2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若f（x）=ax3+ax+2（a≠0）满足f（-1）＞1且f（1）＜1；则方程f（x）=1解的个数（）

A.0

B.1

C.2

D.4

2、已知函数若同时满足条件：

①∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点；

②∀x∈（8；+∞），f（x）＞0．

则实数a的取值范围是（）

A.（4；8]

B.[8；+∞）

C.（-∞；0）∪[8，+∞）

D.（-∞；0）∪（4，8]

3、【题文】已知a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量a+b与a-b的夹角是()A.0°B.30°C.60°D.90°4、【题文】若在区间上随机取一个数x，则cosx的值介于0和之间的概率为()．A.B.C.D.5、抛物线y=x2的焦点到准线的距离是（）A.B.C.2D.46、如图是2012年某校元旦晚会举办的挑战主持人大赛上；七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（

A.84，85B.84，84C.85，84D.85，857、在空间直角坐标系O-xyz中，平面OAB的法向量为O为坐标原点．已知P（-1，-3，8），则P到平面OAB的距离等于（）A.4B.2C.3D.18、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（）A.B.C.D.9、下列导数公式错误的是(

)

A.(sinx){{"}}=-cosxB.(lnx)隆盲=1x

C.(1x)隆盲=鈭�1x2

D.(e^{x}){{"}}=e^{x}评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、函数y=ln（2-x）的定义域为____．11、【题文】设D，P为△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋则＝________.12、【题文】无穷等差数列{an}各项都是正数，Sn是它的前n项和，若a1+a3+a8=a42,则a5·S4的最大值是______________.13、【题文】某班级有38人，现需要随机抽取2人参加一次问卷调查，那么甲同学选上，乙同学未选上的概率是____（用分数作答）．14、【题文】已知复数=____。15、【题文】设变量满足约束条件则的最大值是____．16、已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标____．17、已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1=3an﹣1，则其通项an=____．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)25、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．26、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

因为f（x）=ax3+ax+2（a≠0）满足f（-1）＞1且f（1）＜1；

所以f（-1）=-1-a+2＞1且f（1）=a+a+2＜1；

即a＜且a＜-所以a＜-．

因为f'（x）=3ax2+a=a（3x2+1）＜0；所以函数f（x）在R上单调递减；

所以方程f（x）=1解只有1个．

故选B．

【解析】【答案】由条件f（-1）＞1且f（1）＜1，得到a＜-求函数的导数f'（x），根据导数得到函数f（x）单调递减．

2、A【分析】

由于则=

令f′（x）=0，则

故函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减。

由于∀x∈（8；+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可；

当x2＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为此时无解；

当x2≤8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为解得a≤8．

又由∃x∈（0，+∞），x为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；

故实数a的取值范围为4＜a≤8

故答案为A

【解析】【答案】求导数，由①得到

由②∀x∈（8；+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可；

分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．

3、D【分析】【解析】∵a+b=(cosθ+sinθ,2,sinθ+cosθ),

a-b=(cosθ-sinθ,0,sinθ-cosθ).

∴(a+b)·(a-b)=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)+2×0+(sinθ+cosθ)·

(sinθ-cosθ)=cos2θ-sin2θ+sin2θ-cos2θ=0.

∴(a+b)⊥(a-b).

即向量a+b与a-b的夹角是90°.【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】当－≤x≤时，由0≤cosx≤得－≤x≤－或≤x≤根据几何概型的概率P＝＝【解析】【答案】A5、C【分析】【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y；故p=2；

即它的焦点到准线的距离为2；

故选：C．

【分析】抛物线的标准方程为x2=4y，故p=2，可求它的焦点到准线的距离．6、B【分析】【分析】由众数、中位数的定义可知：这组数据的众数为84，中位数为84.故选B.7、A【分析】解：平面OAB的一个法向量为=（2；-2，1），已知点P（-1，-3，8）；

则点P到平面OAB的距离d====4．

故选：A．

直接利用空间点到平面的距离公式d=求解即可．

本题考查空间点、线、面距离的求法，公式的应用，根据空间点到平面的距离公式d=是解决本题的关键．【解析】【答案】A8、A【分析】解：由题意知本题是一个古典概型；

∵在一个口袋中装有5个白球和3个黑球；这些球除颜色外完全相同．

试验的总事件是从8个球中取3个球有C83种取法；

从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有C32C51+C33种不同的取法；

∴至少摸到2个黑球的概率等于=

故选A．

由在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有C83种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有C32C51+C33种不同的取法；根据古典概型公式得到结果．

本题也可以从对立事件角度来考虑，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的对立事件是从中摸出3个球，摸到的都是白球或摸到的有一个黑球，试验的总事件是从8个球中取3个球有C83种取法，摸到的都是白球有C53=10种方法，摸到的有一个黑球有C31C52种方法，代入公式得到结果．【解析】【答案】A9、A【分析】解：根据题意；依次分析选项：

对于A(sinx)鈥�=cosx

故A错误；

对于B(lnx)隆盲=1x

故B正确；

对于C(1x)隆盲=x鈭�1=(鈭�1)隆脕x鈭�2=鈭�1x2

故C正确；

对于D(ex)鈥�=ex

故D正确；

故选：A

．

根据题意；依次计算选项函数的导数，比较即可得答案．

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

要使函数有意义；必有2-x＞0，即x＜2．

故答案为：（-∞；2）．

【解析】【答案】对数的真数大于0；可求其定义域．

11、略

【分析】【解析】取BC的中点为P，则＝(＋)＝则点D是中线AP的中点，所以＝【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：因为无穷等差数列{an}各项都是正数，Sn是它的前n项和，若a1+a3+a8=a42,

根据通项公式的性质可知

因为d>0；结合二次函数的性质可知最大值为36，故答案为36.

考点：等差数列。

点评：解决该试题的关键是能利用等差数列的通项公式和前n项和来求解运算，属于基础题。【解析】【答案】3613、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】515、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1816、A（5，2），B（5，﹣2）【分析】【解答】解：抛物线焦点F（1；0）；

∵焦点F是△AOB的垂心；

∴直线AB⊥x轴．

∴A；B关于x轴对称．

设A（y1）（y1＞0），则B（﹣y1）．

∴kOB==﹣．kAF==．

∵焦点F是△AOB的垂心；

∴AF⊥OB．

∴kOB•kAF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．

∴A（5，2），B（5，﹣2）．

故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．

【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（y1）（y1＞0），则B（﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令kOB•kAF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．17、【分析】【解答】解：由an+1=3an﹣1，变形为：an+1﹣=3（an﹣）；

∴数列{an﹣}是等比数列；公比为3．

∴an﹣=×3n﹣1；

∴an=﹣．

故答案为：﹣．

【分析】由an+1=3an﹣1，变形为：an+1﹣=3（an﹣），利用等比数列的通项公式即可得出．三、作图题(共8题，共16分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个