中考数学二轮培优训练第18讲 等腰三角形中的分类讨论（原卷版）

第18讲等腰三角形中的分类讨论【应对方法与策略】当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！【多题一解】【一题多解】一、解答题1．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：(1)当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？(2)当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？(3)当t为何值时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．2．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，半径为1的经过直角坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线过点A、B、C．(1)求点A、B的坐标；(2)求抛物线的函数关系式；(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022春·九年级课时练习）如图，已知点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，，，点在线段上，从点出发以每秒5个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒，过点作轴于点．(1)当时，线段的长为________；(2)当时，求的值；(3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．4．（2021·福建福州·统考一模）如图，直角梯形ABCD中，．点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→B→C向点C运动，设点P的运动时间为t．(1)点P在运动过程中，BP=_________________；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比．5．（2022秋·浙江·八年级期中）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒，0．(1)当t=2秒时，求PQ的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）6．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H．(1)求直线的函数解析式及的长；(2)连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．7．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，且，是第四象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下：当的值最大时，如图，过点作轴于点，交于点，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒．(1)求线段的长．(2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标；(3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为(如图2)，在整个运动过程中，若点恰好落在内部(不含边界)，请直接写出的取值范围．9．（2023秋·山东德州·八年级统考期末）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．①的度数为______；②线段之间的数量关系为______；（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数．10．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．(1)___________；当时，_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．11．（2022·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）阅读材料：如图①，与都是等腰直角三角形，，且点在边上，、的中点均为，连接、、，显然，点、、在同一条直线上，可以证明，所以．解决问题：（1）将图①中的绕点旋转到图②的位置，猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论．（2）如图③，若与都是等边三角形，、的中点均为，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出与之间的数量关系．（3）如图④，若与都是等腰三角形，、的中点均为，且顶角，请直接写出与之间的数量关系（用含有的式子表示出来）．12．（2022秋·重庆巴南·九年级统考期末）已知抛物线（a≠0）与轴交于点A（，0）、B（2，0），与y轴交于点C，直线经过两点A、C．(1)求，的值；(2)如图1，点在已知抛物线上，且位于第二象限，当四边形PABC的面积最大时，求点的坐标．(3)如图2，将已知抛物线向左平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为，若抛物线与原抛物线的对称轴交于点Q．点E是新抛物线的对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．13．（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，中，，，．点为斜边的中点，，交边于点．点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．(1)求证：；(2)设，．求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；(3)联结，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．14．（2021·广东深圳·校考一模）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，(1)写出A、B、C三点的坐标．(2)若点P为内一点，求的最小值．(3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级