高中数学-圆锥曲线知识点小结

助飞教育PAGEPAGE9圆锥曲线知识点梳理学习目标：1掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，会求它们的标准方程。梳理总结椭圆，双曲线，抛物线的基础知识，形成知识网络。体会待定系数方法在求标准方程时的作用。一、椭圆：（1）椭圆的定义：其中：两个定点叫做椭圆的，焦点间的距离叫做。注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形xxOF1F2PyA2A1B1B2A1A1xOF1F2PyA2B2B1顶点对称轴焦点焦距离心率常用结论：椭圆的两个焦点为，过的直线交椭圆于两点，则的周长=1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的标准方程是（）（A）＋＝1（B）＋＝1（C）＋＝1（D）＋＝12．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A）（B）（C）（D）二、双曲线：（1）双曲线的定义：其中：两个定点叫做双曲线的，焦点间的距离叫做。注意：与（）表示双曲线的。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图形xxOF1F2PyA2A1yxyxOF1PB2B1F2顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线通径（3）双曲线的渐近线：①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（4）常用结论：双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长=1..平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（）。（A）－＝1(x≤－4)（B）－＝1(x≤－3)（C）－＝1(x>≥4)（D）－＝1(x≥3)2.双曲线－＝1的渐近线方程是()（A）±＝0（B）±＝0（C）±＝0（D）±＝0三、抛物线：（1）抛物线的定义：其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图形xxOFPyOOFPyxOOFPyxOOFPyx顶点对称轴焦点离心率准线通径焦半径焦点弦焦准距1.抛物线y2=8x的准线方程是（）。（A）x=－2（B）x=2（C）x=－4（D）y=－22.AB是过抛物线y2＝4x焦点F的弦，已知A，B两点的横坐标分别是x1和x2，且x1＋x2＝6则|AB|等于（）（A）10（B）8（C）7（D）63.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）（A）y2＝4x（B）x2＝y(C)y2＝4x或x2＝y(D)y2＝4x或x2＝4y四、弦长公式：其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出，；（3）代入弦长公式计算。法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程则相应的弦长公式是：注意（1）上面用到了关系式和注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程设，，由韦达定理求出；（3）设中点，由中点坐标公式得；再把代入直线方程求出。法（二）：用点差法，设，，中点，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1，而双曲线离心率取值范围是e﹥1)例1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．解设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得，即，．因为点P在圆上，所以．即，即，这就是动点M的轨迹方程．例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义可知：又所以所求的标准方程为解法2，所以可设所求的方程为，将点代人解得：所以所求的标准方程为例3.例4.习题：3.已知椭圆x2＋2y2＝m，则下列与m无关的是（）（A）焦点坐标（B）准线方程（C）焦距（D）离心率4.椭圆mx2＋y2＝1的离心率是，则它的长半轴的长是（）（A）1（B）1或2（C）2（D）或15椭圆的中心为O，左焦点为F1，P是椭圆上一点，已知△PF1O为正三角形，则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是（）（A）－1（B）3－（C）（D）16.若椭圆=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是。7．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。8.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x－y－4=0被此椭圆所截得的弦长为，求此椭圆的方程。9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。（A）+=1（B）+=1或+=1（C）+=1（D）+=1或+=110．椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是（）。（A）(±3,0)（B）(±,0)（C）(±,0)（D）(0,±)11.曲线＋=1与曲线＋=1(k<9)，具有的等量关系是（）。（A）有相等的长、短轴（B）有相等的焦距（C）有相等的离心率（D）一相同的准线12.椭圆4x2＋16y2=1的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标是，13.已知两点A(－3,0)与B(3,0)，若|PA|＋|PB|=10,那么P点的轨迹方程是。14.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为，焦距为2，则椭圆的方程为。15.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆共焦点，并经过点P(3,－2)，则椭圆的方程为。16.在椭圆＋=1内有一点M(4,－1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB所在的直线的方程。17.椭圆＋=1的离心率e=,则k的值是。1820.双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（）（A）(,0),(－,0)（B）(,0),(－,0)（C）（－,0）,（,0）（D）(－,0),(,0)21.设双曲线(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，已知原点到直线l的距离是c，则双曲线的离心率是（）（A）2（B）（C）（D）22.双曲线－＝1的离心率是。23,已知方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是。24.双曲线4x2－=1的渐近线方程是（）。（A）y=±x（B）y=±x（C）y=±x（D）y=±6x25.若双曲线与椭圆x2＋4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x＋y=0，则此双曲线的标准方程只能是（）。（A）－=1（B）－=1（C）－=±1（D）－=±126．和椭圆＋=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（）。（A）－=1（B）－=1（C）－=1（D）－=127.双曲线的两准线间的距离是它的焦距的，则它的离心率为。28.双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e=。29.中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1,3)的等轴双曲线的方程是。30.渐近线是±=0，且经过P(6,8)的双曲线方程是。31.和椭圆＋=1有公共的焦点，离心率e=的双曲线方程是。32.59.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。33.过双曲线－=1的左焦点F1，作倾斜角为α＝的直线与双曲线交于两点A、B，求|AB|的长。34.37.顶点在原点，焦点是F(6,0)的抛物线的方程是。38.抛物线x2＝4y的焦点为F，A是抛物线上一点，已知|AF|＝4＋2，则AF所在直线方程是。39,抛物线y=－的准线方程是（）。（A）y=（B）y=2（C）y=（D）y=440.已知点(－2,3)与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离是5，则抛物线的方程是。41.抛物线x2=4y上有一点Q到焦点的距离为3，那么Q点的纵坐标是（）。（A）－2（B）