2024-2025学年福建省福州市闽侯县高三上册12月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年福建省福州市闽侯县高三上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知，，则（

）A． B． C． D．2．已知，若为纯虚数，则（

）A． B． C． D．3．如图，在四边形中，，，设，，则等于（

）A． B． C． D．4．设，，且，则（

）A． B． C． D．5．设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．对于命题“若，，则”，要使得该命题是真命题，，，可以是（

）A．，，是空间中三个不同的平面B．，，是空间中三条不同的直线C．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面D．，是空间中两条不同的直线，是空间的平面7．设，，，则（

）A． B． C． D．8．如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数fx=Asinωx+φ的部分图象如图所示，则（A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称10．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则11．已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（

）A．函数有且仅有两个零点B．函数有且仅有三个零点C．当时，不等式恒成立D．在上的值域为三、填空题（本大题共3小题）12．的展开式中的系数为，则的值为．13．已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是；得0分的概率是.14．若曲线在点Px1,y1处的切线与曲线相切于点Qx四、解答题（本大题共5小题）15．如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且.(1)求证:平面平面;(2)若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值.16．已知分别为三角形三个内角的对边，且有.(1)求角A；(2)若为边上一点，且，求.17．某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.(1)求关于的经验回归方程；(2)该市航空公司预计2024年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数；(3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望.附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：18．已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.(1)求的轨迹方程；(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.19．若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.(1)证明：存在源数列；(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.

答案1．【正确答案】A【详解】由，得，即，解得或，所以或，所以，，所以.故选：A.2．【正确答案】D【详解】，因为，且为纯虚数，所以，解得a=2.故选：D3．【正确答案】C【详解】因为，所以.故选：C.4．【正确答案】A【详解】，，，，.，，，或，即或（舍去）.故选：A.5．【正确答案】A【详解】因为函数，所以，即，解得，所以，当且仅当时取等号.故选：A6．【正确答案】D【详解】对于A：若，，是空间中三个不同的平面，且，，则平面和平面的位置不确定，故A错误；对于B：若，，是空间中三条不同的直线，且，，则直线和直线的位置不确定，故B错误；对于C：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则直线和平面的关系为直线平面或直线平面，故C错误；对于D：，是空间中两条不同的直线，是空间的平面，且，，则，故D正确，故选：D．7．【正确答案】D【分析】构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.【详解】由题意可得，，，设，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因为，，，且，可得，，所以.故选D.8．【正确答案】B【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知，设，则，，可得，即，所以，则，，所以，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故选：B.9．【正确答案】AD【详解】对于A：由图可知：，故A正确，由，知，因为，所以，所以，即，又因为，所以，所以函数为，对于B：当时，，所以，故B错误，对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C错误，对于D：将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，可得到的图象关于点对称，D正确.故选：AD.10．【正确答案】BCD【详解】∵数列是等差数列，，公差为，，，.当时，，故选项A错误；当为偶数时，；当为奇数时，，故，选项B正确；，，∴当为偶数时，；当为奇数时，，，选项C正确；，，，选项D正确.故选：BCD.11．【正确答案】AC【详解】令，则，故（为常数），，，.令，解得或，故函数有且仅有两个零点，选项A正确；，∴令f'x>0得；令f'∴fx在和上单调递增，在上单调递减.，，，∴存在，使得；又，∴存在，使得；当时，，∴不存在使得.综上所述，有且仅有两个根，即有两个零点，故选项B错误；，∴.当时，，.令，则，故在上单调递增，，满足题意；当时，也满足不等式.综上所述，当时，不等式恒成立，故选项C正确；由B知在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数在上的值域为，故选项D错误.故选：AC.12．【正确答案】【详解】因为展开式的通项为（且），令，解得，所以，依题意，解得.故13．【正确答案】0.24/0.36/【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B，由题意可得：，则，所以，即此题得满分的概率是0.24；所以，即此题得满分的概率是0.36.故0.24；0.36.14．【正确答案】【详解】，∴曲线在点Px1,y1∴切线方程为，或，，即，，易知，，.故答案为.15．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）BC中点为，连接，由且，证得平面，可证平面平面.（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.【详解】（1）取BC中点为，连接，在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC，又平面，，又，，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，，斜棱柱的高为，，，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，设平面的法向量为，则有，令，则，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由，有，.即，所以，因为,所以，即:，又因为，故.（2）解法一：设，则，在△中，由正弦定理知，，即，化简得，，则，即.解法二：如图所示，取中点，延长与的延长线交于点，连接，由有，由，设，则，即，故，所以，即为中点.又为中点，所以，又，所以△为正三角形，又平分，所以，所以.17．【正确答案】(1)(2)(3)分布列见解析，【详解】（1），则，所以，所以；（2）当时，，所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次；（3）可取，，，，，，所以分布列为所以.18．【正确答案】(1)(2)存在，12【分析】（1）设点，由题意列出等式，化简即可求得答案；（2）分别设直线的方程，求出点的坐标，即可得出直线的方程，继而求出H点坐标，从而求出的表达式，结合二次函数知识，即可得结论，并求得最大值.【详解】（1）由题意设点，由于，故，整理得，即的轨迹方程为；（2）由题意知直线的斜率分别为，，且满足，设直线的方程为，令，则可得，即，直线，同理求得，又直线的方程为，令，得，即，故，当时，取到最大值12，即存在最大值，最大值为12.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，结合，根据数列的新定义，即可证明结论；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，从而由，推得，可得到，继而可利用放缩法以及裂项求和法，证明不等式.【详解】（1）由，得，即在上单调递减，又，当且x无限趋近于0时，趋向于正无穷大，即的值域为，且函数在上单调递减，对于可以取到任意正整数，且在上都有存在唯一自变量与之对应，故对于，令，其在上的解必存在且唯一，不妨设解为，即，则都存在唯一