2019届浙江专版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质讲义

§10.2双曲线及其性质高考数学考点一双曲线的定义和标准方程1.双曲线的基本知识知识清单2.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线⇔离心率e=

⇔两条渐近线互相垂直(位置关系).3.双曲线

-

=1(a>0,b>0)的共轭双曲线的方程为

-

=1,它们有共同的渐近线y=±

x,它们的离心率e1、e2满足的关系式为

+

=1.考点二双曲线的几何性质1.双基表标准方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)

范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)对称性关于x轴、y轴对称,关于原点对称实、虚轴长实轴长为①2a

,虚轴长为②2b

离心率双曲线的焦距与实轴长的比e= 渐近线方程③

y=±

x

④

y=±

x

2.点P(x0,y0)和双曲线

-

=1(a>0,b>0)的关系(1)P在双曲线内⇔⑤

-

>1

(含焦点);(2)P在双曲线上⇔⑥

-

=1

;(3)P在双曲线外⇔⑦

-

<1

.3.焦点三角形:双曲线上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2称作焦点三

角形,如图,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ.

(1)cosθ=1-

;(2)

=

r1r2sinθ=

·b2=

=c|y0|.4.AB为双曲线

-

=1(a>0,b>0)的弦.设直线AB的斜率存在,为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0).(1)弦长l=|x1-x2|

=|y1-y2|

(k≠0);(2)k=

;(3)直线AB的方程:y-y0=

(x-x0);(4)线段AB的垂直平分线方程:y-y0=-

(x-x0).5.与双曲线

-

=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程为⑧

-

=k(k≠0)

.6.以直线

±

=0(a>0,b>0)为渐近线的双曲线方程为⑨

-

=k(k≠0)

.双曲线标准方程的求法1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义确定2a,

进而确定b,再结合焦点位置写出双曲线标准方程.2.待定系数法

方法技巧方法1例1

(2017课标全国Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=

x,且与椭圆

+

=1有公共焦点,则C的方程为

()A.

-

=1

B.

-

=1

C.

-

=1

D.

-

=1B解析本题考查求解双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为

-

=k(k>0),即

-

=1,∵双曲线与椭圆

+

=1有公共焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为

-

=1.故选B.

一题多解∵椭圆

+

=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆

+

=1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y=

x,∴

=

②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为

-

=1.双曲线的几何性质的解题策略双曲线的几何性质包括:范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等.常

考内容是离心率、渐近线等,解决此类问题的关键在于构造关于a,b,c的

等式或不等式.例2

(2017浙江宁波期末,8)过双曲线x2-

=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线的两条渐近线分别相交于点B,C,且2

=

,则此双曲线的离心率是

()A.

B.

C.

D.

方法2C解题导引

求直线与双曲线两渐近线的交点坐标→利用向量关系求得b的值→结论解析直线l的方程是y=x+1,与渐近线y=-bx的交点为B

,与渐近线y=bx的交点为C