高考数学模拟大题规范训练(8)含答案及解析

高三数学大题规范训练（8）15.已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为（1）求数列的通项公式及数列的前n项和（2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由.16.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上.（1）若BF∥平面CDE，求CF的长；（2）若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值.17.为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）（1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：．0.0500.0100001k3.8416.63510.82818.具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．（1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值；（2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围．19.已知函数，记是的导函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）证明：当时，

高三数学大题规范训练（8）15.已知数列是等差数列，，且，，成等比数列，，数列的前n项和为（1）求数列的通项公式及数列的前n项和（2）是否存在正整数m，n（），使得，，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），（2）存在，，【解答】【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；（2）假设存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，得到方程，得到，求范围，即得结论.【小问1详解】由题意在等差数列an中，设公差为d由，得，则，又，，成等比数列，∴7，，成等比数列，得，即，得，∴，，∴数列an的通项公式为：（）．∴，∴.【小问2详解】若存在正整数m，n（），使得，，成等比数列，则，即，化简得：，解得：又且，所以，，故存在正整数，，使得，，成等比数列.16.如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，，，点F在棱AC上.（1）若BF∥平面CDE，求CF的长；（2）若F是棱AC的中点，求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）记中点为，连接、，依题意可得，根据面面垂直的性质得到平面，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，，依题意可得求出的值，即可得解；（2）依题意点与点重合，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形，，则DM⊥AC，且.因为平面ACD⊥平面ABC，平面平面，平面ACD，所以DM⊥平面ABC，又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面CDE的法向量为，则，令，则，，则，设，，则，因为BF∥平面CDE，所以，解得，所以F为CM的中点，此时.【小问2详解】若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为，设二面角为，显然二面角为锐角，则，所以，所以二面角的正弦值为.17.为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.市防疫部门随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果有检错的可能，已知患流感的人其检测结果有呈阳性（流感），而没有患流感的人其检测结果有呈阴性（未感染）（1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给的数据，判断是否有99％的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检查结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）（2）有（3）【解答】【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；（2）根据题中数据得到列联表，结合卡方运算公式和附表中的值进行判断即可；（3）利用条件概率和全概率公式进行求解即可.【小问1详解】估计流感的感染率；【小问2详解】列联表如下：疫苗情况患有流感不患有流感合计打疫苗220580800不打疫苗80120200合计300700100所以，所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.【小问3详解】设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”，由题意得，，，，，由全概率公式得，所以，于是此人真的患有流感的概率是0.976.18.具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．（1）如图所示，已知“盾圆D”的方程为设“盾圆D”上的任意一点M到的距离为，M到直线的距离为，求证：为定值；（2）由抛物线弧，与椭圆弧所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点的直线与“盾圆E”交于A、B两点，，，且（），试用表示，并求的取值范围．【答案】（1）证明见解答；（2）或，．【解答】【分析】（1）设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，再根据抛物线的方程表达出的解答式证明即可（2）根据圆锥曲线的参数方程将A、B的坐标用三角函数表示，从而使求的范围问题转化为三角函数值域的求法即可【详解】解：（1）证明：设“盾圆D”上的任意一点M的坐标为，则．当时，（），，即；当时，（），．即；∴为定值．（2）显然“盾圆E”由两部分合成，所以按A在抛物线弧或椭圆弧上加以分类．由“盾圆E”的对称性，不妨设A在x轴上方（或x轴上），当时，，此时，．当时，A在椭圆弧上，由题设知代入，得，整理得，解得或（舍去）．当时，A在抛物线弧上，由方程或定义均可得到，于是．综上，或．相应地，．①当时，A在抛物线弧上，B在椭圆弧上，；②当时，A在椭圆弧上，B在抛物线弧上，；③当时，A、B在椭圆弧上，．综上，．19.已知函数，记是的导函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）证明：当时，.【答案】（1）（2）的单调递增区间是和，单调递减区间是和（3）证明见解答【解答】【分析】（1）求出当时的的导函数即可得；（2）先分类讨论求出的导函数，即可得函数的导函数，再借助导数构造相应函数去研究的正负，即可得函数的单调性；（3）原问题可转化为证明：当时，，构造函数，可得的导函数与的关系，即可得其单调性，即可得证.【小问1详解】函数的定义域为，当时，，此时，所以【小问2详解】先求的导数，当时，，当时，，当时，总有，所以，令，则，，所以在，上均单调递减，由（1），又，也即是，所以当时，，于是，所以在上单调递减，当时，，于是，所以在上单调递增，当时，，于是，所以在上单调递增，当时，，于是，所以在上单调递减，故的单调递增区间是和，单调递减区