2024-2025学年陕西省西安市高三上册12月期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省西安市高三上学期12月期末数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，则（

）A． B．C． D．3．在等差数列中，，则（

）A．6 B．7 C．8 D．94．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．5 D．96．已知某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，将该圆锥切割成一个球体，则该球体表面积的最大值为（

）A． B． C． D．7．设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．8．函数所有零点的和为（

）A． B．10 C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知虚数是方程的两个不同的根，则（

）A． B．C． D．10．已知函数满足对任意，均有，且，设，则下列结论正确的有（

）A．B．C．若，则在上为奇函数D．若，则11．如图，在六面体中，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，若，则下列说法正确的是（）A．四边形为平行四边形B．平面平面C．若过的平面与平面平行，则该平面与的交点为棱的中点D．三棱锥体积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．函数的极大值点为.13．已知，则.14．在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的内角满足.(1)求；(2)证明.16．已知数列的前项和满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.17．已知函数.(1)求的图象在处的切线方程；(2)若函数，求不等式的解集.18．如图，在四棱柱中，底面为矩形，为的中点，且.(1)证明：①平面；②.(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.19．曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若是函数的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若函数，求曲线在点处的曲率.(2)若函数，证明：曲线在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为.(3)已知函数，若在曲线上存在一点，使曲线在点处的曲率，求的取值范围.

答案1．【正确答案】B【详解】根据题意，集合，因为，所以.故选：B2．【正确答案】D【详解】因为，所以.故选：D.3．【正确答案】C【详解】因为是等差数列，所以，则.故选：C.4．【正确答案】A【详解】由，得，则，从而.取，满足，不满足.故“”是“”的充分不必要条件.故选.5．【正确答案】B【详解】由，得，则，当且仅当时，等号成立.故选：B6．【正确答案】A【详解】因为该圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，所以该圆锥的底面半径和高均为2.如图，当球为圆锥的内切球时，球的表面积最大，设此时球的半径为，则，得，此时该球体的表面积.故选：A.7．【正确答案】D【详解】，则,定义域为R,且，则是奇函数.故选：D.8．【正确答案】C【详解】如图，绘制函数与函数的图象，可知与的图象恰有个公共点，且它们的图象均关于直线对称，所以所有零点的和为.故选：C9．【正确答案】AC【详解】由，得，则，则.故选：AC10．【正确答案】BCD【详解】对于A，取，得，则，A错误；对于B，取，得，取，则，即，，B正确；对于C，若，则，取，得，则，在上为奇函数，C正确；对于D，取，得，即，D正确.故选BCD.11．【正确答案】AD【详解】对于A：因为四边形为菱形，四边形为正方形，所以，且，则平面平面，又平面平面，平面平面，得.由，得，又平面，平面，则平面.因为平面平面，所以，则四边形为平行四边形，故A正确.对于B：因为平面平面，平面平面，四边形为正方形，所以平面，当与不平行时，平面与平面不垂直，故B不正确.对于C：如图，过作，且，连接，易得四边形为正方形，连接，易证得,且，则平面平面，若在上，则为的中点，即，若不在上，则不为的中点，即，故C不正确.对于D：，显然当时，取得最大值，且最大值为，故D正确.故选：AD12．【正确答案】【详解】由，得.当时，0，当时，f'x<0，即函数fx在上均单调递增，在上单调递减，从而的极大值点为，极小值点为.故答案为.13．【正确答案】【详解】方法一：由，得.因为，所以，则.方法二：.故答案为.14．【正确答案】【详解】由，得，即.因为，所以，则，则.要使恒成立，则，解得.所以的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由，得.由正弦定理得.设，由余弦定理得，则.（2）证明：由（1）可知，，则.由，得，则.因为，所以.16．【正确答案】(1)(2)=【详解】（1）当时，.当时，由，得，则.因为，所以.（2）（方法一）由（1）可得.则，①则，②①，得，从而.（方法二）由（1）可得，令，则令，且，则，整理得，则，解得，故..17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，则，则的图象在处的切线方程为，即.（2）.令，则，由，得，当时，单调递减，当时，单调递增，则.故当时，，当时，，从而的解集为.18．【正确答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)【详解】（1）①如图，连接交于点，连接，取的中点，连接交于点，由，故，故，因为，所以，则，从而，则，因为为的中点，所以，则，又，平面，所以平面，②因为平面，所以，则，由为的中点，得，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又为的中点，所以；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设，则，则，得，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，所以为平面的一个法向量，设平面的法向量为，由，得，令，则，得，，故平面与平面的夹角的余弦值为.19．【正确答案】(1)2(2)证明见解析(3)