2025年沪科新版高三数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高三数学上册月考试卷629考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知向量，的夹角为，||=1，且对任意实数x，不等式|x+2|≥|+|恒成立，则||的取值范围是（）A.[，+∞）B.（，+∞）C.[1，+∞）D.（1，+∞）2、定义在[t，+∞）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=M，若对任意k＞M存在x1＜x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追逐函数”，已知f（x）=x2；给出下列四个函数：

①g（x）=x；

②g（x）=lnx+1；

③g（x）=2x-1；

④g（x）=2-；

其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3、已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若（+x）⊥，则实数x=（）A.B.C.D.4、已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时，f（x）=x（1+x3），则x＜0时，f（x）=（）A.x（1-x3）B.-x（1+x3）C.-x（1-x3）D.x（1+x3）5、已知函数f（x）=x|x-2m|，设-2＜m＜0，记f1（x）=f（x），fk+1（x）=f（fk（x））（k∈N*），则函数y=f2014（x）的零点个数为（）A.2B.3C.2014D.20156、的共轭复数为（）A.1+iB.1-iC.+iD.-7、【题文】若单项式的系数是次数是则的值为（）A.B.C.D.8、【题文】若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值是（）A.B.或C.或D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、函数y=3sin（+）的图象的对称轴为____．10、有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，则数学书排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____种．11、已知正实数x，y满足x+3y=1，则的最小值为____．12、已知函数f（x）与函数g（x）=logx的图象关于直线y=x对称，则f（-2）=____．13、设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|．若点A（-1，1），B在y2=x上，则L（A，B）的最小值为____．14、已知直线l经过椭圆的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为____．15、【题文】设则当与两个函数图象有且只有一个公共点时，__________.评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)16、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）21、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．22、空集没有子集．____．23、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、其他(共3题，共18分)24、设函数f（x）=|x-a|；a＜0．

（Ⅰ）证明f（x）+f（-）≥2；

（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．25、不等式＞0的解集为____．26、解不等式＜-1．评卷人得分五、作图题(共2题，共16分)27、某建筑公司计划450万元购买甲型与乙型两款挖土机，购买总数不超过50辆，其中购买甲型挖土机需要13万元/辆，购买乙型挖土机需要8万元/辆，假设甲型挖土机的纯利是2万元/辆，乙型挖土机的纯利润是1.5万元/辆，为了利润最大化，要如何购买两种挖土机？28、对于函数f（x）=x2-2|x|；

（1）判断其奇偶性；并指出图象的对称性；

（2）画此函数的图象，并指出其单调区间．评卷人得分六、解答题(共3题，共9分)29、【题文】（本小题满分14分）

已知函数．

（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；

（Ⅲ）求证：．30、【题文】如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得求两景点B与C的距离．

31、已知函数（a∈R）．

（1）若f（x）在点（2；f（2））处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】【分析】由题意可得x2+2||x+（|3-||-1）≥0恒成立，根据△≤0，求得||的范围．【解析】【解答】解：由题意可得x2•+4x•+4≥+2+恒成立；

化简可得x2+2||x+（|3-||-1）≥0恒成立，∴△=4-4（|3-||-1）≤0．

化简可得（2||+1）（||-1）≥0，求得||≥1；

故选：C．2、B【分析】【分析】求出M=1，解方程求得x1，x2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x1＜x2，即可得到结论．【解析】【解答】解：对于①；可得f（1）=g（1）=1=M；

∀k＞1，有x12=x2=k，即为x1=，x2=k；

＜k显然成立，存在x1＜x2；

对于②，易得M=1，∀k＞1，有x12=1+lnx2=k；

即为x1=，x2=ek-1；

即有＜ek-1⇔k＜e2k-2；

由x＞1时，x-e2x-2的导数为1-2e2x-2＜0；

即有x＜e2x-2，则存在x1＜x2；

对于③，易得M=1，∀k＞1，有x12=-1=k；

即为x1=，x2=log2（k+1）；

当k=100时，＞log2（k+1）；

即不存在x1＜x2．

对于④，易得M=1，∀k＞1，有x12=2-=k；

即为x1=，x2=；

当k=4，不存在x1＜x2．

故f（x）在[1；+∞）上的“追逐函数”有①②

故选B．3、A【分析】【分析】由向量的坐标运算可得+x的坐标，由（+x）⊥可得（+x）•=0，解关于x的方程可得．【解析】【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3；4）；

