2024-2025学年北京市东城区高三上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年北京市东城区高三上学期期末数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．已知全集，集合，则（

）A． B．C． D．2．若复数满足，则的共轭复数（

）A． B．C． D．3．设，且，则（

）A． B．C． D．4．设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（

）A． B．3 C．9 D．365．已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则的方程是（

）A． B．C． D．6．已知圆，直线与圆交于，两点.若为直角三角形，则（

）A． B．C． D．7．已知函数，则（

）A．在上是减函数，且曲线存在对称轴B．在上是减函数，且曲线存在对称中心C．在上是增函数，且曲线存在对称轴D．在上是增函数，且曲线存在对称中心8．已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（

）A．47m B．48m C．49m D．50m二、填空题（本大题共5小题）11．在的展开式中，的系数是．12．已知函数，若，则的一个取值为．13．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一．其中钟鼓楼､万宁桥､景山､故宫､端门､天安门､外金水桥､天安门广场及建筑群､正阳门､中轴线南段道路遗存､永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存．某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为．14．已知抛物线.①则的准线方程为；②设的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为.15．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是．三、解答题（本大题共6小题）16．在中，(1)求证为等腰三角形；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求b的值.条件①：；

条件②：的面积为；条件③：边上的高为3.17．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代）18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小；(3)求四面体的体积.19．已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明：在上单调递增；(3)判断与的大小关系，并加以证明．21．给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.(1)当，时，写出所有满足的数对序列；(2)当时，证明：；(3)当为奇数时，记的最大值为，求.

答案1．【正确答案】C【详解】由题意，易得.故选：C.2．【正确答案】D【详解】因为，所以，所以.故选：D3．【正确答案】D【详解】对于A：当，时，满足，但是，故A错误；对于B：当，时，满足，但是，故B错误；对于C：当，时，满足，但是，故C错误；对于D：因为，所以在上单调递增，又，所以，即，故D正确.故选：D4．【正确答案】C【详解】因为，所以，又，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.故选：C5．【正确答案】D【详解】因为双曲线的一个焦点是，设双曲线方程为，则双曲线的渐近线为，所以，解得，所以的方程是.故选：D6．【正确答案】A【详解】因为圆，圆心为，半径为，即因为为直角三角形，所以,设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，所以，化简得.故选：A.7．【正确答案】D【详解】由得，解得，所以的定义域是−1,1，，在−1,1上单调递增，在0,+∞上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知在−1,1上是增函数，，所以是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.故选：D8．【正确答案】A【详解】当，且时，，充分性满足；当时，，当，时，是可以大于零的，即当时，可能有，，必要性不满足，故“，且”是“”的充分而不必要条件.故选：A.9．【正确答案】A【详解】因为，作出函数y=fx的图象，如图所示，所以当时，；当时，，可函数的值域为，设，若存在，使得成立，即，只需，即对于，满足成立，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.10．【正确答案】A【详解】依题意可知六点共面，设正六边形的中心为，连接，平面且平面，依题意可知相交于，连接交于，连接交于，根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分，则相互平分，根据梯形中位线有，即，在梯形中，是的中点，则是的中点，所以，同理可得，所以.故选：A11．【正确答案】【详解】二项式展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以的系数是.故12．【正确答案】（答案不唯一）【详解】，，即，解得，，，.的一个取值为.故（答案不唯一）.13．【正确答案】【详解】设11个重要建筑依次为，其中故宫为，从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：，，共9种情况，其中选取的3个中一定有故宫的有：共3种，所以其概率.故答案为.14．【正确答案】【详解】抛物线，，所以准线方程为，焦点，设，则，由于轴，平分，所以，所以，即，，所以的横坐标为.故；15．【正确答案】②③【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;对于②，由可知，......，即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，故数列为周期数列，故②正确;对于③，若为周期数列，不妨设周期为，所以数列中项的值有个，即数列中的项是个数重复出现，故存在正整数，使得恒成立，故③正确;对于④，取数列为首项，当时，，即，则当为奇数时，，当为偶数时，，取，则恒成立，但不为周期数列，故④错误.故②③.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）在中，，设，根据余弦定理，得，整理得，因为，解得，所以，所以为等腰三角形.（2）若选择条件①：若，由（1）可知，及，所以，所以不存在.若选择条件②：在中，由，由（1），所以，解得，即，若选择条件③：在中，由边上的高为3，得，由，解得.17．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【详解】（1）参加课后活动的时间位于区间的概率.（2）活动的时间在区间的概率，的可能取值为，，，，.故分布列为：（3）众数为：；，，则，；，故18．【正确答案】(1)证明详见解析(2)(3)【详解】（1）因为，是的中点，所以，由于平面平面且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面；（2）因为平面，，所以平面，平面，所以，而平面，平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为m=x,y,z则，故可设，设直线与平面所成角为，则，由于，所以，所以直线与平面所成角的大小为.（3）因为，所以点到平面的距离，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以四面体的体积.19．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，结合平方关系即可得解.（2）由题意不妨设，则，将直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理得点坐标，要证三点共线，只需证明即可，在化简时注意利用，由此即可顺利得证.【详解】（1）由题意，所以，所以椭圆的方程为.（2）由题意不妨设，其中，即，则，且直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，消去并化简整理得，由韦达定理有，所以，，即点，而，，所以三点共线.20．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)，证明见解析【详解】（1）因所以，所以曲线在点处的切线方程为.（2）由题设，，所以.当时，因所以，即在上单调递增，故得证.（3）,证明如下：设则，由（2）知在上单调递增，所以，则，即在上单调递增，故，即得证.21．【正确答案】(1)或；(2)证明详见解析；(3).【分析】（1）利用列举法求得正确答案.（2）利用组合数公式求得的一个大致范围，然后根据序列满足的性质证得.（3）先证明，然后利用累加法求得.【详解】（1）依题意，当，时有：或.（2）当时，因为与不同时在数对序列中，所以，所以每个数至多出现次，又因为，所以只有对应的数可以出现次，所以.（3）当为奇数时，先证明.因为与不同时在数对序列中，所以，当时，构造恰有项，且首项的第个分量与末项的第个分量都为,对奇数，如果和可以构造一个恰有项的序列，且首项的第个分量与末项的第个分量都为，那么多奇数而言，可按如下方式构造满足条件的序列：首先，对于如下个数对集合：，，……，，每个集合中都至多有一个数对出现在序列