2019-2020年江苏专用高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.4离散型随机变量及其概率分布讲义

§12.4离散型随机变量及其概率分布基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.离散型随机变量随着试验结果变化而

叫做随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以

的随机变量，叫做离散型随机变量.2.离散型随机变量的概率分布及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表知识梳理Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的

.变化的变量一一列出概率分布表(2)离散型随机变量的概率分布的性质①

；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝

.3.常见离散型随机变量的概率分布(1)两点分布如果随机变量X的概率分布表为X01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从

.pi≥0，i＝1,2，…，n1两点分布(2)超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝r)＝_______(r＝0,1,2，…，l).即其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(

)(2)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(

)(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布.(

)(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布.(

)(5)离散型随机变量的概率分布中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)√√×√×√考点自测①②表述的都是随机事件，④是确定的值2，并不随机；③是随机变量，可能取值为0,1,2.1.(2016·苏州模拟)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是____.①至少取到1个白球；

②至多取到1个白球；③取到白球的个数；

④取到的球的个数.答案解析③2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝___.答案解析设X的概率分布为X01Pp2p即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝.3.从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有___个.答案解析X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个.174.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布为答案解析X012P

0.10.60.3∵X的所有可能取值为0,1,2，∴X的概率分布为X012P0.10.60.35.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______.答案解析由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，题型分类深度剖析题型一离散型随机变量的概率分布的性质例1

(1)设X是一个离散型随机变量，其概率分布为答案解析X－101P2－3qq2则q＝________.(2)设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.20.10.10.3m求2X＋1的概率分布.解答由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579从而2X＋1的概率分布为2X＋113579P0.20.10.10.30.3引申探究1.在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的概率分布.解答由(2)知m＝0.3，列表X01234|X－1|10123∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为η0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布.解答依题意知η的值为0,1,4,9,16.P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝X2的概率分布为η014916P0.20.10.10.30.3(1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.思维升华跟踪训练1设随机变量X的概率分布为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5).(1)求a；解答由概率分布的性质，(2)求P(X≥)；解答解答解答题型二离散型随机变量概率分布的求法命题点1与排列、组合有关的概率分布的求法例2

(2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；令A表示事件“三种粽子各取到1个”，(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的概率分布.解答X的所有可能值为0,1,2，综上知，X的概率分布为解答命题点2与互斥事件有关的概率分布的求法例3

(2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，解答(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的概率分布.X的可能取值为200,300,400.P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)故X的概率分布为命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的概率分布的求法例4

(2016·南京模拟)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为

，乙获胜的概率为

，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；解答用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”.P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的概率分布.解答X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)故X的概率分布为求离散型随机变量X的概率分布的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的概率分布.求离散型随机变量的概率分布的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.思维升华跟踪训练2

(2016·湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字.(1)求你的幸运数字为3的概率；设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.A1，A2，A3为互斥事件，则解答(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的概率分布.解答由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，故ξ的概率分布为题型三超几何分布例5

(2016·连云港模拟)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，解答(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布.解答依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.故ξ的概率分布为(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体.思维升华跟踪训练3某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动.(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；解答(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布.解答随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.故随机变量X的概率分布是典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的概率分布.离散型随机变量的概率分布现场纠错系列15错解展示现场纠错纠错心得(1)随机变量的概率分布，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率.(2)验证随机变量的概率和是否为1.返回解

P(ξ＝1)＝0.9，P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.∴ξ的概率分布为ξ12345P0.90.090.0090.00090.0001返回课时作业1.(2016·扬州模拟)某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22根据X的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为_____.0.79答案解析123456789101112132.设X是一个离散型随机变量，其概率分布为X－101P1－2qq2则q＝________.答案解析1234567891011121312345678910111213由概率分布的性质知，则a＝5，3.(2016·泰州模拟)已知随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，则P(2<X≤4)＝____.答案解析123456789101112134.设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则实数a的值为_____.答案解析123456789101112135.从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是____.答案解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，123456789101112136.(2016·盐城模拟)一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的概率分布是________.答案解析12345678910111213∴随机变量Y的概率分布为123456789101112137.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是__________.答案解析－1,0,1,2,312345678910111213X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题都答错了，X＝0，甲没抢到题，乙抢到题答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题，X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，X＝2，甲抢到2题均答对，X＝3，甲抢到3题均答对.123456789101112138.随机变量X的概率分布如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝___，公差d的取值范围是________.答案解析12345678910111213∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.123456789101112139.设离散型随机变量X的概率分布为答案解析X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝___.0.512345678910111213由概率分布的性质，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5.1234567891011121310.(2016·南通模拟)口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的概率分布为______________.答案解析X345P0.10.30.612345678910111213X的取值为3,4,5.所以X的概率分布为X345P0.10.30.61234567891011121311.(2015·山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”

；解答个位数是5的“三位递增数”有1