2019届泰安专版中考数学第一部分基础知识过关第一章数与式第4讲二次根式讲义

第4讲二次根式泰安考情分析基础知识过关泰安考点聚焦总纲目录随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一二次根式知识点二二次根式的性质知识点三二次根式的化简和运算知识点一

二次根式1.二次根式:形如①

(a≥0)的式子叫做二次根式.2.二次根式有意义的条件:被开方数大于等于0.3.最简二次根式:最简二次根式要同时满足下列两个条件:(1)被开方数中不含②

分母

;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,如果③

被开方数

相同,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.温馨提示

判断二次根式是不是最简二次根式时要注意:(1)当二次根式中被开方数为分数或小数时,此二次根式不是最简二次根

式;(2)当二次根式的被开方数中因式的指数大于或等于2时,此二

次根式不是最简二次根式.知识点二

二次根式的性质1.双重非负性:在 中,a≥0且 ≥0.2.( )2=a(a≥0).3. =|a|=

4. = · (a≥0,b≥0).5. = (a≥0,b>0).温馨提示

(1) = · 与 = 中,字母的取值范围不同,前者a,b是非负数,后者a是非负数,b是正数.(2)在化简二次根式 时,易忽略a<0的情况,导致失分;根据二次根式的性质, 中的a的取值范围是全体实数.知识点三

二次根式的化简和运算1.分母有理化:把分母中含有的二次根式化简掉叫做④

分母有理化

.(1)运用分数的基本性质对二次根式进行分母有理化处理:

=

=

;(2)运用平方差公式对二次根式进行分母有理化处理:

=

=

.2.二次根式的加减:先将二次根式化为⑤

最简二次根式

,然后将⑥

同类二次根式

分别进行合并.3.二次根式的乘除二次根式的乘法法则: · = (a≥0,b≥0).二次根式的除法法则: ÷ = = (a≥0,b>0).二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式.4.二次根式的混合运算:二次根式的混合运算顺序与实数的混合

运算顺序相同,先算⑦

乘方、开方

,再算⑧

乘除

,最后算⑨

加减

,如果有括号,先算括号里的.实数中的运算律、运算法则、乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.泰安考点聚焦考点一二次根式有意义的条件考点二二次根式的非负性考点三二次根式的混合运算考点一

二次根式有意义的条件中考解题指导二次根式 有意义的条件是被开方数a≥0,因此,要求a的取值范围,只需解不等式即可.特殊地,当二次根式 在分母上,即形如 时,a>0.例1

(2018聊城)下列计算正确的是 (B)A.3 -2 = 

B. · = C.( - )÷ =2 

D.  -3 = 解析

A.不是同类二次根式,不能直接相减,错误;B.正确;C.括号里的不能合并,错误;D.结果为-

,故选B.变式1-1若代数式 有意义,则实数x的取值范围是(B)A.x≥-1

B.x≥-1且x≠3C.x>-1

D.x>-1且x≠3解析由题意得 解得x≥-1且x≠3.变式1-2

(2017潍坊)若代数式 有意义,则实数x的取值范围是 (B)A.x≥1

B.x≥2

C.x>1

D.x>2解析根据题意得 解得x≥2.考点二

二次根式的非负性中考解题指导初中数学涉及三种非负数:一个数的绝对值是非

负数,即|a|≥0;一个数的偶数次幂是非负数,即a2n≥0(n是正整数);一个非负数的算术平方根是非负数,即 ≥0(a≥0).当几个非负数的和为0时,这几个非负数均为0.例2实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,化简|a|+

的结果是 (A)

A.-2a+b

B.2a-b

C.-b

D.b解析由题图可知a<0<b,所以a–b<0,所以|a|+ =|a|+|a-b|=-a-(a-b)=-2a+b,故选A.变式2-1当1<a<2时,代数式 +|1-a|的值是 (B)A.-1

B.1

C.2a-3

D.3-2a解析当1<a<2时,a-2<0,1-a<0,∴原式=|a-2|+|1-a|=2-a+a-1=1,故选B.变式2-2已知x,y为实数,且y= - +4,则x–y=

-1或-7

.解析根据二次根式有意义的条件可知x2-9≥0且9-x2≥0,解得x=±3,所以y=4.故x-y=-1或-7.方法技巧

化简 时,先将它转化为|a|,然后根据绝对值的性质进行化简.考点三

二次根式的混合运算例3化简: ×( - )- -| -3|=

-6

.

解析原式= -3-2 -(3- )=-6.变式3-1

 ×( + )=

12

.解析原式= ×( +3 )= ×4 =12.变式3-2化简: ÷ -( + )( - ).解析

原式=(4

-2

)÷

-(5-3)=2

÷

-2=2-2=0.方法技巧

二次根式的混合运算要注意运算顺序,也可应用整

式的运算律使运算简便.一、选择题1.(2017泰安三模)与- 是同类二次根式的是 (C)A. 

B. 

C. 

D. 随堂巩固训练2.(2017新泰模拟)下列计算正确的是 (A)A. =2 

B.