2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数讲义文苏教版

§2.4二次函数与幂函数基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝

.②顶点式：f(x)＝

.③零点式：f(x)＝

.知识梳理ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域_______________________________单调性在x∈上单调递减；在x∈

上单调递增在x∈

上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝

对称2.幂函数(1)定义：一般地，形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较y＝xα几何画板展示(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1，1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.知识拓展2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(

)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.(

)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(

)(4)函数

是幂函数.(

)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(

)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数.(

)××√×√×考点自测1.(教材改编)若幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，则f(9)＝_____.答案解析27∴f(9)＝

＝27.几何画板展示2.(教材改编)设α∈{－1，1，

，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值和为_____.当α＝1，3时，函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数；答案解析∴满足题意的a值为1和3，其和为4.43.(教材改编)函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝______.答案解析∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.－34.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.答案解析如图，由图象可知m的取值范围是[1，2].[1，2]几何画板展示5.(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点

，则此函数的解析式为________；在区间__________上单调递减.答案解析(0，＋∞)y＝

题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式例1

(1)(2016·南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)且有最小值－1，则f(x)＝________.答案解析x2＋2x设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式.解答∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2.∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4，3)，∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.∴f(x)的对称轴为x＝2.∴3a＝3，a＝1，求二次函数解析式的方法思维升华跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝__________.设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案解析x2＋2x＋1(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝_________.答案解析－2x2＋4由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是_________.答案解析[－3，0]当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件.解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3，0].几何画板展示引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝_____.答案解析－3由题意知a<0，命题点2二次函数的最值例3

已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值.解答几何画板展示(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0，1]内，∴f(x)min＝f(1)＝－2.(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上②当>1，即0<a<1时，f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上单调递减.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向下且对称轴x＝<0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.命题点3二次函数中的恒成立问题例4

(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围为__________.答案解析2ax2＋2x－3<0在[－1，1]上恒成立.当x＝0时，－3<0，成立；(2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若

t2－kt－1≤0在t∈[－1，1]上恒成立，求实数k的取值范围.解答几何画板展示求二次函数f(t)＝

t2－kt－1在给定区间[－1，1]上的最大值M，二次函数f(t)的图象的对称轴为直线t＝2k.(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.思维升华跟踪训练2(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为___________.答案解析(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值.解答∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，当－2<a≤1时，ymin＝a2－2a，当a>1时，ymin＝－1.∴对称轴为直线x＝1，几何画板展示例5

(1)若>，则实数m的取值范围是____________.答案解析题型三幂函数的图象和性质因为函数y＝

的定义域为[0，＋∞)且在定义域内为增函数，解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2.(2)已知函数f(x)＝x－m＋3(m∈N*)是偶函数，且f(3)<f(5)，求m的值，并确定f(x)的函数解析式.解答由f(3)<f(5)，得3－m＋3<5－m＋3，所以－m＋3>0.解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1或2；当m＝2时，f(x)＝x－m＋3＝x为奇函数，所以m＝2舍去.当m＝1时，f(x)＝x－m＋3＝x2为偶函数，所以m＝1，此时f(x)＝x2.(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.思维升华跟踪训练3(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是_____.答案解析③所以f(x)＝

，该函数在(0，＋∞)上为增函数，典例(14分)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值.已知函数f(x)的最值，而f(x)图象的对称轴确定，要讨论a的符号.规范解答

分类讨论思想在二次函数最值中的应用思想与方法系列3思想方法指导几何画板展示解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a. [2分](1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；

[4分](2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝

；

[9分](3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3. [12分]综上可知，a的值为

或－3. [14分]课时作业12345678910111213141.(教材改编)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是__________.把点(2，4)代入函数解析式得4＝2α，所以α＝2，故f(x)＝x2，所以函数的单调递增区间为[0，＋∞).答案解析[0，＋∞)2.(教材改编)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么f(－2)，f(0)，f(2)大小关系为_________________.答案解析f(0)＜f(2)＜f(－2)函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(－x).可知函数f(x)图象的对称轴为x＝

，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大.12345678910111213143.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.答案解析[0，4]由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4.12345678910111213144.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－

，－4]，则m的取值范围是________.答案解析12345678910111213145.若a<0，()a、(0.2)a、2a大小关系为______________.答案解析若a<0，则幂函数y＝xa在(0，＋∞)上是单调减函数，12345678910111213146.已知函数y＝

的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为______.由定义域为R，则x2－2x＋a≥0恒成立.又值域为[0，＋∞)，则函数y＝x2－2x＋a的图象只能与x轴有1个交点，所以Δ＝4－4a＝0，则a＝1，所以实数a的取值集合为{1}.答案解析{1}12345678910111213147.(2016·连云港模拟)已知幂函数f(x)＝

，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________.答案解析(3，5)∵幂函数f(x)＝

单调递减，定义域为(0，＋∞)，解得3<a<5.12345678910111213148.(2016·无锡模拟)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________.答案解析[1，2]作出已知函数的图象如图所示，当x＝1时，y最小，最小值为2；当x＝2时，y＝3；当x＝0时，y＝3.由图象知m的取值范围是[1，2].1234567891011121314*9.“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的_____条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)答案解析充要12345678910111213141234567891011121314当a<0时，函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内单调递增；当a＝0时，f(x)＝|x|，f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增；故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件.10.若函数f(x)＝

x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b＝___.答案解析1234567891011121314∴其对称轴为x＝1，即函数f(x)在[1，b]上单调递增.123456789101112131411.(2016·江苏赣榆高级中学质检)设函数f(x)＝x2－3x＋a.若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为________.答案解析1234567891011121314方法一由f(x)＝0，123456789101112131412.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a的取值范围是________.答案解析1234567891011121314设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得12345678910