河北省唐山市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案解析）

唐山市2023-2024学年度高一年级第一学期期末考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项.【详解】因为元素个数为2，故其子集个数为，故选：D.【点睛】本题考查有限集的子集的个数，如果有限集有个元素，则其子集的个数为，本题属于基础题.2.已知函数，则（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据条件，代入即可求出函数.【详解】因为，所以，故选：B.3.设命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全称量词命题否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】为，.故选：D4.已知，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】C【解析】【分析】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果.【详解】因为，又是第三象限角，所以是第三象限角，故选：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别求解“”与“”的充要条件再判断即可.【详解】易得当时,.当时,.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定,属于基础题.6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较大小.【详解】因为在上单调递增，故，因为在R上单调递减，所以，因为在R上单调递增，所以，综上，.故选：D7.若函数，则可以化简为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式求出答案.【详解】，C正确；其他选项不满足要求.故选：C8.若函数，，的零点分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果.【详解】由，得到，由，得到，由，得到，在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示，由图知，故选：B.【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.9.非空集合，，均为的真子集，且，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误.【详解】A选项，因为，所以，A正确；B选项，因为，所以，而，故B错误；C选项，因为，所以，C正确；D选项，，如图所示，所以表示的集合为①，不是空集，D错误.故选：AC10.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】AB可利用不等式的性质得到；CD选项，作差法比较大小.【详解】A选项，因为，所以，故两边同除以得，，A正确；B选项，因为，所以，故两边同除以得，，B错误；C选项，因为，所以，故，同理可得，C错误；D选项，因为，所以，故，故，，故，所以，D正确.故选：AD11.要得到的图象，可以（）A.将曲线上所有的点向右平移个单位长度B.将曲线上所有的点向右平移个单位长度C.将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】BD【解析】【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，即可得出结论．【详解】要得到的图象，可以将曲线上所有的点向右平移个单位长度，故选项A错误，选项B正确，又的图象也可将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，所以选项C错误，选项D正确，故选：BD.12.已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（）A. B.恰有三个零点C.在上单调递增 D.存在最大值和最小值【答案】ABC【解析】【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误.【详解】对于选项A，因为，取，得到，即，所以选项A正确，对于选项C，任取，且，则，且，则，又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增，所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确，对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根，结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确，对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误，故选：ABC.【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.____________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角余弦公式直接化简，结合特殊角的三角函数值可得答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角余弦公式，是基础题14.若是钝角，，则______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数关系和角的范围得到，进而求出答案.【详解】因为，所以，即，因为，所以，因为是钝角，所以，故故答案为：15.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.已知气体在半径为的管道中，流量为，则气体在半径为的管道中，流量为______.【答案】25【解析】【分析】先计算出比例系数，在根据比例系数算出流量.【详解】设比例系数为k，根据题意得：，把代入得.当时，.故答案为：2516.在中，，边上的高等于，则______.【答案】【解析】【分析】设，，根据得到，进而得到，求出，利用正切和角公式求出答案.【详解】为边上的高，由题意得，设，，则，因为，所以，即，又，故，故，故.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，.（1）求集合；（2）若，函数，求函数的定义域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，进而利用交集概念求出答案；（2）得到，根据函数特征得到不等式，结合单调性解不等式，求出定义域【小问1详解】，，故；【小问2详解】因为，所以，由题意得，因为在上单调递减，所以，解得，故定义域为.18.已知函数的最小正周期为，且.（1）求及的值；（2）求函数单调递增区间.【答案】18.，19.【解析】【分析】（1）根据求出最小正周期，进而根据求出；（2）整体法求解函数的单调递增区间.【小问1详解】由题意得，由得，故，即因为，所以；【小问2详解】，令，，解得，，故的单调递增区间为.19.已知定义在上的函数为偶函数.当时，.（1）求；（2）求函数的解析式；（3）若，求函数的值域.【答案】19.20.21.【解析】【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域.【小问1详解】，因为为上的偶函数，所以；小问2详解】当时，，故，又为上的偶函数，故，所以，所以；【小问3详解】当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，故，由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，则，综上，的值域为20.已知函数.（1）若，求不等式解集；（2）若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；（2），由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到，求出最小值.【小问1详解】时，，解得或，原不等式的解集为或；【小问2详解】令，由得，故，故，当时，取得最小值，最小值为.21.已知函数.（1）若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减；（2）由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是.据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）化简得到，定义法证明函数单调性的步骤，取点，作差，判号，下结论；（2）得到，计算出，得到答案.【小问1详解】时，，任取，则，因为在上单调递增，所以，又，所以，故，所以在上单调递减；【小问2详解】时，，，故函数的图象关于点中心对称.22.如图，已知直线，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，.设.（1）用表示边，的长度；（2）若为等腰三角形，求的面积；（3）设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）（3）不存在使得【解析】【分析】（1）根据三角函数得到，的长度；（2）在（1）的基础上，得到方程，得到，结合同角三角函数关系求出，求出三角形面积；（3）得到，由基本不等式和三