2024-2025学年福建省莆田市高一上册期末联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年福建省莆田市高一上学期期末联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合为自然数集N，，则（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（

）A． B． C． D．或4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．5．对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（

）A． B． C． D．6．已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或7．函数的零点所在的大致区间是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．下列命题为真命题的是（

）A．，为奇数B．，二次函数的图象关于轴对称C．“”是“”的必要条件D．与是同一函数10．若，则，中不可能是最大值的是（

）A． B． C． D．11．函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数在上单调递减C．函数的图象关于点对称D．该函数的周期是12．下列结论正确的有（

）A．函数图象关于原点对称B．函数定义域为且对任意实数恒有.则为偶函数C．的定义域为，则D．的值域为，则三、填空题（本大题共4小题）13．函数的定义域是．14．扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为.15．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向(左、右、上、下)平移个单位长度16．已知函数，则的单调增区间为.四、解答题（本大题共6小题）17．（1）化简求值（2）已知为锐角，且满足求的值;18．已知，其中．(1)求；(2)求．19．已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数在区间上的值域.20．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．（1）求的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．21．设函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；(3)已知，，，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由.22．已知函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．（1）求m、n的值；（2）若不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范围．（3）令g(x)=，若函数F（x）=g（2x）﹣r2x在x∈[﹣1，1]上有零点，求实数r的取值范围．

答案1．【正确答案】D【分析】根据指数函数的性质求出集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案.【详解】由题意得，集合为自然数集N，故，故选：D2．【正确答案】B【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，推出，“”是“”必要条件.故选：．本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．3．【正确答案】C【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意.【详解】因为为幂函数，所以，得或，当时，为偶函数关于y轴对称，且在上单调递增，不满足题意；当时，，偶函数关于y轴对称，且在上单调递减，满足题意，故选：C4．【正确答案】B【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.【详解】的最小正周期是，不符合题意.在区间上单调递增，不符合题意.对于，，所以在区间上单调递增，不符合题意.对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，且在区间上单调递减，B选项正确.故选：B5．【正确答案】B【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案.【详解】对于函数，令，故的图象过定点，由于点在角的终边上，则，故选：B6．【正确答案】C【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.【详解】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C7．【正确答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】的定义域为，又与在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，故选：C.8．【正确答案】D【分析】画出函数的大致图象，令，方程有5个不同的实数解，转化为根的分布问题，分情况讨论即可.【详解】函数的大致图象如图所示，对于方程有5个不同的实数解，令，则在，上各有一个实数解或的一个解为-1，另一个解在内或的一个解为-2，另一个解在内.当在，上各有一个实数解时，设，则解得；当的一个解为-1时，，此时方程的另一个解为-3，不在内，不满足题意；当的一个解为-2时，，此时方程的另一个解为，在内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为.故选：D.9．【正确答案】BC【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，当是整数时，是偶数，故为假命题.B选项，二次函数的对称轴为轴，所以B选项正确.C选项，当时，，所以“”是“”的必要条件，所以C选项正确.D选项，的定义域是，的定义域是，所以不是同一函数，故为假命题.故选：BC10．【正确答案】ABC【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较的大小，判断A，D.【详解】由于，则，故，，则，不可能是最大值，B，C符合题意；由于，当时，，，故，即，故不可能是最大值，A符合题意，故选：ABC11．【正确答案】BCD【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案.【详解】由函数的图象可知，设函数最小正周期为T，则，则，又，即，则由于，故，即，对于A，，即函数的图象不关于直线对称，A错误；对于B，，则，由于正弦函数在上单调递减，故函数在上单调递减，B正确；对于C，，故的图象关于点对称，C正确；对于D，结合上面分析可知函数的周期是，正确，故选：BCD12．【正确答案】AD【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D.【详解】对于A，的定义域为R，满足，即为奇函数，其图象关于原点对称，A正确；对于B，令，则，令，则，即为奇函数，B错误；对于C，的定义域为，即在R上恒成立，故，即，C错误；对于D，的值域为，即能取到内的所有值，故或，即，D正确，故选：AD易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点.13．【正确答案】，根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】解：函数中，令，解得，所以的定义域是，．故，．14．【正确答案】2【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.【详解】则该扇形的面积为2，故2.15．【正确答案】右/【分析】化简函数解析式为，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案.【详解】由于函数，故为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，故右；16．【正确答案】/（-1，1）【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为，解得：，所以的定义域为.令，则.要求的单调增区间，只需.所以，所以的单调增区间为.故答案为.17．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）根据对数的运算法则，即可求得答案；（2）解方程求出，利用诱导公式化简，结合齐次式法求值，即可得答案.【详解】（1）；（2）因为为锐角，且满足，解得，（负值舍），故.18．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，先确定的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后把凑成的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；（2）结合（1）中结论，利用二倍角公式求得和的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可.【详解】（1）因为，所以，又因为，且，所以．因为，，所以，则，又因为，所以．（2）由（1）可得，，因为，则，所以19．【正确答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.【详解】（1）解：因为，所以，函数的最小正周期为，由可得，所以，函数的单调递减区间为.（2）解：当时，，则，因此，函数在区间上的值域为.20．【正确答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；（2），利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方21．【正确答案】(1)；(2)减函数，证明见解析；(3)，理由见解析.【分析】（1）列出关于的方程，解之即可求得的值；（2）利用函数单调性的定义即可证明函数为减函数；（3）先比较三个自变量的大小，再利用函数为减函数即可得到a，b，c的大小关系.【详解】（1）奇函数定义域为R则，解之得，经检验符合题意.（2）由（1）得易得函数在R上单调递减，证明如下：设任意，，则，由，可得，则，又，则，则则为R上减函数.（3）由为R上增函数，可得，由为上增函数，可得，由为R上增函数，可得，则，又由（2）得为R上减函数，则，则22．【正确答案】（1）m=1，n=2；（2）k＜﹣；（3）[﹣，3]．【分析】（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．（2）求出函数f（x）的最小值，即可求解k的范围．（3）问题转化为r=1+2•（）2﹣3•在x∈[﹣1，1]上有解，通过换元得到r=2t2﹣3t+1在t∈[，2]上有解，求出k的范围即可．【详解】（1）函数f（x）=x2﹣3mx+n（m＞0）的两个零点分别为1和2．可得：1﹣3m+n=0，4﹣6m+n=0，解得m=1，n=2，（2）由（1）可得f（x）=x2﹣3x+2，不等式f（x）﹣k＞0在x∈[0，5]恒成立，可得不等式f（