∴+x=（1；0）+x（1，2）=（1+x，2x）；

∵（+x）⊥，∴（+x）•=3（1+x）+8x=0；

解得x=-

故选：A4、A【分析】【分析】x＜0时，-x＞0，由已知解析式，得到f（-x），再由奇函数的定义，即可得到．【解析】【解答】解：x＜0时；-x＞0；

x＞0时，f（x）=x（1+x3）；

即有f（-x）=-x（1-x3）；

又函数f（x）为奇函数；则f（-x）=-f（x）；

即有f（x）=x（1-x3）（x＜0）；

故选A．5、D【分析】【分析】先求f（x）=x|x-2m|=0的解，利用数学归纳法证明．【解析】【解答】解：∵f（x）=x|x-2m|=0的解只有两个x=0或x=2m；

∴对于fk+1（x）=0，fk（x）=0或者fk（x）=2m；

假设数列{an}对应的就是fn（x）=0的解；

设fk（x）=2m的解个数为r；

那么就有an+1=an+r；

对应fk（x）=2m的交点所在的函数图象部分恰好是单调的；解的个数是1个．

∴an+1=an+1是一个等差数列．

∴fn（x）=0的解个数就是n+1个；

故函数y=f2014（x）的零点个数为2014+1=2015个；

故选：D．6、D【分析】【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义即可得出．【解析】【解答】解：==的共轭复数为．

故选：D．7、A【分析】【解析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单项式定义得：单项式的系数是-次数是2+1=3；

∴m=-n=3；

mn=-×3=-2．

故选A．【解析】【答案】A8、D【分析】【解析】解：

【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】【分析】令=解出x即为函数的对称轴．【解析】【解答】解：令=，解得x=；k∈Z．

故答案为=，k∈Z．10、略

【分析】【分析】由题意，先求出总的排放种数，再用分步乘法计数原理求出数学书排在一起，外文书也排在一起的种数；要分三步完成，1、绑定数学书，2、绑定外文书，3、结合其它三个元素组成一个相当于五个元素的全排列．【解析】【解答】解：由题意，数学书排在一起，外文书也排在一起的共有A33×A22×A55=1440种方法；

故数学书排在一起；外文书也排在一起的排法有1440种；

故答案为：1440．11、略

【分析】【分析】正实数x，y满足x+3y=1，可得＞0，解得0＜x＜1．于是==f（x），利用导数研究单调性极值即可得出．【解析】【解答】解：∵正实数x，y满足x+3y=1，∴＞0；解得0＜x＜1．

则==f（x）；

∴f′（x）=+=；

当x∈时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x∈时；f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴当x=，y=时，函数f（x）取得极小值即最小值，=4+3=7．

故答案为：7．12、略

【分析】【分析】由函数f（x）与函数g（x）=logx的图象关于直线y=x对称，可得函数f（x）与函数g（x）=logx互为反函数，即f（x）=，代入x=-2，可得答案．【解析】【解答】解：∵函数f（x）与函数g（x）=logx的图象关于直线y=x对称；

∴函数f（x）与函数g（x）=logx互为反函数；

∴f（x）=；

∴f（-2）=4；

故答案为：4．13、【分析】【分析】分析可知，使L（A，B）取最小值的点应在原点或第一象限，设出抛物线上点的坐标，然后写出L（A，B）=||+|y0-1|．分类讨论点B的纵坐标后可求得L（A，B）的最小值．【解析】【解答】解：如图；

因为A在第二象限；根据抛物线的对称性，要使抛物线上的点B与A点的曼哈顿距离最小，则B在第一象限（或原点）．

设B（）；

则L（A，B）=||+|y0-1|

当0≤y0≤1时；

L（A，B）=

=

=；

所以，当时，L（A，B）有最小值．

当y0＞1时；

L（A，B）=

=

=

．

综上，L（A，B）的最小值为．

故答案为．14、略

【分析】

由题意可知直线的斜率存在；

所以设直线l的方程为y=kx+1；M（m，0）；

由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=x1x2=-．

可得y1+y2=k（x1+x2）+2=．（3分）

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（），直线MN的方程为：y-=（x-）；

M（0），|MN|==

|AB|==

△MPQ的面积为==

==≤．当且仅当k=0时去等号．

所以所求面积的最大值为．

故答案为：．

【解析】【答案】设出直线的方程利用直线与椭圆联立方程组；求出AB的距离，求出AB的中点与M的距离，推出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值即可．

