2019届江苏专版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.2双曲线讲义

§15.2双曲线高考数学1.双曲线的定义(1)定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于两定点

间距离)的点的轨迹叫做双曲线.(2)双曲线的定义用符号表示为①||MF1|-|MF2||=2a,其中2a<|F1F2|

.(3)当|MF1|-|MF2|=2a时,轨迹为②焦点F2所对应的双曲线的一支

.当|MF1|-|MF2|=-2a时,轨迹为③焦点F1所对应的双曲线的一支

.当2a=|F1F2|时,轨迹为④分别以F1、F2为端点的两条射线

.当2a>|F1F2|时,动点轨迹⑤不存在

.知识清单方法1求双曲线标准方程的方法1.利用待定系数法求双曲线的标准方程(1)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,则双曲线的标准方程

可设为

-

=1(a>0,b>0),然后由条件求a,b;(2)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,则双曲线的标准方程

可设为

-

=1(a>0,b>0),然后由条件求a,b;(3)如果已知双曲线的中心在原点,但不知焦点所处的位置,则可把双曲

线方程设为mx2+ny2=1(m,n异号),然后由条件求m,n.方法技巧2.利用定义及性质求双曲线的标准方程(1)定型:确定双曲线的标准方程的类型,判断它的中心及焦点在坐标系中的位置;(2)定量:建立关于基本量a,b,c的方程或方程组,解得参数a,b的值.3.对于求共焦点、共离心率的双曲线方程的问题,可以根据a,b,c,e的关

系,结合双曲线标准方程的形式灵活求解.通常与椭圆

+

=1(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程可设为

-

=1(b2<λ<a2).例1设双曲线与椭圆

+

=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为(

,4),则此双曲线的标准方程是

.解析椭圆

+

=1的焦点坐标是(0,±3),设双曲线方程为

-

=1(a>0,b>0),根据双曲线的定义,知2a=

=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线方程为

-

=1.答案

-

=1求双曲线的离心率或离心率的取值范围1.根据已知条件确定a、b、c的关系,再求e=

.2.双曲线离心率的范围在解析几何中,求“范围”问题,一般可从以下几个方面考虑:①与已知

范围联系,通过求值域或解不等式来完成;②利用判别式Δ求解;③利用

点在曲线内部形成的不等关系;④利用解析式的结构特点,如a2,

,|a|等的非负性.例2

(2017无锡高三上学期期末,9)设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双

曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率

为e2,若3e1=e2,则e1=

.方法2解析设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,它们的焦距均为2c,

不妨设|PF1|>|PF2|,则由椭圆及双曲线的定义可得

解得

又PF1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,从而可得

+

=2c2,所以

+

=2,因为3e1=e2,所以e1=

.答案

求双曲线中的最值1.转化为二次函数的最值问题.2.利用数形结合及双曲线的性质求最值.例3已知双曲线x2-

=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则

·

的最小值为

.方法3解析由已知可得A1(-1,0),F2(2,0),设点P的坐标为(x,y)(x≥1),则

·

=(-1