2024-2025学年陕西省西安市高二上册月考2数学检测试题（附解析）

2024-2025学年陕西省西安市高二上学期第二次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．双曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．2．若直线l的方向向量，平面的法向量，则（

）A． B． C． D．或3．已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（

）A． B． C． D．4．已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（

）A．9 B． C．8 D．5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（

）A．2 B．3 C． D．7．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（

）A．10 B．8 C．24 D．8．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若在上存在点（不是顶点），使得，则的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．对于直线与圆，下列说法不正确的是（

）A．过定点B．的半径为9C．与可能相切D．被截得的弦长最小值为10．已知为坐标原点，过抛物线：的焦点作斜率为的直线交抛物线于，两点，则下列结论一定正确的是（）A． B．C． D．11．已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（

）A．B．平面与平面的夹角为C．三棱锥的体积为定值D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三、填空题（本大题共4小题）12．已知，则．13．设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为.14．已知动点满足，O为坐标原点，则的最大值是.15．正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是.四、解答题（本大题共5小题）16．已知圆过原点和点，圆心在轴上.(1)求圆的方程；(2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.17．已知点，，动点Mx,y满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由.18．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC，E为AB中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．19．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且是抛物线E上异于O的两点.(1)求抛物线E的标准方程；(2)若直线的斜率之积为，求证：直线恒过定点.20．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值．

答案1．【正确答案】D【详解】由双曲线，可得，则，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：D.2．【正确答案】D【分析】根据可得结果.【详解】因为，所以，所以或.故选：D3．【正确答案】D【详解】由题意知，，又，所以，且两直线之间的距离为.故选：D4．【正确答案】B【详解】圆可化为，圆心为，半径为.若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切.圆可化为，圆心为，半径为，.由，所以，解得.故选：B5．【正确答案】B【详解】

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，，所以异面直线与所成角的余弦值等于.故选：B6．【正确答案】D【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，设抛物线与底面交点为E，则，设抛物线为y2=2pxp>0，则，解得即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.故选：D.7．【正确答案】B【详解】椭圆中，，因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以，又，故四边形为平行四边形，又，故四边形为矩形，即⊥，由勾股定理得①，由椭圆定义得②，式子②平方得，结合①得，故四边形的面积为.故选：B8．【正确答案】A【详解】设与y轴交于点，连接，则，得到，因为，故P点在双曲线右支上，且，故，而，故，在中，，即，故，由，且三角形内角和为，故，则，即，即，所以的离心率的取值范围为，故选：A.9．【正确答案】BC【详解】可变形为，由，得，所以直线过定点2,3，故A正确；圆的标准方程为，半径为3，故B不正确；由，所以点2,3在圆的内部，所以与相交，不会相切，故C不正确；当与点2,3和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.因为点2,3和圆心连线的斜率为，所以，解得，此时的方程为，因为圆心到直线的距离，所以弦长为，故D正确.故选：BC.10．【正确答案】BC【详解】由题意，则抛物线：，准线方程为，则直线的方程为，设，联立方程组得，解得，，所以点，点，所以，，故选项BC正确；又，所以，故，故A错误；因为，所以，所以为钝角，故D错误.故选：BC.

11．【正确答案】AC【详解】以点A为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.则，，，，，，，，设点，其中.对于A选项，，，则，所以，A选项正确；对于B选项，设平面的法向量为，，，由，取，可得，则，设平面的法向量为，，由，取，则，则，可得，所以平面与平面的大小不是，B选项错误；对于C选项，，平面，平面，平面，到平面的距离等于点A到平面的距离，而点A到平面的距离为，即三棱锥的高为，因此，，C选项正确；对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，又，，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.故选AC.【方法总结】求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.12．【正确答案】【详解】由，有．故13．【正确答案】【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.【详解】由已知可得，又为上一点且在第一象限,为等腰三角形，．∴．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．14．【正确答案】【详解】方程可以转化为，所以或或或，则动点的轨迹为原点和四段圆弧.如图：

由于对称性，仅考虑圆弧，其表示圆心为，半径为的圆弧，显然当点P为时，.故15．【正确答案】【详解】如图所示，作，Q为垂足，则易知平面，过点Q作，交于，则易知平面，所以即为P到直线的距离．因为，且，所以．所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是，点，设，所以，所以当，取得最小值.故16．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得从而圆的半径为，所以圆的方程为.（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，显然直线符合题意.当直线的斜率存在时，设其方程为，即所以解得，所以直线的方程为综上，直线的方程为或.17．【正确答案】(1)（且）(2)不可以，理由见解析【详解】（1）由题意，显然且，所以的方程为（且）；（2）设在曲线上（），且中点为，则（且），所以，所以直线为即，，联立，整理得，，解得x=1或，但这与且矛盾，故不符合题意；设在曲线上（），且中点为，但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾；综上所述，不存在满足题意的直线的方程.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接与交于点O，连接OE，由分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由，底面，故底面，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为：，则，即，令，则，则，因为底面，所以为平面一个法向量，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.19．【正确答案】(1).(2)证明见解析.【详解】（1）由题意得，，点P的横坐标为1，且，则，∴抛物线E的方程为；（2）证明：当直线的斜率不存在时，设，，因为直线的斜率之积为则，化简得．所以，此时直线的方程为．当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立，化简得，需满足，根据根与系数的关系得，因为直线的斜率之积为，所以，即，即，解得（舍去）或，所以，即，满足，所以，即，综上所述，直线过定点．20．【正确答案】(1);