2024-2025学年江苏省无锡市高三上册12月阶段性考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高三上学期12月阶段性考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数满足，则的共轭复数是（

）A． B． C． D．3．已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（

）A．或15 B．15 C．或 D．5．已知，，，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．6．已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（

）A． B． C． D．7．已知函数，，则函数的极大值之和为（

）A． B． C． D．8．已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．以下命题正确的命题有（

）A．已知是空间中的一组基底，则也能构成一组基底B．将函数的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数C．正四面体的外接球、内切球、棱切球的半径之比为D．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该动点的轨迹是一条抛物线10．双曲线的焦点分别为，，点在双曲线上，下列结论正确的是（

）A．该双曲线的离心率为 B．该双曲线的渐近线方程为C．点到两渐近线的距离的乘积为 D．若，则的面积为3211．在正三棱柱中，的重心为，以为球心的球与平切．若点在该球面上，则下列说法正确的有（

）A．存在点和实数，使得B．三棱锥体积的最大值为C．若直线与平面所成的角为，则的最大值为D．若，则所有满足条件的点形成的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3小题）12．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是.13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为．14．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部封闭），已知两侧走廊的高度都是6米，左侧走廊的宽度为米，右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊．设可通过的最大极限长度为米（不计硬管粗细）．为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为米，则的值是．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角所对的边分别为，已知，且．(1)求的值；(2)若的面积，求的值．16．设正项数列的前项和为，若．(1)求数列的通项公式；(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．17．如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置．

(1)若平面平面，求证：；(2)若点A到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值．18．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，且．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于，两点，记直线与直线的斜率分别为，，当时，求的面积．19．已知，函数，.(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数a的值；(2)若，求证.

答案1．【正确答案】B【详解】，，则.故选：B．2．【正确答案】A【详解】，所以的共轭复数是.故选：A3．【正确答案】C【详解】椭圆的离心率，则，由题意得，故.对于双曲线，知其，故离心率.故选：C.4．【正确答案】B【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，即，解得或（舍去），又，所以.故选：B5．【正确答案】A【详解】因为，所以，因为，，所以，又，因为，，由基本不等式就可得，当且仅当，时等号成立，所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.故选：A6．【正确答案】C【详解】由题可知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，不妨设，即，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．故选：C．7．【正确答案】D【详解】由，可得，令即，可得，当时，f′x>0，单调递增，当时，f′x<0，单调递减，所以当时，取得极大值，因为，所以，可得，所以函数的极大值之和为.故选：D8．【正确答案】A【详解】，令，显然该函数单调递增，，则有两个根，当时，等式为，不符合题意；故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，设，求导得，故当时，，故在上单调递减；x∈1,+∞时，，单调递增；且当时，gx<0，，故如图所示由图可得，的取值范围是故选：A.9．【正确答案】BC【详解】对于A，因为是空间中的一组基底，所以向量不共面，因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故A错误；对于B，将函数的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，故B正确；对于C，如图，正四面体，放置在正方体中，不妨设正方体的边长为，则正四面体的外接球半径为正方体体对角线的一半即，棱切球半径为正方体棱长的一半即，设正四面体的内切球的半径为，由，又，所以，解得，所以正四面体的外接球、内切球、棱切球的半径之比为，C正确；对于D，根据抛物线的定义可知：该定点不能在定直线上，否则轨迹不能是抛物线，D错误.故选：BC10．【正确答案】AC【详解】由双曲线方程得，，，双曲线的离心率为，渐近线方程为，A正确，B错误；设，则，即，渐近线方程为，点到两渐近线的距离乘积为，C正确；由双曲线的定义知，，又，则，所以，所以的面积为，D错误.故选：AC11．【正确答案】BC【分析】对于A，由球与平面的位置关系，判断结论；对于B，面积为定值，由到平面的最大距离求三棱锥体积的最大值；对于C，求出当最大时的位置，由两角和的正弦公式求的最大值；对于D，根据轨迹形状求长度.【详解】方法一：对于A，取中点，中点，连接，，正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面，平面，，而为的重心，，到平面的距离为，而到平面的距离为，球与平离，则不存在这样的和实数，使，A错．对于B，到平面的距离为，球半径，则到平面的最大距离为，，B正确．对于C，设为球的的上顶点，平面于点，与球相切且与平面共面，，，设，则有，得，，C正确．对于，过且与垂直的平面为平面，到平面的距离等于倍的到平面的距离，即，而球半径，则平面截球的截面圆半径，所以截面圆周长即的轨迹长度为，D错.故选BC．方法二：对于A，如图：左图中为中点，为在平面上的投影．右图为俯视图下看的球，由于为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径．而，因此球与底面不相交，因此错误；对于B，有，正确；对于C，作出平面的截面如下图：当最大时的位置如上图所示，不难计算出，所以，那么此时，所以C正确；对于D，轨迹即过B且垂直于的平面与球的交线圆，而，此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错误．故选BC．12．【正确答案】【分析】根据题意，设所求圆的圆心为，半径为，利用两点间的距离公式可得，再利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系可得圆心到直线x＋y＝1的距离，由此得到关于的方程，解方程即可求出圆心C的坐标，进而求出半径，代入圆的标准方程即可求解.【详解】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设圆心为，半径为，由题意知，，又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，，所以，解得，，所以所求圆C的方程为.故本题考查利用直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系求圆的标准方程、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力；熟练掌握点与圆、直线与圆的位置关系是求解本题的关键；属于中档题.13．【正确答案】/【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.故14．【正确答案】8【详解】如图，铁管不倾斜时，令，，，，，.令，解得：，令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，此时通过最大长度，所以，所以倾斜后能通过的最大长度，所以.故8.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，将代入，，即，所以．故.（2）由于，又为锐角，即.，.所以，结合解得.故.16．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）应用得出等差数列再求数列通项公式即可;（2）应用裂项相消法求和，结合不等式恒成立求解.【详解】（1）当时，，；当时，且，两式相减并整理可得．为正项数列，，．（2）有（1）可知，，，故，可化为，恒成立，．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)或【详解】（1）因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以．又因为为的中点，则，所以为等腰三角形，可得，，即，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，且平面，所以．（2）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，取的中点，则，由（1）得，所以，所以即为二面角的平面角，记为．以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，因为，则，可得；，则点A到直线的距离为，由题意可得，解得，或，所以二面角的平面角的余弦值为或．18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意知，又，则，所以，解得（负值舍去），由在椭圆上及得，解得，所以椭圆的方程为；（2）由（1）知，右焦点为F1,0据题意设直线的方程为，则，于是由得，化简得（*）由消去整理得，，由根与系数的关系得：，代入（*）式得：，解得，直线的方程为，则，由求根公式与弦长公式得：，设点到直线的距离为，则，.19．【正确答案】(1)1(2)证明见解析【详解】（1），定义域均为，，

当时，则，