，求得；②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，由，求得，可证明，角度推导得，则，求出，继而得到，由，则，设，则，由，设，，由，得到，设，可证明，求出，则，在中，运用勾股定理得：，则，在中，由勾股定理得，，故．【小问1详解】证明：延长交于点G，∵，∴，∵，∴，，∴，∴；【小问2详解】①解：记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，∵点O为外接圆圆心，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴外接圆半径为；②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q，∵，∴，∴，由①知，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由，得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴设，∵，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，而，∴在中，由勾股定理得，，∵，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．

2024年上海市初中学业水平考试数学试卷1．本场考试时间100分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．2