高考数学模拟大题规范训练(13)含答案及解析

高三数学大题规范训练（13）15.记内角的对边分别为，已知.（1）若成等差数列，求面积；（2）若，求.16.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．（1）证明：平面ABC；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．17.乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）18.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.19.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若四点共圆，求点的坐标.

高三数学大题规范训练（13）15.记的内角的对边分别为，已知.（1）若成等差数列，求的面积；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解答】【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解；（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.【小问1详解】因为成等差数列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面积.【小问2详解】因为，所以，又因为且，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.16.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．（1）证明：平面ABC；（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）.【解答】【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证.（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.【小问1详解】取BC的中点M，连结MA、．因为，，所以，，由于AM，平面，且，因此平面，因为平面，所以，又因为，所以，因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.【小问2详解】法一：因为，且，所以．以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为m=x1,y1令，则，设平面的法向量为n=x2,y2令，则，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.法二：将直三棱柱补成长方体．连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，因为平面，且平面，所以，又因为，由于BD，平面，且，所以平面，则为直角三角形，由于平面，所以，因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，因为平面CPQ，所以，则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，在中，由等面积法可得,因为，所以，因此平面与平面夹角的余弦值为.17.乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲获胜的概率，再求和；（2）首先分析得到，再分别求概率，以及数学期望.【小问1详解】设事件为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件，事件为“甲发球，甲败2次”，事件为“乙发球，甲败2次”，事件为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1次”，这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢，，，,；【小问2详解】随机变量的所有可能取值为2,3，，，所以.18.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在上仅有两个零点，求实数取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解答】【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；（2）把原函数有两个零点转化为在0,+∞上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.【小问1详解】当时，R），所以，令，则，f-0+单调递减极小值单调递增所以，所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】函数在0,+∞上仅有两个零点，令，则问题等价于在0,+∞上仅有两个零点，易知，因为x∈0,+∞，所以.①当时，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上单调递增，所以，所以在0,+∞上没有零点，不符合题意；②当时，令，得，所以在上，，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为在0,+∞上有两个零点，所以，所以.因为，令，则，所以在0,2上，ℎ′x<0，在上，所以ℎx在0,2上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在0,+∞上仅有两个零点.综上，实数的取值范围是.【小结】方法小结：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域.（2）计算导数f′（3）求出的根.（4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内f′x的符号，进而确定的单调区间.f′x>0，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；f′x<0如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.19.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.（1）证明：点在定直线上；（2）若面积为，求点的坐标；（3）若四点共圆，求点的坐标.【答案】（1）证明见解答（2）或（3）【解答】【分析】（1）设，利用导数求和的方程，进而可得点的坐标，再联立直线、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解；（2）根据面积关系可得，结合韦达定理分析求解；（3）可知抛物线焦点，分析可得是外接圆的直径，结合垂直关系分析求解.【小问1详解】由，得，设.所以方程为：，整理得：.同理可得，方程为：.联立方程，解得.因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交，设直线的方程为，与抛物线方程联立得：，故，所以，可知.所以点在定直线上..【小问2详解】在的方程中，令，得，所以面积.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以点的坐标为或.【