高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其线性运算课件苏教版选修

1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。

2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。教学目标1.共线向量定理:复习回顾：推论:如果L为经过已知点A，且平行于已知向量的直线，那么对任一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t，满足等式①，其中向量叫做直线L的方向向量2.共面向量定理:推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有①,上面①式叫做平面MAB的向量表达式3.平面向量基本定理：4.平面向量的正交分解及坐标表示xyo问题：我们知道，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。探究一.空间向量基本定理：思考：在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量，你能得出类似的结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：

如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注意：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。应用举例例1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？解：∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而由共面向量定理知，c与a，b共面．这与a、b、c不共面矛盾．∴a＋b，a－b，c不共面．【反思感悟】解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．向量基底的判断以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c

全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底练习1解析：使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是角A，可能是角B，也可能是角C，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.用基底表示向量BANCOMQP解：BANCOMQP【反思感悟】利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则．练习2探究二、空间直角坐标系

单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用i,j,k表示

空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k。以点O为原点，分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz

点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)

在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xe1+ye2+ze3

在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e31、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为

。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为

，关于原点的对称点为

，关于x轴的对称点为

，关于y轴的对称点为

，关于z轴的对称点为

，（1，-2，-3）（2，-3,4），（2,3，-4），（-2，-3，-4）

（-2,3,4）（2,3,4）（-2,-3,4）（-2,3,-4）练习3例3.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．求空间向量的坐标解∵PA=AB=AD=1，且PA垂直于平面ABCD，AD⊥AB，∴可设＝以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．【反思感悟】空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线．在空间体中不具备此条件时，建系后要注意坐标轴与空间体中相关直线的夹角．在直三棱柱中，∠AOB=，|AO|=4，|BO|=2，D为的中点，以OA、OB、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量的坐标.练习4解：课堂小结1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2.空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．3.由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量.(A)1个(B)2个