高考数学模拟大题规范训练(10)含答案及解析

高三数学大题规范训练（10）15.若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.（1）求数列的通项公式;（2）设，记数列前项和为，证明:.16.如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.（1）证明：；（2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，.)（2）（i）从样本质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.18.已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.19.若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数k，b，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数.（1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由；（2）若函数为恒切函数.（i）求实数的取值范围；（ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：.（注：是自然对数的底数.参考数据：）

高三数学大题规范训练（10）15.若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.（1）求数列的通项公式;（2）设，记数列的前项和为，证明:.【答案】（1），（2）证明见解答【解答】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解，（2）利用裂项求和即可求解.小问1详解】由得，，点在函数的图象上，【小问2详解】,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，16.如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.（1）证明：；（2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解答（2）【解答】【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可.【小问1详解】在四棱台中，延长后必交于一点，故四点共面，因为平面，平面，故，连接，因为底面四边形为菱形，故，平面，故平面，因为平面，所以.【小问2详解】过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），设，则，由于，故，则，，则，，，记平面的法向量为，则，即，令，则，即，平面的法向量可取为，则.所以二面角的余弦值为.17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，.)（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）（2）（i）分布列见解答，；（ii）【解答】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i）先求出取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：．即，，所以，因为质量指标值近似服从正态分布，所以，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.【小问2详解】（i），所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：0123所以的数学期望.（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，设每箱产品的利润为元，由题意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，所以，所以，所以.令，由得，，又，，单调递增，，，单调递减，所以当时，取得最大值.所以当时，每箱产品利润最大18.已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.（ⅰ）证明：；（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）（i）证明见解答；（ii）.【解答】【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直；（ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出直线与轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆的方程联立，再用坐标去表示出，最后可由基本不等式得出结果.【小问1详解】设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为7，1，因为与，都内切，所以，，所以，又，，故，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设的方程为：，则，，所以，故的方程为：【小问2详解】（i）证明：设，，，由题意中的性质可得，切线方程为，切线方程为，因为两条切线都经过点，所以，，故直线的方程为：，可得直线的斜率为：而直线的斜率为：，因为，所以;（ii）由直线的方程为：，可改设直线的方程为：，联立，整理得，由韦达定理得，又，所以直线的方程为，令得，，所以直线经过定点，又，再由，可设直线的方程为：，再联立，整理得，设，，则由韦达定理得，因为，所以，所以，当且仅当时，即时取等号.又因为，所以【小结】方法小结：（1）利用两圆相内切的几何关系来推导出椭圆的几何定义，从而求出轨迹方程；（2）利用曲线上某点的切线方程去推导出切点弦方程.19.若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数k，b，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数.（1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由；（2）若函数为恒切函数.（i）求实数的取值范围；（ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：.（注：是自然对数的底数.参考数据：）【答案】（1）是恒切函数，理由见解答（2）（i）；（ii）证明见解答【解答】【分析】（1）对求导，利用恒切函数的定义求出，即可判断；（2）（i）根据恒切函数的定义解方程，用表示，再利用导数即可求解的取值范围；（ii）由的值可得的值，从而可得的解答式，利用新定义，可得，令，求出的取值范围，由，从而可得的取值范围，从而得证.【小问1详解】设函数为恒切函数，则有，使且，即，解得，故函数是恒切函数.【小问2详解】（i）由函数为恒切函数可知，存在，使得且，即解得，，设，，当时，递增；当时，递减.，即实数的取值范围是.（ii）当时，，函数为恒切函数.又，所以存在，使得，即.令，则，当时，递减；当时，递增.所以当时，，，故在上存在唯一，使得，即.又由，得，由得，所以.又，所以当时，有唯一零点，故由得，即..【小结】方法小结：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为