2019届江苏专用高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件讲义文苏教

§1.2

命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.四种命题及相互关系知识梳理若q则p若非p则非q若非q则非p2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有

的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的

条件，同时q是p的

条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的

条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的

条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的

条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.相同充分必要充分不必要充要必要不充分知识拓展从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A

B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A

B，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(

)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(

)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.(

)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(

)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(

)××√√√√考点自测1.下列命题为真命题的是_____.(填序号)①答案2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________.根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.答案解析若x≤y，则x2≤y23.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的

逆命题；③命题“若a>b>0，则>0”的逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆

命题.其中真命题的序号为________.答案解析①②③①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a>b>0，则>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的_________________条件.若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分又不必要条件.答案解析既不充分又不必要5.(教材改编)下列命题：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分条件；②“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要条件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件.其中为真命题的是______.(填序号)答案②④题型分类深度剖析题型一命题及其关系例1

(2016·徐州一模)有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题.其中真命题为_______.(填序号)答案解析①②③①的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；④中原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.思维升华跟踪训练1(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________________.答案若x≤0，则x2≤0(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是____________________________.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.答案解析若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3题型二充分必要条件的判定例2

(1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.答案解析必要不充分(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos

α<cos

β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为_____.答案解析③因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos

α<cos

β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.思维升华答案解析跟踪训练2(1)(2016·江苏扬州中学调研)函数f(x)＝

＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的_______条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)则f(－x)＋f(x)＝0，充要(2)(2017·镇江质检)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，q：a>0或a<－1，则p是q的___________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)关于x的不等式x2＋2ax－a≤0有解，则4a2＋4a≥0⇒a≤－1或a≥0，从而q⇒p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件.答案解析必要不充分题型三充分必要条件的应用例3已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3].∴P＝{x|－2≤x≤10}，解答引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.解答2.本例条件不变，若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且S⇏P.∴[－2，10]

[1－m，1＋m].∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).解答充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.思维升华跟踪训练3(1)(2016·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.(1)若a＝3，求A∪B；解不等式x2＋2x－3<0，得－3<x<1，故A＝(－3，1).当a＝3时，由|x＋3|<1，得－4<x<－2，故B＝(－4，－2)，所以A∪B＝(－4，1).解答(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集.又集合A＝(－3，1)，B＝(－a－1，－a＋1)，即实数a的取值范围是0≤a≤2.解答解得0≤a≤2，典例(1)已知p，q是两个命题，那么“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的___________条件.(2)已知条件p：x2＋2x－3>0；条件q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是__________.

等价转化思想在充要条件中的应用思想与方法系列1答案解析思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.充分不必要[1，＋∞)(1)因为“p∧q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.(2)由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.所以{x|x>a}

{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.课时作业1234567891011121314151.命题“若α＝

，则tanα＝1”的否命题是___________________.答案2.(教材改编)命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为____________________.∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”.答案解析若a≤b，则2a≤2b－11234567891011121314153.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p_____命题.(填“逆”“否”“逆否”)命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.答案解析否1234567891011121314154.(2015·重庆改编)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的___________条件.由x＞1⇒x＋2＞3⇒

(x＋2)＜0，

(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”的充分不必要条件.答案解析充分不必要1234567891011121314155.(2016·山东改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的___________条件.若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交.答案解析充分不必要1234567891011121314156.已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是__________.A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A

B，∴m＋1>3，即m>2.答案解析(2，＋∞)1234567891011121314157.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的______条件.由Venn图易知充分性成立.反之，A∩B＝∅时，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁UC.故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件.答案解析充要123456789101112131415①123456789101112131415答案解析因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点.由数形结合，可得a≤0或a>1.观察所给条件，根据集合间关系得{a|a<0}

{a|a≤0或a>1}.9.(2016·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的_____条件.所以f(x)是R上的增函数，所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.答案解析充要12345678910111213141510.有三个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题.其中真命题的序号为_____.答案解析①123456789101112131415命题①为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；因为命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x－6≤0”，因为x2＋x－6≤0⇔－3≤x≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.12345678910111213141511.给定两个命题p、q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案解析充分不必要123456789101112131415∵綈p是q的必要不充分条件，∴q⇒綈p但綈p⇏q，其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇏p，∴p是綈q的充分不必要条件.12.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______.由已知易得{x|x2－2x－3>0}

{x|x<m－1或x>m＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，答案解析[0，2]12345678910111213141513.若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.若数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<.故所求λ的取值范围是[，＋∞).答案解析123456789101112131415*14.(2016·江苏扬州期中联考)以下四个命题中，真命题的个数是______.①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg

a＋lg

b；③“所有奇数