2025高考数学二轮复习-专题3 数列-专项突破三 数列解答题【课件】

专项突破三

数列解答题专题三2025突破求数列的通项及前n项和必备知识•精要梳理1.分组转化法具有下列特点的数列常用分组转化法求和:(1)an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组转化法求和.2.错位相减法一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.3.裂项相消法实质是将数列的通项分解为两项之差,求和时能消去中间的一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键是准确地裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.关键能力•学案突破考向一

分组转化法求和(1)若数列{bn}满足bn=a2n-1(n∈N*),求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的通项公式,并求S2n.解

(1)因为数列{an}满足a1=1,所以bn+1=a2n+1=3a2n+2=3(2a2n-1+1)+2=6a2n-1+5=6bn+5.因为b1+1=a1+1=2≠0,且bn+1+1=6(bn+1),所以数列{bn+1}是首项为2,公比为6的等比数列.所以bn+1=2·6n-1,则bn=2·6n-1-1.解题心得分组转化法求和的类型和解题技巧(1)分组转化法求和的常见类型

(2)有些数列的项和项数的奇偶有关,有些数列的项有周期性,有些数列的项与三角函数值相关,求解上述条件下数列和的问题时,可以将原数列的通项转化为若干个简单数列的通项的和差,整体转化后求和.精典对练·得高分已知等差数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,正项等比数列{bn}的首项为1,且满足a3=2b2,S5=b2+b4.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设cn=(-1)nlog3Sn+log3bn,求数列{cn}的前26项和.∴cn=(-1)nlog3[n(n+1)]+log33n-1=(-1)nlog3n+(-1)nlog3(n+1)+n-1.设{cn}的前n项和为Tn,则T26=(-log31-log32+0)+(log32+log33+1)+(-log33-log34+2)+…+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)数学思想·扩思路转化与化归思想已知等差数列{an}满足a2=4,a3+a4=17.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足b1=2,从下列三个条件中任选一个作为已知,求数列{an+bn}的前n项和Tn.①bn+1=2bn,②2bn+1=bn,③bn+1=-bn.点评有些数列求和问题,通过分组或并项,将不易直接求和的问题转化为容易求和的问题,这一过程体现了转化与化归的数学思想.考向二

裂项相消法求和[例2]已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2.(1)求数列{an}的通项公式;(1)解

因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)2n+1+2,①所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)2n+2.②①-②,得nan=(n-1)2n+1-(n-2)2n,即an=2n(n≥2).当n=1时,a1=2满足上式.所以an=2n.(2)证明

因为log2an=log22n=n,解题心得(1)裂项相消法求和的基本步骤

(2)利用裂项相消法求和需注意:①检验通项公式裂项前后是否等价.②求和时,正负项相消,消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.精典对练·得高分(2024·广西壮族自治区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d为整数,S3=21,且a1,a2+1,a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;一题多解·练思维已知等比数列{an}的前n项和为Sn,给出条件:若

,

(1)求m的值及数列{an}的通项公式;考向三

错位相减法求和[例3](2024·浙江金华高三模拟)已知数列{an}是等差数列,a1=3,公差d≠0,且a1,a7,a25构成等比数列,(1)求an;(2)设f(n)=an,若存在数列{bn}满足b1=1,b2=7,b3=25,且数列{f(bn)}为等比数列,求{anbn}的前n项和Sn.解

(1)∵{an}是等差数列,a1=3,d≠0,∴a7=a1+6d,a25=a1+24d.∵a1,a7,a25构成等比数列,∴(a1+6d)2=a1(a1+24d),∴a1=3d=3,∴d=1,∴an=n+2.

方法技巧已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q(q≠0,q≠1)的等比数列,Sn是数列{anbn}的前n项和.利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和的基本步骤精典对练·得高分

易错防范·不丢分

即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因为an>0,所以an+1-an=2,所以数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2n.选②,因为nan+1=2Sn,所以当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1,所以nan+1-(n-1)an=2Sn-2Sn-1=2an,即nan+1=(n+1)an,误区警示应用错位相减法求和对数学运算素养有较高的要求.容易出现两个错误:一是相减时弄错最后一项的符号;二是忘记把相减后所得等式的左边的式子的系数化为1.考向四

数列中的存在性问题[例4]已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40.设bn=log2an.(1)求数列{bn}的通项公式.(1)解

设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q>0),则a1+a1q2=10,a1q2+a1q4=40,解得a1=2,q=2,所以an=2n,bn=log22n=n.解题心得假设推理法解数列存在性问题解决数列中的存在性问题的一般方法是假设推理法,即先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,即不存在.若推不出矛盾,即得到存在的结果.精典对练·得高分①{bn}为等比数列,b1=a1,3b2=a2,②{bn}为等差数列,2b1=a1,4b2=a2,③{bn}为等比数列,b1=a1+2,b2=a2+4.在这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.又a1=2满足an=(2n-1)·2n,所以an=(2n-1)·2n.若选①,设等比数列{bn}的公比为q(q≠0).由已知得b1=2,b2=2q=4,则q=2,所以bn=2×2n-1=2n.由Sk=k2≥2

023,k∈N*,可得k≥45,所以存在正整数k,使得Sk≥2

023成立,且k的最小值为45.若选②,设等差数列{bn}的公差为d.由已知得b1=1,b2=3,则d=b2-b1=2,由Sk=2k+1-2≥2

023,k∈N*得k≥10,所以存在正整数k,使得Sk≥2

023成立,且k的最小值为10.若选③,设等比数列{bn}的公比为q(q≠0).数学思想·扩思路函数与方程思想在数列{an}中,a1=1,a1