2024-2025学年广东省广州市高二上册12月月考数学检测试题（普高班）附解析

2024-2025学年广东省广州市高二上学期12月月考数学检测试题（普高班）一、单选题（本大题共8小题）1．过点且与直线垂直的直线方程是（）A． B． C． D．2．已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．3．如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为（

）A． B．C． D．4．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（

）A．事件A与事件B互为对立事件 B．事件A与事件B相互独立C． D．5．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个红球，个绿球，现采用不放回的方式从中依次随机取出2个球.若取出的2个球都是红球的概率为，则的值为（

）A．4 B．5 C．12 D．156．设，分别是椭圆的右顶点和上焦点，点在上，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为A． B． C． D．8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（

）A．的方程为B．在上存在点，使得到点的距离为3C．在上存在点，使得D．上的点到直线的最小距离为1二、多选题（本大题共3小题）9．已知方程表示的曲线为，则（

）A．当时，曲线表示椭圆B．存在，使得表示圆C．当或时，曲线表示双曲线D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为10．已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若为圆上一点，则的最小值为C．若与圆相交于，两点，则D．过上一点向圆作切线，切点为，则11．正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（

）A．若，则到直线的距离的最小值为B．若，则，且直线平面C．若，则与平面所成角正弦的最小值为D．若，，则，两点之间距离的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，若，则实数的值为．13．已知F为双曲线的右焦点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若的面积为（O为坐标原点），则C的离心率为．14．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为__________.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．(1)求圆的方程；(2)经过点的直线与圆相交于A，B两点，若，求直线的方程．16．某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(3,4)，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,2).甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．17．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为．(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．18．如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2．(1)证明：平面平面；(2)在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；(2)不过圆心且与x轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B（i）若直线MB交x轴于点N，证明：N为一个定点；（ii）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．

答案1．【正确答案】C【分析】根据垂直求出直线斜率，再由点斜式即可求出方程.【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，则所求直线方程为，即.故选：C.2．【正确答案】B【详解】圆：，圆：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为.故选：B3．【正确答案】B【详解】由题意，,且，，故选：B.4．【正确答案】B【详解】第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；，抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：，共36个，它们等可能，事件AB所含的结果有：，共8个，则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；显然，，C，D都错误.故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用古典概型概率计算公式列出方程，能求出的值．【详解】一个袋子中有若干个大小质地完全相同的球，其中有6个红球，个绿球，从袋中不放回地依次随机取出2个球，取出的2个球都是红球的概率是，则，解得，负值舍去，故选：A．6．【正确答案】A【详解】令椭圆半焦距为c，依题意，，由，得，则，而点在椭圆上，于是，解得，所以的离心率为.故选：A7．【正确答案】A【分析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．【详解】由题意，点F为椭圆的左焦点，，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，设椭圆C的右焦点为，

，，，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选A．本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．8．【正确答案】C【详解】对A：设点Px,y∵，则，整理得，故C的方程为，故A正确；对B：的圆心，半径为，∵点到圆心的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为，而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确；对C：设点Mx,y∵，则，整理得，∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆，又，则两圆内含，没有公共点，∴在C上不存在点M，使得，C不正确；对D：∵圆心到直线的距离为，∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确；故选：C.9．【正确答案】BC【详解】A、B选项：当时，，，当时，，此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确；C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则椭圆的焦距，D选项错误；故选：BC.10．【正确答案】ABD【详解】对于选项A，若，则，得，故选项A正确．对于选项B，设，可得，当直线与圆有公共点时，则，解得，所以的最小值为，故选项B正确．对于选项C，因为，化简可得，令，解得，故过定点，当时，取最小值，则，故选项C不正确．对于选项D，因为，所以当取得最小值时，取得最小值，而当时，取得最小值为圆心到直线的距离，故当时，取得最小值为，故选项D正确，故选：ABD.11．【正确答案】BD【分析】由已知可推得为以点为圆心，为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A项；先证明平面，结合，即可得出平面；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，表示出，根据不等式的性质，即可判断C项；为直线与的公垂线段时，最小.设，且，，求出，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A项，因为，所以在以为球心，为半径的球上.又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上.因为，平面，，，所以，所以，为以点为圆心，为半径的圆上.如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故A项错误；对于B项，如图2，连结.因为平面，平面，所以.又，平面，平面，，所以，平面.又平面，所以.同理可得，.又平面，平面，，所以，平面.又，平面，所以直线平面，故B项正确；对于C项，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，.因为，设，，.设是平面的一个法向量，则，即，取，则，是平面的一个法向量.则，又，当时，有最小值1，所以，，即，所以，与平面所成角正弦的最大值为，故C项错误；对于D项，由C项知，，.当，，即为直线与的公垂线段时，最小.设，且，，则，即，取，则.在方向上的投影向量的模为，所以，，两点之间距离的最小值为，故D项正确.故选：BD.12．【正确答案】2【详解】由，，得，，由，得，即，即，解得，所以实数的值为2.故213．【正确答案】【详解】设C的半焦距为，则，渐近线方程为，即，故点F到渐近线的距离为，则，由题意可得，即，可得，所以，即．故答案为.14．【正确答案】【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求.【详解】如图，设的角平分线与轴交于点，，，设，则，解得，即为直角三角形又，，，，当时，，得，，，即故15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的方程为，

由已知得，

解得，，，

所以圆的方程为，即；（2）①若直线有斜率，可设的方程为，即，

由已知，则圆心到直线的距离

解得，

此时，直线的方程为，即；

②若直线没有斜率，则的方程为，

将其代入，可得或，即得，，满足条件，

综上所述，直线的方程为或．16．【正确答案】(1)派乙参赛赢得比赛的概率更大(2)eq\f(3,5)【详解】(1)记事件A1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，所以A1A2表示“甲赢得比赛”，P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，B1B2表示“乙赢得比赛”，P(B1B2)＝P(B1)P(B2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，因为eq\f(9,25)<eq\f(3,8)，所以派乙参赛赢得比赛的概率更大．(2)记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”，由(1)知P(eq\x\to(C))＝1－P(A1A2)＝1－eq\f(9,25)＝eq\f(16,25)，P(eq\x\to(D))＝1－P(B1B2)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)，所以C∪D表示“两人中至少有一个赢得比赛”，P(C∪D)＝1－P(eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝1－P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(16,25)×eq\f(5,8)＝eq\f(3,5)，所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为eq\f(3,5).17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为椭圆的焦点为，，所以，则①，又双曲线的渐近线为，所以，即②，由①②，解得，所以双曲线的方程为．（2）设弦的两端分别为Ax1,则有，两式作差得，整理得到，因为弦中点为，所以，故直线的斜率，则所求直线方程为，即．18．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在；【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，,,的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论.【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，因为，则，，由余弦定理可得，所以，，则，同理可证，翻折后，则有，，因为，，,平面，所以，平面，因为平面，则，因为，，平面，所以，平面，所以平面平面.（2）因为平面，，以点为坐标原点，,,的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则,,,，设，其中，则，，设平面的法向量为，则，取，则，，所以，，平面的一个法