高考数学模拟大题规范训练(18)含答案及解析

高三数学大题规范训练（18）15.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.16.如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：（1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（2）当的值为多少时，能使平面？17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表：时间t（min）人数（人）106070302010（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率；（2）估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数；（3）已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差．注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为．18.已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象的对称中心，且，求点的坐标.19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．（1）求的解答式；（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围．

高三数学大题规范训练（18）15.已知等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）设公比为，根据等比数列的通项公式求出、，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；【小问1详解】解：因为为等比数列，且，，设公比为，所以，所以，，所以；【小问2详解】解：因为，所以16.如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：（1）若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；（2）当的值为多少时，能使平面？【答案】（1）（2）1【解答】【分析】（1）根据二面角的定义作图分析确定二面角的平面角，计算二面角的平面角可结合直角三角形中的边角关系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；（2）可先猜测的值，然后证明平面，根据平行六面体法人几何性质结合线面垂直的判定定理证明、或者补形证明、或者利用空间向量的线性运算证明．【小问1详解】连接、设和交于，连接，作，垂足为，作，垂足为，连接．四边形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因为平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中点，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．小问2详解】当时，能使平面．方法一：由前知平面，∴．当时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同的证法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由题设可知三棱锥是正三棱锥，设与相交于．∵，且，∴．又是正三角形的边上的高和中线，∴点是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如图，沿面补一个全等的平行六面体．∴．若平面，则平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，则，即．∴，解得或（舍）．由此可知当时，平面．方法四：如图，若平面，则与成的角．过作交的延长线于，则．四边形为平行四边形．设，，则．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知当时，平面．方法五：记，菱形边长为．∵是菱形，∴．又，∴平面，得，要使平面，还需．由，则，得，即时成立．17.金华轨道交通金义东线金义段已于今年1月开通试运行，全长58.4公里，从金华站到义乌秦塘站一路经过17座车站．万达广场站是目前客流量最大的站点，某小组在万达广场站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了200名乘客，记录了他们从来源地到万达广场站所花费时间t．得到下表：时间t（min）人数（人）106070302010（1）从在万达广场站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t大于或等于18min的概率；（2）估计所有在万达广场站上车乘客花费时间t的中位数；（3）已知的10人，其平均数和方差分别为2，1；的60人，其平均数和方差分别为9，2，计算样本数据中的平均数和方差．注：已知的平均数为a，方差为b，的平均数为c，方差为d，的平均数为e，则的方差为．【答案】（1）0.3；（2）；（3）平均数为8，方差为.【解答】【分析】（1）根据给定r数表，利用古典概率公式计算即得.（2）利用频率分布表估算中位数的方法，求出中位数.（3）利用分层抽样的平均数、方差的求法计算得解..【小问1详解】花费时间t大于或等于18min的乘客人数为60，所以该乘客花费时间t大于或等于18min的概率.【小问2详解】由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为，因此花费时间t的中位数，，解得：，所以估计所有在万达广场站上车的乘客花费时间t的中位数为.【小问3详解】样本数据中的平均数；方差.18.已知函数.（1）化简函数的表达式，并求函数的最小正周期；（2）若点是图象对称中心，且，求点的坐标.【答案】（1），最小正周期为；（2）或.【解答】【分析】（1）利用降幂公式、二倍角公式、辅助角公式化简，代入周期公式计算周期；（2）由对称中心的性质可知，结合求出，即可得到点的坐标．【详解】（1），所以，函数的最小正周期为；（2）由，点是函数图象的对称中心，则，得，，由，解得，得或，当时，，此时，点的坐标为；当时，，此时，点的坐标为.综上所述，点的坐标为或.【小结】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．19.已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为．（1）求的解答式；（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）利用题意首先求得的值，然后求解的值即可求得的解答式；（2）首先求得函数的解答式，然后结合函数在区间上的性质即可求解实数的取值范围.【小问1详解】因为的图象上相邻最高点的距离为，所以