15、略

【分析】【解析】

试题分析：因为和互为反函数，故其图象关于直线对称，要使.和图象有且只有一个公共点，则是它们的切线，所以令得故交点为所以即

考点：1.导数的几何意义；2.导数的计算.【解析】【答案】三、判断题(共8题，共16分)16、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×22、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．23、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、其他(共3题，共18分)24、略

【分析】【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式；即可得证；

（Ⅱ）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．【解析】【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x-a|；a＜0；

则f（x）+f（-）=|x-a|+|--a|

=|x-a|+|+a|≥|（x-a）+（+a）|

=|x+|=|x|+≥2=2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x-a|+|2x-a|；a＜0．

当x≤a时；f（x）=a-x+a-2x=2a-3x，则f（x）≥-a；

当a＜x＜时，f（x）=x-a+a-2x=-x，则-＜f（x）＜-a；

当x时，f（x）=x-a+2x-a=3x-2a，则f（x）≥-．

则f（x）的值域为[-；+∞）；

不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空；即为。

＞-；解得，a＞-1，由于a＜0；

则a的取值范围是（-1，0）．25、略

【分析】【分析】不等式＞0即为（3-x）（x-1）＞0，再由二次不等式的解法，即可得到解集．【解析】【解答】解：不等式＞0即为（3-x）（x-1）＞0；

即（x-3）（x-1）＜0；

即或；

解得；x∈∅或1＜x＜3．

则解集为（1；3）．

故答案为：（1，3）．26、略

【分析】【分析】不等式化简为＜0，推出同解不等式组，然后分别求解集后，求并集即可．【解析】【解答】解：原不等式变为+1＜0；

即＜0-1＜x＜1或2＜x＜3．

∴原不等式的解集是{x|-1＜x＜1或2＜x＜3}．五、作图题(共2题，共16分)27、略

【分析】【分析】设购买甲型挖土机x辆，乙型挖土机y辆；利润为z万元，从而得到约束条件及目标函数，由线性规划解答即可．【解析】【解答】解：设购买甲型挖土机x辆；乙型挖土机y辆；利润为z万元；

由题意得约束条件及目标函数如下；

；

z=2x+1.5y，化简可得y=-x+z；

由题意作图象如下；

解得；

故为了利润最大化，要购买甲型挖土机10辆，乙型挖土机40辆．28、略

【分析】【分析】（1）利用奇偶函数的定义判断即可；

（2）画出此函数的图象，即可指出其单调区间．【解析】【解答】解：（1）∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x），

∴f（x）=x2-2|x|为偶函数；

∴函数f（x）=x2-2|x|的图象关于y轴对称；

（2）图象如图所示；

∴函数f（x）=x2-2|x|的单调增区间：（-1；0），（1，+∞）；

单调减区间：（-∞，-1），（0，1）．六、解答题(共3题，共9分)29、略

【分析】【解析】(I)本小题的实质是利用导数研究函数f(x)的单调性极值；结合草图，确定出直线y=k与函数y=f(x)的图像有一个公共点时，确定k的取值范围.

(II)当a=2时，可以采用作差法比较f(x)与1的大小，然后构造函数研究其单调区间最值，从而判断它们之间的大小关系.

(III)解决本小题最佳途径是利用(2)的结论，当时，即．

令则有然后解本题的另一个关键点判断出从而证明出

另外也可以考虑数学归纳法.

解：（Ⅰ）当时，定义域是

令得或．2分。

当或时，当时，

函数在上单调递增，在上单调递减．4分。

的极大值是极小值是．

当时，当时，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．5分。

（Ⅱ）当时，定义域为．

令

在上是增函数．7分。

①当时，即

②当时，即

③当时，即．9分。

（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，即．

令则有．12分。

．14分。

（法二）当时，．

即时命题成立．10分。

设当时，命题成立，即．

时，．

根据（Ⅱ）的结论，当时，即．

令则有

则有即时命题也成立．13分。

因此；由数学归纳法可知不等式成立．14分。

（法三）如图；根据定积分的定义；

得．11分。

．12分。

又

．

．14分【解析】【答案】（1）或

（2）①当时，即

②当时，即

③当时，即．

（3）见解析.30、略

【分析】【解析】

试题分析：在△ABD中根据余弦定理，建立关于BD的方程解出BD=16km．然后在△BDC中，根据题中数据利用正弦定理列式，可得即得B与C之间的距离．

在△ABD中，设BD=则

即整理得：解之：或（舍去），由正弦定理，得：∴

考点：1、余弦定理；正弦定理；2、解三角形的实际应用.【解析】【答案】31、略

【分析】

（1）求出f（x）的导数；可得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值；

（2）求出f（